2006年第12期问题

67.已知x、y为实数,且x2 3xy y2=2,求x2 5xy y2的取值范围.(湖南祁东县洪桥镇一中421600邓艳平提供)68.解不等式sin x-sin x 31!"!$2-x2-｜x｜">0.(安徽潜山二中246300琚国起提供)69.在△ABC中,已知∠A∶∠B∶∠C=4∶2∶1,AD、BE分别是∠A、∠B的内角平分线.求证:BC AD=CA BE.(安徽省肥西中学231200刘运宜提供)70.已知a,b,c为正实数,且a3 b3 c3 abc=4,求证:a b c≤3.(湖南长沙市十五中410007厉倩提供)71.设等差数列｛an｝的各项都是正数,公差为d,n、k∈N ,且n>1,求证:a1k a2k … ank≥n!$a1an"k.(安徽省明光市涧溪中学239461盛宏礼…     

2007年第12期问题

139.A为整数,B为小数,且B的小数位数不大于3,A、B均大于0,且A B=AB,求符合条件的所有A、B一共有多少组?(湖南长沙岳麓区教研室410013张新春提供)140.如图,在△ABC中,AE是∠BAC的平分线.过A、E两点作圆,交BC于另一点D,与AB、AC分别交于点F、G.若BF=CG,求证:AD是BC边上的中线.(安徽省肥西中学231200刘运宜提供)AB CD EGF141.在△ABC中,a、b、c表示三边长,ma、mb、mc表示三边上的中线长.求证:ma mb mc≤!ab cma !ba cmb !ca bmc.(安徽省芜湖市城南实验中学241002杨晋提供)142.在实数范围内解方程(x2 y2)2 1=x2 y2 2｜x｜y.…     

2007年第7期问题

109.如图,正方形ABCD和正方形CEFG有公共的顶点C,M是AF的中点.连结MD、MG.问:MD、MG有怎样的关系?证明你的猜想.(山东沂源徐家庄中学256116左效平提供)110.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD=BC,CD=BE.求AE与BD之间的夹角的度数.(安徽省肥西中学231200刘运宜提供)111.若n为正偶数,x,y,z∈R ,且x y z=1.求证:!n2 log3x !n2 log3y !n2 log3z≤3.(江苏如皋市教师进修学校226500徐道提供)112.设｛an｝是正项等差数列,n、p∈N ,且p>1,求证:1 1!pa1 ,1 1!pa2 ,·…·1 1!pan ,≥1 2a1 anp !,n.(安徽省明光市涧溪中学239461盛宏礼提供)…     

2007年第4期问题

91.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,BE=CF,且M、N分别是BC、EF的中点.求证:AD∥MN.(安徽省肥西中学231200刘运宜提供)92.设a、b为正整数,求证:(a b)(a2 b2)(a3 b3)·…·(a323 b323)≥(a162 b162)323.(湖北黄梅县一中435500王卫华提供)93.若a、b、c∈R ,且a b c=1,则有bac-!"1cba-!"1·cab-!"1≤8.(陕西省永寿中学713400安振平提供)94.已知正实数a、b、c满足a b c=abc.求证:aa bb bb cc cac a>25.(湖南武冈市第十中学422400邓集春提供)95.设｛an｝是各项都大于1的正项等差数列,n为大于1的自然数,求证:1-a11!"1-a12!"·…·1-a1…     

数学奥林匹克问题

本期问题初 1 4 1　如图 1 ,已知△ABC内接于⊙O ,图 1AB >AC ,弦EF∥BC ,FA、EA的延长线分别与BC的延长线交于点P、Q ,AD为∠BAC的平分线 .求证 :1CD- 1BD=1DP 1DQ.(郭　璋　北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)图 2初 1 4 2　如图 2 ,∠ABC =∠AEF =90°,∠BAC =∠EAF ,且A、C、F三点共线 ,BF交射线EC于点P .求证 :AP⊥BE .(黄全福　安徽省怀宁县江镇中学 ,2 4 6 1 4 2 )高 1 4 1　求所有的函数f:R→R ,使得对任意的x、y∈R ,都有f(xf(y) ) =( 1 -y)f(xy) x2 y2 f(y) .(吴伟朝　广州大学数学与信息科学学院…     

2007年第3期问题

CABDE FPQOMN85.设正数a,b,c满足a b c=3,求证:ab 1 bc 1 ca 1 1ab b1c c1a≥6.(四川泸县二中646106熊福州提供)86.已知:AB是圆O的直径,直线MN是圆O的切线,C为切点,过A、B分别作AE⊥MN,BF⊥MN,垂足分别是E、F,AE交圆O于点D,Q是AD的中点,P是线段OA上的一点,且DE=OP.求证:PQ∥BC.(山东省淄博市沂源县徐家庄中学256116左效平提供)87.如图,M、N、P分别是△ABC的三边上的点,M是中ACBMNP点,BNNC=mn>12,求当S△AMP S△BMN=2S△MNP时APPC的值.(江苏盐城师院一附中224002曹大方提供)88.已知正实数x,y,z满足x y z=1,…     

数学奥林匹克问题

本期问题图 1　　初 1 53　如图 1 ,在△ABC中 ,∠C =90°,点D1、D2 在边BC上 ,且∠CAD1=∠BAD2 .求证 :AC2AD1·AD2≤ BC2BD1·BD2.(郭　璋　北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)初 1 54　已知一个凸 2 0 0 5边形的所有顶点都在边长为 2 0 0 5的正方形内 .证明 :必有两条边的边长之和不大于 8.(王连笑　天津市实验中学 ,30 0 0 74 )高 1 53　若x、y、z都大于 1 ,求证 :x4(y - 1 ) 2 + y4(z- 1 ) 2 + z4(x - 1 ) 2 ≥4 8.(厉　倩　长沙市第十五中学 ,4 1 0 0 0 7)高 1 54　将编号为 1 ,2 ,… ,n(n≥6 )的n个球顺次摆放在圆周…     

2006中国数学奥林匹克

第一天(2006-01-12)一、实数a1,a2,…,an满足a1+a2+…+an=0.求证:max1≤k≤n(a2k)≤3n∑in=-11(ai-ai+1)2.(朱华伟供题)二、正整数a1,a2,…,a2006(可以有相同的)使得aa12,aa23,…,aa22000065两两不相等.问:a1,a2,…,a2006中最少有多少个不同的数?(陈永高供题)三、正整数m、n、k满足mn=k2+k+3.证明:不定方程x2+11y2=4m和x2+11y2=4n中至少有一个有奇数解(x,y).(李伟固供题)第二天(2005-01-13)四、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.若∠BPC=90…     

数学问题与解答 2005年第10期问题解答

656.在非直角△ABC中，AD土BC，BE 土AC，CF上AB，垂足分别为D、E、F，设 △ABC、△DEF外接圆半径分别为R、Ro， 求证:R=2R0. 证:如图1，对于锐角△ABC，设H为 △ABC的垂心.由B、C、E、F四点共圆，得 乙AEF=乙ABC.…△AEF的△ABC， EF AE BC一AB‘ 证:由Ix。 2}=了1 (x 功2平方     

数学奥林匹克问题

本期问题图1初163如图1,△ABC的旁切圆⊙O分别切边BC、AB、AC于D、M、N,DE为⊙O的直径,AE交BC于F.求证:BF=CD.(邹守文安徽省南陵县工山二中,241319)初164已知a、b、c为实数,且a2 b2 c2 2ab=1,ab(a2 b2 c2)=81,一元二次方程(a b)x2-(2a c)x-(a b)=0的两根为α、β.试求2α3 β-5     

外角平分线三角形中的类正弦定理

文[1]、[2]、[3]等给出了外角平分线构成的三角形几个有趣的性质,本文得到定理如图,△DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,设BC=a,CA=b,AB=c,2s=a+b+c,I为△ABC的内心,且DI=x,EI=y,FI=z,△ABC的外接圆和内切圆半径分别为R、r,则4sin2sin2sin2x A=y B=z C=R(1)首先给出一个引理.引理设I为△ABC的内心,则AD、BE、CF交于I点,且I为△DEF的垂心.略证∵?DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,∴D、E、F为△ABC的旁心[4],显然AD、BE、CF为∠A、∠B、∠C的平分线,则它们交于I点;又∵2∠D AC=A,222∠E AC=B+C=π?…     

2006年第9期问题

49.设a,b,c∈R ,且a b c=1,求证:11(a2 b2 c2)-3(a4 b4 c4)≥392.(安徽潜山二中246300琚国起提供)50.已知关于x的三次方程x3-Ax2 x-B=0有三个正实根,其中A,B为参数.试求A8-B B A2的最小值.(湖南省武冈市十中422400邓集春提供)51.若x,y,z∈R ,n是不小于3的自然数,且xyz=1,求证:(1 y)x(n1 z) (1 z)(y n1 x) (1 x)(z n1 y)≥43.(江苏如皋市教师进修学校226500徐道提供)52.在两个正数a,b(a≠b)之间插入n个正数a1,a2,…,an,使这n 2个正数成等差数列,n∈N ,求证:a21 a22 … an2<12n(a2 b2).(安徽省明光市涧溪中学239461盛宏礼提供)53.过B、A…     

数学奥林匹克问题

本期问题图1初191如图1,△ABC内接于⊙O,AC>BC,点D1、D2在AC上,且AD1=BCD2,联结AD1、AD2、CD1、CD2.求证:AD1·AD2=AC·BC+CD1·CD2.(郭璋北京市朝阳区教育研究中心,100028)图2初192如图2,在正方形ABCD中,点E、F分别在边AB、CD上,且AE=1mAB,DF=1nDC,DE与AF相交于点G,GH⊥AB,垂足为H.试用m、n的代数式表示AABH的值.(田永海黑龙江省绥化市教育学院,152054)高191在△ABC中,求证:cos4A1+cos2A+1+cocso4sB2B+1+cocso4sC2C≥230.(张俊江苏省兴化市昭阳中学,225700)高192如图3,点P在△ABC内部,且满足∠PAB=∠PB…     

一道试题的解法赏析

<正>题目如图1,在△ABC中,D是BC上的一点,E是AD上一点,且AB/AC=AD/CE,∠BAD=∠ECA.(1)求证:AC2=BC·CD;(2)若E是△ABC的重心,求AC2∶AD2的值.     

2007年第6期问题

103.设正项数列｛an｝满足a1=3,an≤nn aan-n1-1(n=2,3,…).求证:an≤2 3[6log2n](.这里的[log2n]表示不超过log2n的最大整数)(湖南常德英语实验中学415000李晓渊提供)104.若a,b,c∈R ,三次方程x3-ax2 bx-c=0有3个实数根,求证:3a-6b 1c≥0.(陕西永寿县中学713400安振平提供)105.已知x>1,n>2( 3(x-x1-)12)2,n∈N,求证:xnn<1x.(江苏省张家港市暨阳高级中学215600罗建宇提供)106.设四边形ABCD外切于圆I,则△ABI、△BCI、△CDI、△DAI的垂心共线.(湖南永州市零陵区富家桥镇中学425024李新杨昌武提供)107.设｛an｝是由正数组成的等差数列…     

平几证题中的线段参数法

《中等数学》83年6期有篇文章讲“角参数法”证题,右时也可用线段参数法证题。 例1.AD为△ABC中线,求证:AD册,=沁2一ai).(“中代数第四2 C6页).证作AE土直线BC于E,则EBAE、:。分别等于今+‘或!鲁 ‘.自2=AD“一tZ,由勾股定理:设E刀二t,一{,bZ+eZ=ADZ一tZ+(旦+t)+ADZ一t艺+(旦一,、2、艺-.’.AD2 1,_。=二(b‘+C‘一 之万)a2例2.△ABC内切圆I切各边于D、E、F(如图),且AC·BC=ZAD·DB,求证:AC土BC. 证如图,设参数劣、 (x+z)(之+女)=2劣y、:,则y‘巴解出:=李 艺(亿(劣+y)“+4劣夕一(劣+夕)),那么 AB+BC+CA=AB+BD+CE …     

用方程ax=b证明函数图象过定点

在方程ax=b中,若未知数x可为任何实数值,则a=0,b=0.用这个结论可以证明一些函数图象过定点的问题. 一、证明一次函数图象过定点例1 求证:不论k为何值,直线y=2kx-(k-1)都过一个定点,并求这个定点的坐标. 证明:将直线y=2kx-(k-1)变形为(2x-1)k=y-1. ∵k为任何值方程都成立,∴2x-1=0,y-1=0 .解得x=12,y=1 .∴不论k为何值,直线y=2kx-(k-1)都经过定点12, .练习1求证:不论k为何值,直线y=kx-(k-2)都过一个定点,并求这个定点的坐标.答案:(1,2)二、证明二次函数图象过定点例2求证:不论a为何值,抛物线y=x2-(a2-1)x-2(a2…     

一题多证举隅

例如图,Rt△ABC中,以AC为直径的圆交 BC于D,M为AD的 中点,刀材的延长线 交AC于E,百尸1 .BC 交BC于E,EG 1 AC 交O口于G求证: EF二EC由①、EG②知‘器 乙LEFEC:EG=EF证法三:在△A脚B中 AM BMsin乙1 sin乙3:AMBM .sin乙lsin乙3①~~‘~.一二乃少口.』_但二Itt凸万I叮口甲代万丁丁=5111乙乙 万乃夕…对口二召赶·sin乙2分析本题首先可以想到:丫E‘上AC二E夕二AE·EC故间题转化为只要证E尸=AE·EC。这里关键是如何应用M是AD的中点这个条②丫AM二材刀BM·sin乙2sin乙3件证法一:分别延长FE、BA交于H易证△AEH…△…     

2008年第8期问题

181.如图,△ABC的两条线段BQ、CR交于点P,且AR=BR=CP,∠BRC=120°.求证:CQ=PQ.(重庆市云阳县江口中学404506姜官扬提供)182.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BE平分∠B交AC于E,CF是AB     

首届中国东南地区数学奥林匹克

第一天一、设实数a、b、c满足a2 2b2 3c2=32.求证:3-a 9-b 27-c≥1.(李胜宏供题)二、设D是△ABC的边BC上的一点,点P在线段AD上,过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E,与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF,求证:DM=DN.(陶平生供题)三、(1)是否存在正整数的无穷数列{an