由三角形内任意一点所引出的性质

1.如图1所示,点O是△ABC内的任意一点,作直线AO,BO,CO与边BC,CA,AB,分别交于点D,E,F则BD/DC·CE/AE·AF/BF=1.证明:过A点作AN∥BE,AM∥CF分别交BC的延长线     

从一道课本习题的提示谈起

几何课本中有这样一道题:在△ABC(AB>AC)的边AB上取一点D,在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P.求证BP:CP=BD:CE.(提示:经过点C作AB的平行线CF交DP于F点)     

数学问题与解答

301.在凸六边形AMBCND中,MN、AG、BD共点于P,MN交AB、CD于E、F,设MA、ND的延长线交于点S、MB,NC的延长线交于点Q,则1/PE-1/PF=1/PM-1/PN成立的充要条件是S、P、Q三点共线。证:如图1,连AN、DM、BN、CM。 302.设A、B、C为△ABC的三内角,0≤n≤1,试证:以sin~nA、sin~nB、sin~nC为三边长能组成一个三角形。证:当x=0时,命题显然成立。当n=1时,设△ABC的三边为a、b、c,则     

一蝶引来万花开——对一道习题进行的开放性探究

在数学教学中,充分利用典型习题引导学生进行开放性探究,对学生思维的深化及创新能力的培养往往能起到事半功倍的作用.例题　已知:如图1,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B、D,AD和BC相交于点E,EF⊥BD,垂足为F.求证:1AB 1CD=1EF.证明　因为AB⊥BD,CD⊥BD,EF⊥BD.所以AB∥EF∥CD.所以EFAB=DFBD,EFCD=EFBD.所以EFAB EFCD=DF BFBD=BDBD=1.所以1AB 1CD=1EF.图1　　　　　　　　图21　发散思维　探究结论探究1　已知:如图2,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B、D,AD和BC相交于点E,若AB=a,CD=b,⊙E与BD相切于F,求⊙E…     

一组平面几何问题的探究

本文给出一组与完全四边形密切相关的平面几何问题,题1设四边形ABCD的边AB、DC的延长线交于点P,AD和BC的延长线交于点Q,AC和BD交于点R,直线PR分别交AQ、BQ于点M、N,则证明：如图1,直线BQ与△PAD三边都相交,由梅涅劳斯定理,有题2过O外一点Q作O的两条切线,E、F为切点,作一条割线QDA,EF和AD交于点M（图2）．则证明：连结ED、EA、FD、FA．题3四边形ABCD内接于圆,边AB和DC的延长线交于点P,边AD和BC的延长线交于点Q,AC和BD交于点R,过Q作该圆的两条切线,切点分别为E、F,则P、F、R、E四点共线,证…     

一道几何证明题的多种证法

近日翻阅原浙教版书时,发现第五册第四章小结P154中有一例题： 如图1,一条直线与△ABC的三边BC,CA,AB（或它们的延长线）分别交于点D,E,F,并且∠AEF=∠AFE． 求证：BD：CD=BF：CE． 书中介绍了一种方法：过点C作CK∥AB,交DE于K．     

比例中项式的证明方法

遇到需要证明比例中项式成立的题型 ,可以从三个方面考虑 :利用平行线构造比例中项 ;利用有公共边的两个三角形相似构造比例中项 ;等量代换 (等积代换、等线段代换 ) .1　利用平行线构造比例中项式例 1　如图 1 ,由平行四边形 ABCD的顶点 A作一条直线分别交 BD、DC及 BC的延长线于 G、F、E,求证 :AG2 =GE . GF.分析 :由平行四边形 ABCD的两组对边平行 AD∥ BC、AB∥ CD,可得 AGGE=DGBG,GFGA=DGAB,所以 AGGE=GFGA,即 AG2 =GE . GF.2　找出有公共边的两个三角形相似例 2　如图 2 ,△ ABC中 ,AB=AC,∠ 1 =∠ 2 ,求…     

例谈等积式问题的证明

证明等积式一般先将它恰当地化成比例式。若比例式中的四条线段构成有关相似三角形对应边的比 ,则问题较易解决。否则 ,应考虑添加辅助线 ,构成有关的相似三角形 ,以助问题的解决。　　例 1.在△ ABC中 (AB>AC)的边 AB上取一点 D,在边 AC上取一点 E,使 AD=AE,直线 DE和BC的延长线交于点 P,求证 BP∶ CP=BD∶ CE。证明 :过点 C作CF∥ AB交 PD于F,则 BPCP=BDCF。∵AD=AD,∴∠ 1=∠ 4 ,∴∠ 3=∠ 4 ,∴ CE=CF,∴ BPCP=BDCE。　　说明 :这是过分点 C作平行线 ,过 C还可作 CG∥ PD交 AB于 G(如上图 )。另证 :过 B作…     

数学复习课选题的原则

一、选题要由易到难 ,有已知到未知 ,由简单到复杂。1.已知 :梯形 ABCD中 ,对角线 AC和 BD相交与点 P,过点 P作 AB的平行线 EF分别交 AD、BC与点 E、F。求证 :EP=PF(如图 1)。2 .已知 :△ ABC中 ,E为 AB上任一点 ,EF∥BC交 AC与点 F,BF和 CE交于点 G,连结 AG并延长交 BC于点 D,交 EF于点 H(如图 2 )。求证 :(1) DC∶ BD=EH∶ HF;(2 ) BD=DC。3.根据第 2题的条件 ,求证 :S△ AEG=S△ AFG。以上这组题目是由易到难、逐步引伸的。这样有目的地采取梯度式题组训练 ,不仅有助于学生集中精力 ,重点解决一二个问题 ,而…     

30分钟智力冲浪

1.如图1,△ABC中,AB≠AC,△ADB与△AEC都是等边三角形(三边相等、三内角相等).那么,CD与BE是否相等?为什么?图1图22.已知,如图2,△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,他们相交于点F,且BF=AC.在CE的延长线上取点G,使CG=AB.连接AF,AG.试说明AF⊥AG.3.已知,如图3,AD∥BC,DE∥BF,点E,F在AC上,AF=CE.你能说明AB与DC的位置关系吗?图3图4图54.已知,如图4,CF是正方形ABCD外角∠DCG的平分线,E是BC边上的一点,且AE⊥EF.你能说明AE与EF相等吗?(提示:正方形的四条边相等.设法找到分别以AE,EF为一边的两个三角形,并说明他…     

相似的结论，不一样的图形

笔者发现,有些几何图形几乎完全不同,但是它们的结论非常相似．现举几例：例1如图1,若凸四边形ABCD中,AC与BD相交于点P,两组对边AB与DC,AD与BC的延长线分别交于E,F,FP的延长线交AB于G,     

数学问题与解答

2012年第6期问题解答856.ΔABC中,点E、F分别在边AB、AC上,使∠FBC=∠ECB=1/2∠A,BF与CE交于点P.过点P作PM∥AC交AB于点M,作PN∥AB交AC于点N,求证:BM=CN.(401515重庆市合川太和中学袁安全供题)证:如图1,连结MN、MC、NB.     

高斯线定理的再研究

2009年,彭翕成对于高斯线定理:高斯线定理如图1,四边形ABCD中,延长AD、BC交于P点,连接AC、BD交于O点,连接PO,则PO的中点E,DC的中点G,AB的中点F三点共线.给出定理的多种证明方法,对认识定理有着重要的价值.今就定理的结构,再做进一步的研究,以帮助人们充分认识定理的优美性.1高斯线定理的推广利用高斯线定理的"对称性",延长四边形ABCD的边AB、DC交于Q,则有结论:     

初二几何单元练习1相似形

一、填空题 1、如果7:9=(3-x):2x,则x=___. 2、己知点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC和BC上,且DE∥BC,EF∥AB,AD:BD=2:3,BC=20cm,则BF=__. 3、如图,△ABC中,DE∥AC,则AB:BD=__. 4、Rt△ABC 中,CD是斜边上的高, AC/BC=2/3,则AD/DB=__.     

一道新颖独特的中考几何题

题目:已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上,且AE=BF,FH∥EG∥AC,FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G.(1)如图1,如果点E、F在边AB上,那么EG FH=AC;(2)如图2,如果点E在边AB上,点F在AB的延长线上,那么线段EG、FH、AC的长度关系是;(3)如图3,如果点E在AB的反向延长线上,点F在AB的延长线上,那么线段EG、FH、AC的长度关系是.(4)对(1)(2)(3)三种情况的结论,请任选一个给予证明.此题是长沙市2005年中考数学试卷中的一道几何题,它考查了学生对一些基本图形(如三角形、梯形、平行四边形)性质的掌握情况.一、特点1.试题灵活、…     

一道几何题的若干变化

题目:如图1,已知在☉O中延长两弦AB、CD相交于圆外一点P,过P作PE∥AD与CB的延长线交于E点,过E点作☉O的切线ET,切点为T,求证:PE=ET.     

一道习题的推广与应用

初中平几课本第二册,习题二十的第9题为:“已知,如图,AC⊥AB,BD⊥AB,AD和BC相交于点E,EF⊥AB,垂足为F。又AC=p,BD=q,FE=r,证明:1/p 1/q=1/r。”它的证明不难用平行线截得线段成比例的性质来完成。如果进一步深究下去的话,命题可作进一步的推广和应用。推广:如图,已知AC∥BD,AD和     

一道波兰平面几何赛题的多种证法

<正>2022年波兰数学奥林匹克竞赛中的平面几何题为:给定圆内接四边形ABCD,其外接圆圆心在四边形ABCD的内部,对角线AC与BD交于点S,边AD,BC的中点分别为P,Q,过点P作与AC垂直的直线l_P,过点Q作与BD垂直的直线l_Q,过点S作与CD垂直的直线l_s,求证:l_P,l_Q,l_S三线共点。证法1:如图1,设l_P与AC,AB分别交于点E,G,l_Q与BD交于点F,l_P与l_Q交于点M。联结EF,联结MS并延长交CD于点N。     

一道新颖独特的中考几何题

题目:已知点E、F在△ABC的边AB及所在的直线上,且AE=BF,FH∥EG∥AC,FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G.HAB CEFG图1(1)如图1,如果点E、F在边AB上,那么EG FHAC;(2)如图2,如果点E在边AB上,点F在AB的延长线上,那么线段EG、FH、AC的长度关系是;HAB CEFG图2(3)如图3,如果点E在AB及的反向延长线上,点在AB的延长线上,那么线段EG、FH、AC的长度关系是。HABCEFG图3(4)对(1)(2)(3)三种情况的结论,请任选一个给予证明.’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’此题是长沙市2005年中考数学试卷中的一…     

一个面积问题的四种证法与两次推广

有这样一道题: 如图,AF=1/3AB,BD=1/3BC,CE=1/3CA, 求证:S_(△GHk)=1/7 S_(△Anco) 一、四种证法证法一(用梅耐劳斯(Menelaus)定理)直线 CGF交△ABD的各边AB、BD、AD(或其延长线)于F、C、G、三点,应用梅耐劳斯定理有 AF/BF·BC/DC·DG/AG=1即 1/2·3/2·DG/AG=1, ∴ AG/DG=3/4,AG/AD=3/7