谈积分运算中新发现的一条分部积分定理及其应用

针对高等数学微积分学中的不定积分运算里,经常遇到的被积函数是多项式与指数函数的乘积的情形,充分利用不定积分的分部积分法证明得出正文中提出的一条实用定理,切实方便读者遇到此类型积分时直接应用该定理运算出最后结果,结合使用牛顿-莱布尼兹公式,该定理应用将更加广泛、实用.     

反三角函数的不定积分的初步探讨

众所周知,反三角函数的不定积分是比较麻烦的,这是多少年以来的难题,连递推公式都没有,在国内所能看到的国内外数学手册中也没有。这里初步提出四个定理,愿与读者一同来探讨这个问题。定理一:反正弦函数的不定积分(arcsinz)~ndz等于一个变量t的两个相关数式t~0与sint之积,及其连续导数积之和。     

有关不定积分教学问题的探讨

本文对有关不定积分的一些问题,比如定义、原函数存在定理和计算等进行了细致的探讨与剖析,对学生学习不定积分或青年教师的教学有所帮助.     

被积函数中含有x~(1/2)的不定积分的求法

不定积分是高等数学的重点,也是学生学习的难点,关于被积函数中含有根号的不定积分更是难中之难.因此本文给出了被积函数中含有x~(1/2)的不定积分的几种求法.     

三角函数有理式不定积分的一个补充

指出三角函数有理式不定积分中一个值得商榷的地方,对计算结果给出一种补充方法,使得不定积分为被积函数在连续的所有区间上的不定积分.     

被积函数中含有(√x)的不定积分的求法

不定积分是高等数学的重点,也是学生学习的难点,关于被积函数中含有根号的不定积分更是难中之难．因此本文给出了被积函数中含有√x的不定积分的几种求法．     

被积函数中含有√x的不定积分的求法

不定积分是高等数学的重点,也是学生学习的难点,关于被积函数中含有根号的不定积分更是难中之难．因此本文给出了被积函数中含有√x的不定积分的几种求法．     

积分第一中值定理的改进和推广

研究了积分第一中值定理的中间值问题,证明了定理中的中间值可以属于开区间内部,并进而将积分第一中值定理的被积函数连续性的条件减弱为可积且有原函数.     

Euler代换在不定积分求解中的运用

针对乙∫R(P_n(x),(ax~2+bx+c)~(1/2))dx型不定积分,考虑到被积函数的复杂性,本研究引入数论中Euler代换的思想,利用Euler代换求解该类不定积分.同时通过具体实例说明利用Euler代换求解不定积分是适用范围更广的一类计算方法.     

一个可积性判别定理的改进

教材[1]给出了一个可积的充分必要条件(定理1),即关于和数收敛的柯西准则.应用此定理证明关于函数的可积性问题总觉得相当麻烦,我们对此定理作一些改进,得到了定理2.应用定理2证明关于函数的可积性问题比用定理1证明要简便些.     

积分学中若干重要问题的再研究

文章对积分学中定积分与不定积分的关系、牛顿-莱布尼兹公式成立的条件以及复合函数的可积性等积分学中重要问题作进一步的研究,以求得对这些问题全面、正确的理解和认识.     

巧构辅助函数解决微分中值定理相关习题

使用不定积分学习微积分中值定理相关习题时,我们既可以把需要构造导函数的原函数理解为是多个初等函数的和差,也可以理解为是多个函数乘积的导数。另外,考虑到微分中值定理学习过程中不定积分的重要性,我们建议在学习微积分的时候采取如下的学习顺序:导数→不定积分→微分中值定理。     

求含分段连续函数的积分及解一阶线性微分方程初值问题的定理

文[1]仅是提出分段连续函数的不定积分的求法准则,本文给出了含分段连续函数的不定积分的积分定理(即公式)。同时提供了解含分段连续函数的一阶线性微分方程初值问题的定理(即公式),此结论是对文[3]相应结果的推广。直接应用文中所获得的公式求解有关问题显得格外简洁明快。     

关于用分部积分法解题的思考

分部积分法是不定积分方法当中很重要的一种计算方法.本文对不定积分的被积函数的构造作了三种形式的分类,并分别进行了探求解答,特别对于第二种形式下的积分还总结出了规律,并提出了许多变式形式的反思.     

三角函数有理式不定积分的一个补充

指出三角函数有理式不定积分中一个值得商榷的地方,对计算结果给出一种补充方法,使得不定积分为被积函数在连续的所有区间上的不定积分。     

不定积分的性质及应用

本文主要对不定积分的性质和应用进行研究,归纳了几种求解不定积分的方法,能熟练的掌握和应用这几种方法对于解决不同形式的不定积分问题很有帮助,能够灵活应用拓宽思路,有效的求解不定积分.     

五种类型不定积分问题的求解

论述了微积分中有关不定积分问题的求解问题,将不定积分问题总结为五类:简单函数不定积分,有理函数不定积分,无理函数不定积分,三角函数不定积分以及超越函数的不定积分,不论何种类型的不定积分,最终都是将繁琐的不定积分等价转化成最简单的不定积分,再用公式求解.     

微分中值定理的学习技巧

基于当代大学生在高等数学的学习上存在学习困难的现象较为普遍,而学校给出的课时数又相对较少的问题,本文提出了两点建议:一、及时利用新知识巩固旧知识,如利用学习不定积分复习巩固导数;二、在教学方法上强调思想和解题技巧的统一,使复杂问题简单化,如学习微分中值定理时,基本都是围绕一条主线:从结论出发,利用不定积分凑出辅助函数,验证辅助函数符合罗尔定理三个条件,最后利用罗尔定理直接得出结论。     

关于一元积分学体系构建的思考

通过比较一元积分学两种不同的体系,指出“不定积分-定积分”体系的一些不足,在分析“不定积分”定义与“基本定理”内容的基础上,构建一种便于教与学的一元积分学体系,并对数学教材的编写做出几点反思.     

用均值定理求最值时应注意的问题

"两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数"是不等式一章的一个重要定理.它在不等式的证明、求函数的最值和解决实际问题中应用非常广泛.应用这个定理求最值时,要求满足"一正、二定、三相等"3个条件,即变量是正数、和或积是定值、等号成立.应用这个定理的关键步骤是通过变形将积或和变为定值.但同学们在应用时常常出现错解,下面通过分析错解的原因来强化应注意的几个问题.