2001年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试题(理)

一、填空题 (本大题满分 4 8分 )1 设函数 ｆ(ｘ) =2 -ｘ,ｌｏｇ81ｘ ,　 ｘ∈ ( -∞ ,1 ]ｘ∈ ( 1 , ∞ ) 则满足 ｆ(ｘ) =14 的ｘ值为　　　　 .2 设数列 {ａｎ}的通项为ａｎ=2ｎ -7(ｎ∈Ｎ) ,则|ａ1| |ａ2 | … |ａ15| =　　　　 .3 设Ｐ为双曲线ｘ24 -ｙ2 =1上一动点 ,Ｏ为坐标原点 ,Ｍ为线段ＯＰ的中点 ,则点Ｍ的轨迹方程是　　　 .4 设集合Ａ ={ｘ| 2ｌｇｘ =ｌｇ( 8ｘ -1 5 ) ,ｘ∈Ｒ} ,Ｂ={ｘ|ｃｏｓ ｘ2 >0 ,ｘ∈Ｒ} ,则Ａ∩Ｂ的元素个数为　　　　个 .5 抛物线ｘ2 -4 ｙ -3=0的焦点坐标为　　　 .6 设数列 {ａｎ}是公比…     

对一个问题的研究

问题 :对于函数 ｆ(ｘ) ,若存在ｘ0 ∈Ｒ ,使ｆ(ｘ0 ) =ｘ0 成立 ,则称ｘ0 为 ｆ(ｘ)的不动点 .如果函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｂｘ-ｃ(ｂ,ｃ∈Ｎ)有且只有两个不动点 0 ,2 ,且ｆ( -2 ) <-12 .( 1 )求函数 ｆ(ｘ)的解析式 ;( 2 )已知各项不为零的数列 {ａｎ}满足4Ｓｎ·ｆ 1ａｎ =1 ,其中Ｓｎ 是数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,求数列通项ａｎ.( 3 )如果数列 {ａｎ}满足ａ1 =4,ａｎ+1 =ｆ(ａｎ) ,求证 :当ｎ≥ 2时 ,恒有ａｎ <3成立 .一、分析与评述( 1 )分析 :由ｆ( 0 ) =0 ,可得ａ=0 ,①又由 ｆ( 2 ) =2可得 ,2ｂ =ｃ+2 ,②再由 ｆ( -2 ) <-12 可得 ,2…     

2003年高考数学模拟试题

一、选择题 :1.设集合Ｍ ={ 1,2 } ,则满足Ｍ∪Ｎ { 1,2 ,3 }的集合Ｎ的个数为 (　　 ) .Ａ .1　　Ｂ .4　　Ｃ .7　　Ｄ .82 .已知方程 2 ｘ+ｘ =0的实根为ａ ,ｌｏｇ2 ｘ =2 -ｘ的实根为ｂ ,ｌｏｇ12 ｘ =ｘ的实根为ｃ ,则ａ ,ｂ ,ｃ的大小关系是 (　　 ) .Ａ .ｂ>ａ >ｃ　　Ｂ .ｂ >ｃ >ａ　　Ｃ .ｃ >ｂ >ａ　　Ｄ .ａ >ｂ >ｃ3 .已知当α∈ -3π4,-π2 时 ,则下列不等式成立的是 (　　 ) .Ａ .ｓｉｎα >ｃｏｓα　　Ｂ .ｓｉｎα >ｔａｎα　　Ｃ .ｔａｎα >ｃｏｔα　　Ｄ .ｃｏｓα >ｃｏｔα4.已知ｙ =ａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎｘ) ,…     

运用分母代换法证明不等式举例

对于分母是多项式的分式不等式 ,采用将分母进行整体代换后 ,便于应用基本不等式或常见的“( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=11ａｉ)≥ｎ2 (ａｉ >0 )”结论来证明 .下面分类举例 .1　分子为常数型例 1　若ｘ、ｙ、ｚ∈ (0 ,1) ,求证 :11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.证明　设 1-ｘ + ｙ=ａ ,1- ｙ+ｚ=ｂ ,1-ｚ+ｘ=ｃ,则ａ >0 ,ｂ>0 ,ｃ>0 ,且ａ +ｂ+ｃ =3.∵ (ａ+ｂ +ｃ) (1ａ + 1ｂ + 1ｃ) ≥ 9,∴ 1ａ + 1ｂ + 1ｃ ≥ 3.故 11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.例 2　 (第 19届莫斯科奥林匹克竞赛题 )设任意的实数ｘ、ｙ满足 ｜ｘ｜ <1,｜…     

首届女子数学奥林匹克

(2 0 0 2 0 8 1 6～ 0 8 1 7,珠海 )第一天一、求出所有的正整数ｎ ,使得 2 0ｎ +2能整除2 0 0 3ｎ +2 0 0 2 .二、夏令营有 3ｎ(ｎ是正整数 )位女同学参加 ,每天都有 3位女同学担任值勤工作 .夏令营结束时 ,发现这 3ｎ位女同学中的任何两位 ,在同一天担任值勤工作恰好是一次 .(1)问 :当ｎ =3时 ,是否存在满足题意的安排 ?证明你的结论 ;(2 )求证 :ｎ是奇数 .三、试求出所有的正整数ｋ ,使得对任意满足不等式ｋ(ａｂ +ｂｃ+ｃａ) >5 (ａ2 +ｂ2 +ｃ2 )的正数ａ、ｂ、ｃ,一定存在三边长分别为ａ、ｂ、ｃ的三角形 .四、⊙Ｏ1和⊙Ｏ2 相交于Ｂ…     

等差数列方差的计算公式

定理　数列ａ ｄ ,ａ 2ｄ ,… ,ａ ｎｄ的方差为11 2 (ｎ2 -1 )ｄ2 .证明 :1 ,2 ,… ,ｎ的均值为Ｓ =1ｎ(1 2 … ｎ)=1ｎ·ｎ(ｎ 1 )2 =ｎ 12 ,应用方差的简化计算公式 .Ｓ2 =1ｎ[(1 2 2 2 … ｎ2 ) -ｎＳ2 ]=1ｎｎ(ｎ 1 ) (2ｎ 1 )6-ｎ(ｎ 1 ) 24=ｎ2 -11 2 .由于若 {ｘｎ}的方差为Ｓ2 ,则 {ｘｎ ａ}的方差为Ｓ2 ,而 {ｐｘｎ}方差为 ｐ2 Ｓ2 ,于是{ａ ｎｄ}方差 ={ｎｄ}方差 =ｄ2 {ｎ}的方差 =ｄ2 Ｓ2=ｎ2 -11 2 ｄ .等差数列方差的计算公式$江苏沛县郝寨中学@邵长举…     

等差(比)数列中的等比(差)子数列的存在性探索

先看下面的一道题 :等差数列 {ａｎ}中 ,公差ｄ是正整数 ,等比数列{ｂｎ}中 ,ｂ1=ａ1,ｂ2 =ａ2 ,现有选项数据 : 2 ; 3; 4 ; 5。当 {ｂｎ}中所有的项都是数列 {ａｎ}中的项时 ,ｄ可以取。 (填上你认为正确的选项 )。(注 :本文中所提到的数列均指无穷数列 )《中学数学教学参考》2 0 0 1年第 1— 2期上给出这道题的答案是选 , 。其实 ,ｄ可否取某一数据取决于能否找到满足条件的等差数列。对于 ,取等差数列ａｎ=2ｎ -1 ;对于 ,取等差数列ａｎ=3ｎ -2 ;对于 ,取等差数列ａｎ=4ｎ -3;对于 ,取等差数列ａｎ=5ｎ -4。分别利用二项式定理可证 …     

有奖解题擂台(59)

1　求证 :ｓｉｎ2 0 0 3° >12 ·ｃｏｓ2 0 0 2°。　 (不要使用计算器等工具。)2　试求出两条抛物线 ｙ2 =2 5 -6ｘ与ｘ2 =2 5 -8ｙ的所有的交点的坐标。　(不要使用一元四次方程求根公式。)3　试求出所有的有序正整数对 (ａ ,ｂ) (ａ≤ｂ) ,使得ａ能整除ｂ2 +ｂ +1 ,且ｂ能整除ａ2 +ａ +1。4　试求出所有的函数 ｆ :Ｒ -{0 ,1 }→Ｒ -{0 },使得对于任何的满足“ｘ·ｆ(ｙ) ,ｙ -ｘ∈Ｒ -{0 ,1 }”的ｘ∈Ｒ -{0 },ｙ∈Ｒ -{0 ,1 },都有　　ｆ(ｘ·ｆ(ｙ) ) =(1 -ｙ)·ｆ(ｙ -ｘ)。5　试求出所有的函数 ｆ :Ｒ→Ｒ ,使得对于任何的ｘ、ｙ∈…     

高一（上）期末数学测试题

一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合要求的 .1 设集合Ｍ ={ｘ｜ｘ2 <9},ａ =- 4,,则(　　 )Ａ ａ ∈Ｍ　　Ｂ ａ ＭＣ {ａ} Ｍ　　Ｄ {ａ} Ｍ2 已知条件 ｐ :｜ｘ 1｜ >2 ;条件 ｑ :5ｘ - 6 >ｘ2 ,则非 ｐ是非ｑ     

一个猜想不等式的肯定--兼擂台题(54)的证明

擂台题 (5 4 ) :证明或否定若ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的三边长 ,实数λ≥ 2 ,则(ｂ+ｃ-ａ) λｂλ+ｃλ +(ｃ+ａ -ｂ) λｃλ+ａλ +(ａ +ｂ -ｃ) λａλ+ｂλ ≥ 32①引理　若ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,实数 ｐ≥ 1 ,则(ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ②证明　 (1 )当 ｐ =1时 ,②式等号成立 ,(2 )当 ｐ >1时 ,令 ｆ(ｘ) =ｘｐ(ｘ >0 ) ,这时 ,ｆ′(ｘ) =ｐｘｐ- 1,ｆ″(ｘ) =ｐ(ｐ -1 )ｘｐ - 2 >0 ,所以 ｆ(ｘ)是 (0 ,+∞ )上的凹函数。因为ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,由琴生不等式知ｆ(ｍ +ｎ2 )≤ ｆ(ｍ) +ｆ(ｎ)2 ,即有 (ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ,当且仅当ｍ =ｎ…     

关于等差数列前n项和比值的两类问题

在研究等差数列前ｎ项和的比值的过程中 ,发现两类规律 ,一类是两个等差数列前ｎ项和的比值 ,另一类是等差数列前ｍ项和与前ｎ项和的比值。1.设等差数列 {ａｎ}的首项为ａ1,公差为ｄ1,等差数列 {ｂｎ}的首项为ｂ1,公差为ｄ2 ,它们前ｎ项的和分别为Ｓｎ、Ｔｎ,则它们前ｎ项和的比值ＳｎＴｎ有下列性质 :定理 1:等差数列 {ａｎ}与等差数列 {ｂｎ}前ｎ项和的比ＳｎＴｎ是关于ｎ的一次分式函数 ,即ＳｎＴｎ=ａｎ+ｂｃｎ+ｄ。证明 :由Ｓｎ =ｎａ1+ｎ(ｎ - 1)2 ｄ1,Ｔｎ =ｎｂ1+ｎ(ｎ - 1)2 ｄ2 　得 :ＳｎＴｎ=ｄ12 ｎ +(ａ1- ｄ12 )ｄ22 ｎ +(ｂ…     

2003全国新课程卷理科22题别解

题目　设ａ0 为常数 ,且ａｎ =3ｎ-1 - 2ａｎ-1 (ｎ ∈Ｎ+ )(Ⅰ )证明对任意ｎ ≥ 1,ａｎ =15[3ｎ+ ( - 1) ｎ-1 · 2 ｎ] + ( - 1) ｎ· 2 ｎ·ａ0 ;(Ⅱ )假设对于任意ｎ ≥ 1有ａｎ >ａｎ-1 ,求ａ0 的取值范围试题是根据新教材数列一章中的一道习题设计的 ,情境新颖 ,背景公平 ,是一道具有一定创新能力的试题 .下面利用递推关系 ,给出如下解法 :Ⅰ )由ａｎ =3ｎ-1 - 2ａｎ-1 ,所以ａｎ+λ· 3ｎ =3ｎ-1 +λ· 3ｎ - 2ａｎ-1 =-2 (ａｎ-1 - 3λ + 12 · 3ｎ-1 )要使 {ａｎ +λ· 3ｎ}成等比数列 ,必须且只须λ=- 3λ+ 12 所以λ =- 15.即 {…     

高考数学模拟题

一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每个小题给出的四个选项中 ,只有一个符合题目要求 )1 已知集合Ａ={ｘ∈Ｒ｜ｍ≤ｘ≤ｍ2 }为空集 ,则实数ｍ的取值范围为 (　　 )　 (Ａ) 0 ≤ｍ≤ 1　 (Ｂ) 0 <ｍ ≤ 1　 (Ｃ) 0 <ｍ <1　 (Ｄ)ｍ =0或ｍ =12 在 ＡＢＣ中 ,ａ ,ｂ分别为内角Ａ ,Ｂ所对的边 ,则“ａ≠ｂ”是“ｓｉｎＡ≠ｓｉｎＢ”成立的 (　　 )　 (Ａ)充分非必要条件　 (Ｂ)必要非充分条件　 (Ｃ)充要条件　 (Ｄ)非充分非必要条件3 已知向量ａ,ｂ满足｜ａ+ｂ｜ =2 2 ,｜ａ｜=2 ,｜ｂ｜ =3,则｜ａ-ｂ｜=(　　 )　 (…     

用构造法证明数列型恒等式和不等式

对于数列型恒等式和不等式的证明 ,通常都采用数学归纳法 ,但如果用构造数列的方法来证明 ,往往更简洁 ,并且也容易被学生所接受 .1　“ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)”型对这种类型的恒等式和不等式 ,可以构造数列{ｂｋ} ,使得ｂｋ =Ｓｋ-Ｓｋ- 1(规定Ｓ0 =0 ) ,这样 ,ｂ1 ｂ2 ｂ3 … ｂｎ =(Ｓ1-Ｓ0 ) (Ｓ2 -Ｓ1) (Ｓ3-Ｓ2 ) … (Ｓｎ-Ｓｎ- 1) =Ｓｎ.对ｋ∈Ｎ ,如果有ａｋ ≤ｂｋ(或ａｋ ≥ｂｋ) ,那么ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)成立 .例 1　 (1993年全国高考题改编 )证明 8· 112 · 32 8· 232 · 52 …     

2000年下半年全国高等教育自学考试高等数学(一)试题

第一部分　选择题一、单项选择题 (本大题共 4 0小题 ,每小题 1分 ,共 4 0分 )在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 ,请将正确选项前的字母填在题干后的括号内。1.设Ｍ ={ 0 ,1,2 } ,Ｎ ={ 1,3,5} ,Ｒ ={ 2 ,4 ,6} ,则下列式子中正确的是 (　 )(Ａ)Ｍ ∪Ｎ ={ 0 ,1}　 (Ｂ)Ｍ ∩Ｎ ={ 0 ,1}(Ｃ)Ｍ ∪Ｎ∪Ｒ ={ 1,2 ,3,4 ,5,6}(Ｄ)Ｍ ∩Ｎ ∩Ｒ =(空集 )2 .设 ｆ(ｘ-ａ) =ｘ(ｘ -ａ) ,(ａ为大于零的常数 ) ,则 ｆ(ｘ) = (　 )(Ａ)ｘ(ｘ-ａ)　 (Ｂ)ｘ(ｘ+ａ)(Ｃ) (ｘ-ａ) (ｘ+ａ)　 (Ｄ) (ｘ -ａ) 23 .函数 ｙ =4 -ｘ2 的…     

两个不等式的再思索

文 [1]有这样两个不等式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ=1,则43 ≤ 1ａ + 1+ 1ｂ + 1<32 ,(1)32 <1ａ2 + 1+ 1ｂ2 + 1≤ 85 . (2 )文 [2 ]建立了如下两个新不等式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ=1,则32 <1ａ3 + 1+ 1ｂ3 + 1≤ 169,(3 )1ａｎ + 1+ 1ｂｎ + 1>32 . (4 )且在文末提出如下猜想 :若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ=1;ｎ∈Ｎ+,ｎ≥ 2 ,则1ａｎ + 1+ 1ｂｎ + 1≤ 2 ｎ+12 ｎ + 1. (5 )研究发现 ,文 [2 ]猜想 (5 )式成立 ,且(4 )、(5 )二式中的条件“ｎ∈Ｎ+,ｎ≥ 2”均可弱化为“ｎ∈Ｒ+,ｎ≥ 2” ,这就是以下两个更好的不等式 :定理 1　若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ…     

2011年江苏高考压轴题别解

<正>2011江苏高考第20题:设M为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项a1=1,前n项的和为Sn.已知对任意的整数k∈M,当整数n>k时,Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立.(1)设M={1},a2=2,求a5的值;(2)设M={3,4},求数列     

2001年数学高考模拟试题

一、选择题 :本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1 设Ｍ ={ｙ｜ｙ=2 ｘ,ｘ∈Ｒ} ,Ｎ ={ｙ｜ｙ=ｘ2 ,ｘ∈Ｒ}则 :(Ａ)Ｍ ∩Ｎ ={ 2 ,4}　(Ｂ)Ｍ ∩ Ｎ ={ 4 ,1 6}(Ｃ)Ｍ =Ｎ　　　　 (Ｄ)Ｍ Ｎ2 已知三条直线 3ｘ -ｙ 2 =0 ,2ｘ ｙ 3 =0 ,ｍｘ ｙ =0不能构成三角形 ,则ｍ可能取得的值构成的集合是 (　　 ) .(Ａ) { -3 ,-2 }　　　 (Ｂ) { -3 ,-1 ,2 }(Ｃ) { -1 ,0 } (Ｄ) { -3 ,-1 ,1 }3 设复数ｚ=ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ ,θ∈ [0 ,π],ｗ =1 ｉ则｜ｚ-ｗ｜的最大值是 (　…     

2001—2002年国内外数学竞赛题选解(一)

一、数论部分1.设ｋ和ｎ是正整数 ,且ｎ >2 .证明 :方程ｘｎ -ｙｎ=2 ｋ无正整数解 .(第 5 3届罗马尼亚数学奥林匹克决赛 )证明 :反证法 .设ｎ0 >2是满足ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｍ(ｍ >0 )中最小的一个 .若ｎ0 是偶数 ,设ｎ0 =2ｌ,ｌ∈Ｎ ,则ｘ2ｌ-ｙ2ｌ =(ｘｌ-ｙｌ) (ｘｌ+ｙｌ) ,于是ｘｌ-ｙｌ 是 2的整数次幂 ,与ｎ0 的最小性矛盾 .若ｎ0 是奇数 ,定义集合Ａ ={ｐ|ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｐ,ｐ、ｘ、ｙ均为正整数 } .设ｐ0 是Ａ中最小的一个元素 ,则ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｐ0 ,所以ｘ、ｙ的奇偶性相同 .又因为(ｘ -ｙ) (ｘｎ0 -1+ｘｎ0 -2 ｙ +… +ｘｙｎ…     

Legendre方程的最小解

许多文献都讨论过Ｌｅｇｅｎｄｒｅ方程 :ａｘ2 +ｂｙ2 -ｃｚ2 =0 (ａ ,ｂ和ｃ是正整数 )…… (1 )最小解的存在性。如果ａ ,ｂ和ｃ是无平方因子且互素的正整数 ,则称 (1 )为标准形式。Ｌｅｇｅｎｄｒｅ定理说明 ,如果 (1 )是标准形式 ,则它有非零整数解的当且仅当ｂｃ ,ａｃ和 -ｂａ分别是模ａ ,ｂ和ｃ的二次余数式。讨论 (1 )的最小解通常有两种形式 ,一是带权的极大形式 ,定义为 :‖ (ｘ ,ｙ ,ｚ)‖1=ｍａｘ{｜ｘ｜ｂｃ,｜ｙ｜ａｃ,｜ｚ｜ａｂ}二是带权的欧几里德形式 ,定义为 :‖ (ｘ ,ｙ ,ｚ)‖2 =(ａｘ2 +ｂｙ2 +ｃｚ2 ) 1/2有趣的是 …