巧用“n(n-1)/2”解个数问题

正所谓特殊公式,就是运用基本公式经过变形和推导得出的公式,恰当地运用特殊公式能简化解题过程,提高解题效率,也能解决一定按常规思路和方法解决不了的问题,便于学生形成技能技巧.但要注意的是巧用特殊公式时,一定要注意特殊公式的使用条件,不能一概而论.下面以n(n-1)/2这个特殊公式举例说明在解个数问题方面的一些妙用.     

拆项公式“1/n（n＋1）=1/n-1/n＋1”的拓展与应用

在初中数学竞赛题中,经常出现运用“拆项公式”来解决的问题,下面举例说明．     

“奇妙的1+2+3与1×2×3”的一个拓展

《中学数学杂志》2010年第6期刊登的《奇妙的1+2+3与1×2×3》一文(以下简称文[1])给出了如下两条结论:(1)任何三个连续的正整数,如果它们的和等于它们的积,则必为1、2、3.(2)任何三个不同的正整数,如果其和等于其积,则必为1、2、3.如果将数的允许范围从"三个不同的正整数"扩展     

不等式(1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/2n)~2<1/2的六种不同证法

给出了不等式(1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/2n)2<1/2的六种不同证法。     

“1+2+3与1×2×3”性质与拓展的巧证

徐研[1]给出性质:任何三个不同的正整数,如果其和等于其积,则必为1、2、3.汪嫣嫣等[2]对于上述性质进行了拓展:任何三个不同的整数,如果其和等于其积,则这三个数为1、2、3或者-1、-2、-3或者一数为0、另外两数为非零相反数.对于该性质及其拓展,原文中给出的证明方法比较繁琐,不容易为初中学生所理解.笔者现基于课程标准中的     

数列公式a_n=S_n-S_(n+1)(n≥2)的教学认识

正讨论数列{an}的通项公式与它的前n项和Sn是教材的一个重点内容,而把两者沟通、或由一个去讨论另一个是考试命题的一个兴奋中心,因而,数列公式an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n{2在日常教学中受到重视是非常普遍的,加强训练是十分流行的,而对公式的认识却有深浅不同,使用中出现漏错更是防不胜防(特别是在的地方).为了达成共识,我们愿首先就公式的导出、理解和应用提出看法,抛砖以引玉.     

分式线性递推数列a_(n+1)=(aa_n+b)/(ca_n+d)周期的确定及应用

正~~     

第二个重要极限公式lim(1-(1/x))~x=e(x→∞)的一个新的推广及应用

本文通过对第二个重要极限公式特征的分析,得到了一个新的推广形式并加以证明.最后,通过实例说明了推广式的应用.     

妙用不等式“A/x+B/y≥(A~(1/2)+B~(1/2))~2/(x+y)”智取一类最值

各类资料都有如下一类二元极值:题目1已知x,y∈R~+,且1/x+4/y=1,求4x+9y的最小值;题目2已知x,y∈R~+,且2x+9y=5,求2/x+1/y的最小值.此类最值,我们老师采用如下方法,以题目     

integral from n=0 to (π/2)sin~n xdx与瓦里斯公式的一个应用

对与定积分integral from n=0 to (π/2)sin~n xdx有关的一些积分进行了讨论,介绍瓦里斯公式及其证明,给出了瓦里斯公式在级数研究中的应用问题。     

对“T=2π(l/g)～(1/(l/g))”所蕴含的关系的推导

本文所讲的是如何用在高中阶段所学过的知识来推出公式T=2π(l/g)～(1/(l/g))中所蕴含的物理关系,即单摆的周期与重力加速度的开方成反比,与单摆的摆长的开方成正比,与摆球的质量无关。通常此种关系是在大学物理中用高等数学的知识推导出来的,在高中阶段仅通过实验得出有这样的关系,并没有给出理论上的证明。     

对“a_(n+1)=a_n+d”的思考与拓宽

an+1=an+d是同学们熟知的等差数列的递推公式,如果我们对其进行思考与拓宽,即将式中an+1,an的系数及d进行改变,就会变换出多种利用递推公式求数列通项的热门题型,下面我们逐一分析.     

与a1/2“联姻”的求值题

同学们都知道,形如a^1/2（a≥0）的式子叫做二次根式。可是在遇到有关a^1/2与其他知识点的"联烟"题型时,大家常不知从何入手。于是,笔者根据二次根式的有关性质或运算法则,     

有关p-级数(sum from n=1 to ∞)(1/n~p)与交错级数(sum from n=1 to ∞)((-1)~n/(2n-1)~p)的和的研究

本文探索求p-级数S(p)=(sum from n=1 to ∞)(1/n~p)及交错级数J(p)=(sum from n=1 to ∞)((-1)~n/(2n-1)~p)的和的一般方法和策略,获得一些重要的结论:证明了p-级数与交错级数的和所满足的两个公式,并给出了求p-级数(sum from n=1 to ∞)(1/n~p)的和的近似公式及误差估计式。     

一种最简单“(2n-1)阶幻方”(nεZ)的填数方法

笔者一直从事小学数学算术基础理论、小学数学教材教法以及小学数学活动课的教学和研究工作,经常深入到小学听课或带学生到小学开展实习指导工作。我们在小学数学教材上或寒暑假作业经常看到最简单的幻方问题,有许多教师和学生也在研究关于幻方的填数问题,但是他们都感到无从下手或者伤透脑筋。     

基本不等式a+b/2≥ab~(1/2)的应用

函数的最值是函数这一章节中的重要内容,它的重要性不仅在题型多样、方法灵活上,更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。高考应用题几乎都与最值问题有关,一元二次函数是函数应用求最值的常用方法,而基本不等式是解决     

例谈对基本不等式(a+b)/2≥(ab)~(1/2)中“元”的三重理解

<正>基本不等式在高考中是热点内容,在已有研究中,对基本不等式的剖析多是从变形的角度进行,实际上学生掌握起来还是颇为困难.本文尝试从元的角度去分析,以求能重新认识基本不等式的运用.一、正确理解基本不等式中a、b所适用的     

用教材教 而不是教教材——函数y=Asin(ωx+φ)的图象(第1课时)的“问题串”教学实录与点评

通过“问题串”,让学生经历知识的建构过程,充分发挥学生的主体作用,忠于教材而不囿于教材,讲重点、讲难点、讲易错易混知识点;不讲学生已经会的、不讲学生通过自学可以学会的、不讲老师讲了学生也不会的,让教学更有效,确保学生“既懂又会”.