第28届国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题解答

(试题见上期)必1.十一XZ卜·’+‘x。{毛侧几.1.解乙p。(无)=nl,a IXI十aZXZ十‘”十a”劣朴惫=O劣2}十…+.x:’)P。(论)=C井·P,_*(o) 儿l无!(n一k)!P。_、(0), 石(无一1川:,}+ 镇(无一l)了”. 把区间〔o,(忍一1)份,每一小区间之长为杯介〕等分成沦’‘一1等 (无一1)了几 无”一1仙兄无尸。(无)。=0习k.丽而二丽了尸一,(o)刀!自=1 由于a‘二0,1,…,无一1“=1,所以一共有犷一l个数 口1劣1+口2劣么+二’+口。x.。根据抽屉原则,总有两个数 ”一1 云 七一1=----兰-----一,下一~(。一卫灭而一1)!(。一k)!Uaf:,一卜a茵二:十…+a二劣。一P(…     

首届全国中学生数学冬令营竞赛试题解答

i.a,,a:,…,an为实数,如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 公1+劣:+…+x。=1的任意非负实数x;,x。,…,:。,有不等式 a:二‘+a:二:+…+a。x,势a,:全+aZ:雪十…十a。对成立. 请证明上述命题及其逆命题. 〔证一〕由题设二‘)o,a‘+a,乒O,(￡,j=i,2,…,n) az:2+a 2 xZ+”’+a”劣, =(a,xl+aZ劣:+…+a,x。)·1 二(a工x,+aZ劣:+…+a。劣。)(劣,+劣:+ …十二。) =a,:卜aZ:参+…+a。:盖共乙(。‘+。,):‘xJ)a,x矛+aZ:参 1,j一l ,簧J非负. 〔证二〕用数学归纳法 (i)n=2时,’.’a,+a:>o,劣1+xZ=1, ·’·。,2,+aZ‘:一(a,:扩+a::量) =a:公:…     

反三角函数的统一表达式

设x,a为实数,〔妇表示不超过a的最大整数.则有 a r e 5 in(5 1 nx)=‘一‘,〔,(一〔令合〕·),a r eeos(eo sx)=‘一‘,〔a(x一印一羞一)‘r。七;(t、二,二一〔万‘合〕·‘x“‘ 号,‘任z,,ar。c。‘(c t gx)=x一〔器〕‘(x今k爪证令一k任Z)。k,‘粤(无任z) 乙则i一2李、k落: 石兀取‘=〔聋·扫X一汀.1、\十丁J兀少X一兀尹Ik 一 X声‘、 n .‘1 S则凳 韵为偶),产.、/饭、nX5 InX十合)为奇)X一才尹..叹户了、s一/!lj、;一(一1)〔盖 告〕5 1 nX-:a re sin(sinx)=(一l)〔七.全〕a r C 51·{(一i)〔乞 5 in(一〔器 扫二)}:一〔穿 合〕今.…     

李代数~(Sl)(2,c)表示的一个注记

设五=对(2,C),它的根空间分解为L代数,La=C二,L一a=Cy,满足 〔戈,夕〕二几,〔h,戈〕=2戈,〔几,夕〕二H子La小乙一a,其中万二Ck为L的Carta”子=一Zy。设厂是m+l维不可约L一模,。。为厂的极大权向量,令儿一汁夕k一‘“一。,‘,一’,。贝(}。。,v.,…,。m是F的一组基,并且戈。、=(。一k+1)v卜:,yv、=(k+1),:十:,h口“(,一k+1)叭,存=0,1,…,。,,一:二。。千:二0。用数学归纳法容易证明 命题1 1)〔人,劣〕=Zn缺“ 2)〔h,夕)二一Zny” 3)〔劣,少”〕=”男”一‘h一粉(n一1)夕”一‘。 4)〔夕,灭”〕=一”男“一且h一n(”一1)义“一1 。。劣…     

高中数学系列复习与辅导 第七部分 综合复习与考试

、综合范例(a,乙). 例1A一{xI劣=已知f(‘)=x’ ax b(a,西‘R)’‘稗(2)设x,“为长方形的·f(x),x〔R},B一{x!x=f〔f(x)〕,竺x,二11执卜}n}J }mJ扮为长方形的边长,则2(x 封)二8, }nl=x任R},(1)若a=1,b=2,求A UB,A门B,(2)若A二{一i,3},求B;(3)若A={a},求a和乙的值. 解,(1)当a=1,     

方程求解别法——递推数列法

证:丫厂m兰竺i士l二x:.lim肠业=linl工几 ,=1 im 兀,吕X佗二艺X九 尸一1兰吵七二1…x之一卜,一2.lim劣吐些二lim溉十 ?一笑义了: ,一2,‘决的X,刃佗十1 X兀1=x,…11m(。,少X介一t一卜a:一i胜竺〕 …Xn一￡ ,,芜兀一之 1下“i一一 X7卜‘ x__,、十a。‘匕I一, X林一‘/二a‘妙十     

求解函数问题的“特别注意”

求解函数值域或与函数单调区间有关问题时要特别注意函数的定义域例1已知f(习=3二一“(2蕊、簇4)，F(:卜旷‘(x)12+f-，(x’)则的值域为( A.[2，5」B.[1，+co)C.【2，10〕D一〔6，13」分析:要注意x，尸均应满足广‘伽)的定义域.解:由f(，)=3一2(2蕊x蕊4)，求得f，(:)二109犷+2(x。[l，91)，则F(x)=旷’(，)〕“+f-，(x，)=109孙+610脚+6二(l卿+3)’一3··:尸(*)的定义域为〔l，9]，F(劝的定义域应满足l岌%簇9，1蕊护续9.解得1城x蕊3 o蕊log3x簇l，…6簇F(x)宾13.选D.李;利用换元法时栗特别注意新元的取值范围例2设a>0，求f(劣卜2a( 51…     

关于由f[f(x)]=x+1/x+2求f(x)的一个注脚

本lijl984年第4期《求函数解析式方法例说》一文指出了一个错误的例子:其次,为求符合条件(C)的另一函数,仿f。(x)=的结构,设厂(劝=b劣+c戈+a题:已知了〔厂(x)〕=(C),求f(劣).1 1l+工。十认甘(其中一“、‘为待定的常_玫)解’:仄f(幻〕二1+则f〔f(x)〕=b+c一abf(%)+a…f(工)==b+(c一ub)(戈+(a+b)(戈+u)+c 这个错误解答流衍校广。是借误的所用的反例是f(二)证明这个解答b+“一a宁=b一卜任一“o十a戈十a2丫+1X+3。到此,(c一ab)“不禁会想:这个反例是怎么找到的呢?还有没有别的反例呢?为此本人加上一个注脚。 /.c一ab\.u+b=灭b+。+b/十(。+6)*…     

武汉市高二数学竞赛试题

(1990年5月13日上午8:30—11:00)一、选择题(本题满分30分,每小题5分)1。给出如下的三个集合 k万,尸,、、:‘。,__。。八、。,以=气口I口一了,‘过‘I;‘v=气口!co万‘口=”I’厂二、口{“‘”‘以一‘f·则它们之间的关系是 (A)P二NcM.(C)PcN二肠.(D)P二万=M.x有公共点,则实数a的取宜范i一2 一一 y2.如果曲线C:: (B)PcN仁M.(x一a)’+2夕,=2与曲线C::围是(A)‘任〔了丁,井〕(C)a〔〔一了丁,斗〕(B)。。(一、二,号,.(D)a〔〔一侧丁,侧丁〕. 3.已知子(x)二8+Zx一xZ,g(x)二f(2一xZ),则g(尤) (A)在区间(一1,0)上是减函数.(B)在区间(…     

关于sum1/i(i+1) from i=1 to n 的两次推广

求 1i兀厄+乏11,,,_~万十云兀飞+’‘·田徽限。先求其前n项和: 1习,=不厄+乏云+’‘’.’.s,二合(〔洽一寿〕+〔寿一捻〕+〔捻一寿〕 1+一气二一一,-弋下二. 称戈犯+1)-,.’通项。‘蔽汁石=专-:.。。二(于一分‘(合-+〔而标一而潇而〕)=抓寿一‘而气石面).jl+、、,产:i一3+(合一宁)+… limn.弓卜00。1O”=,~二.. 4 1 11\+.—一.甲甲一丁) 、介乃十_L/ 1_11民IJ不甲下一下,+万下子二厂+只尸下不二于+ 1.‘.0‘.0.任0.4.0”’的极限为奋 1称+1 1 imn.勺卜C心泞,二1。我们考虑下列的极限问题: 11丁闰犷七丁一二+二-二~:一:一+.’.1.乙.J.任…     

高考导数的六大热点问题

一、与导数概念有关的问题 例1已知函数f(x)=理+Cx十 limf少2咨丫)了(2:今)_ 山咔)公— 嘛2+…十)咐十…十’卿,。。N·,则 解…执了‘2+弩‘2一Ax,二2上丫尽十瓷子(2)十执f〔2‘(立,〕抓2) 二Zf’(2)+f‘(2)=3 .f‘(2). 又…f‘卜)=C二+Cx+.二+C支尹一,+.二十C扛“. …f,(2)=一;一(Ze:·22c··…,*己··…,·c, ;〔(卜2卜1〕=告(,一,)· :一im_f四如卜自2二鱼)=3r,(2)=3(3、l). 山、念“2 评析导数定义中的增量酝有多种形式,可以为正也可以为负,如 _执 f(x 0--m公)一(x0) 一m山 本题是导数的定义与二项式定理有关知识的综合题. 二、…     

关于形如arcsin(sinx)的求值

、关于aresin(sinx)的求位2.当:〔〔一要, 乙晋〕时,a‘c,‘n(,‘nx)=X。证明:’.‘sinx〔〔一1,1〕 。rcs;n(s;。劣)。〔一号,二、2,月.sin〔aresin(sin二)〕二sinx又:〔〔一要, ‘二2而正弦函数在〔一要 石创上是增函执.’.ar“s恤(51”‘)·‘·证毕 ,.推论:当“〔一备,蛋,时,如,有了一“,二〔一二,吞〕,l!.厂”‘忍寻公、丈价有51;、x~:in。,),!{laresin(sinx)~a。 仁”,:求a rcs‘n〔,‘n(一梦,〕的值. 川‘:原式-一‘·〔S‘n(一二一誓)〕 一。rcs;n〔一in(二+誓,, 一ar。5 in(s‘n誓, .丝 7 二、类似地,当x在其它反三角丙数的值域中…     

国外数学竞赛题集锦

〔代数〕 1.(第16届全俄数学竞赛)试求这样的常数‘,使函数 “x,二a rc,g一;宗 tg〔一八一x)〕二‘g〔一‘92一ar·‘g;一土2多飞一4X-=一Zx。于是tgf(x)=tg〔一f(一x)〕。在区间 解(一告,奋,上是奇函数·设所求的常数:存在,使厂(x)在又f‘x),一f‘一x)均在(一号所以厂(x)=一八一x).即厂(x)为奇函数.冬)i一41了(一)上是奇函数,则f(0)=a retgZ ‘=0.于是‘为唯一可能的值是一arCtg2. 2.(第3届拉丁美洲数学竞赛)a,b,c,d,P,叮为自然数,且适合 一一1一bd 下面我们证明,在区间(一音上,函数 “x,=a rc“圣诺釜一ar·‘92 L__;a、P、cU“一U‘…     

第一试思路分析

一、选择题1.[答〕[解1〕由一(D)一l相似文献   

三项式x~m+x~n+1的因式分解

定理若整数仍、.不是3的倍数,而拼+介是3的倍数时,xZ十:十1是三项式‘仍+‘”十1的因式. 证明记f(x)=x“+:”十1.不妨设。=3k+l,佗=31十2(沦、l任z),。为1的一个三次虚根.那么 f(。)=。“,+‘+。,‘+,+1 =。+。2+1=0, f(。“)=。。沁+“+。。‘+4+1 二。2+。+1=0。因此,f(x)含有形如(z一。)(x一。’)二工艺十:十1的因式. 例.分解::7十2:‘十x十2. 解x7十2:”‘卜z十2二(x7十x“+1) +(xs+劣+1)=(x“+劣+1) (劣‘一劣‘十Zx,一劣“一劣+2)。三项式x~m+x~n+1的因式分解@王起凤$湖南道县一中~~…     

模型构造——组合等式证明的一种常用策略

教学实践告诉我们:组合等式的诬明在往比较繁复,术文拟用构造模型的方法来证明一类组合等式,今举数例,供同行探讨._2奋,sn醒4证明:考虑代数模型,(l+,)”二C:+C二劣 例1.求证: _葵n二.乙一‘co卜石一’1一C孟+C孟一C盒+一c孟一C孟+C盖一C二十”·十C盖x,+…十C拓二”,根据模型与待证结论的关系.令二=‘得:(1十i)’一C尸+价卜卜、心若十社C之+二 十护C君二(C品一(棍+C轰一C盒+…)=2”十’·(]斗l)”+’((了g,、,+C;,十,+(C孟一C盘+C二一C二十二)i.+弓+,十二十C舞扣又(1+i),,=2两式即可得结论 ”兀_二几汀\“。s刁十’s’升飞){_匕较…     

关于一元二次方程两根之差公式的应用

我们知道,一元二次方程a二, 6二 e=o(a铸。)的两根为 一6十J乎一4oc一6一J夕一落而- 甸.—一1云--一--一为’一一一加----一,将x:减去为,并设判别式△=夕一4ac,即得为媳一南 击 击 …… 敲二 一卜奋十合一合十会一专十一 ,二、一二2!下面举例说明它的应用. 了J一伍[’‘击一击一’一,言、一拼. 〔例一〕求直线。一二一1与抛物线。一令二:相交的两交点间的距离.[解3由大2 4,一4=o,得 了△‘,___,_,,J~为一”=二舒一了i百不.1百二J丽从叭=为一1及协二劣:一1相减,得甘:一92,劣,一劣:=了丽,所以 }A匀=了又二‘一二刃拜面i二玩牙=J32 32=8. (…     

问题出在哪里

题:求函数f(x)=、x,Zx十5 、/拼 百二下2三(二〔尸)的最小位。 有的同学解法如一F: 利用基本不等式“ 乙>2、/时(a)。,‘>0)。令g(x)=、/分而二一早5(丫一卜l)匕二-/,(丫)二、厂。土>0二十6X一二丫/而十3)2十16>0 厂(对二:(、) 而(x))?、、(劝下袱)江 、‘计(劝二八(劝、即训x‘ Zx平一亏一=、牙互件6x 25时解得、=一5,代入①得f(x)mi。=4训了。 但是这个结论是不对的,例如当x二0时,f(0)=(1 了了)了了<4、/了。 间题出在哪里?我们认为,应用上述基本不等式求极值时,切不可忽视条件:a.b是一定值的要求,仅在此条件下,当a二乃时.a b有最小值2…     

美国数学竞赛题和解答

第四届(1975年) 1.(a)敲明 〔5刘弓一〔5川坏13洲一刃十〔3夕 刘,这里、,夕二0.其中「“〕表示不大于“的最大整数(例如〔丫丁]二1). (乙)利用(召)或不利用(a),敲明 (5,,2)乞(sn)1 而,:万汉不石呼一。)汉3,千石乃。’对任何正整数。,n均为整数。征(a)实际上我仍可以征明〔5刘十〔5夕〕)〔3、十y〕 厂3夕十劣〕详一〔万了 厅」 (1)祀了一二一〔刘,犷一,一[列,’那么O泛二‘<1,o《,‘(1. [5、〕 !5夕〕一[5[二] 5、,」 [5[y〕 5夕,〕 一5 tx}」一!5二‘〕 51,〕十15,‘〕, 〔3、十夕〕一于〔3夕斗一二〕 「劣〕 「夕〕 二3〔x} 〔y] 13.、‘ …     

用拆项法求分数项数列前n项和

1.直接拆项求和i一犷 + 劣 了气例1.求和尽。钊:+立一)+ 歹十。。。一卜 1‘留”十丽一解(劣,鱿=l) 夕一1军”(军一1),(公二1,夕戈1)S”==劣(]一劣n)一r 1.,1一工(x今1,夕,1)毛些卫丝斗1一劣 参一1夕”(今一1)(劣戈1,夕戈1.)2.用部分分式拆项求和~盆_。_、_。1”IJz·水利巧”二不可嘴’万l十 1+一丽不万灭而石犷’/..、114解S,=之).,11\十、—一尸二户少 5日+。二十(一生一-一-二一)一4几一34界+1〕 几石万‘ 一般地,若a:,aZ,数列,a,戈0,花=1,2,得: 一生一+卫匕+.” 口x口2口2口3a,,…为等差公差为d,则易 1十一 口”口”+l 件一一, G工…