一个三角不等式上下界结果的简洁证明及一个不等链

<正>文1对常见不等式sinA/2sinB/2+sin/B2sinC/2+sinC/2sinA/2≤34进行了加强,并对其下界进行了估计,实际得到了如下结果:命题1在△ABC中,R,r分别为其外接圆和内切圆半径,则有3r/2R≤sinA/2sinB2+sinB/2sinC/2+sinC/2sinA/2≤1/2+r/2R.原文证明过程中利用半角公式把上述不等式转化成边的关系,并借助了几个三角恒等式和     

正弦定理的联想及其它

由正弦定理出发,我们可以得到如下定理:△ABC中,以sinA、SinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。且△ABC∽A′B′C′,△A′B′C′外接圆直径为1。证明:设△ABC外接圆半径为R, sinA+sinB=1/2R (a+b)>1/2R·C=sinC。同理可证 sinA+sinC>sinB,sinB+sinC>sinA。因此以sinA、sinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。由正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC,因此△ABC∽△A′B′C′,则A=A′,B=B′,C=C′。设△A′B′C′外接圆半径为R′,对△A′B′C′施行正弦定理,则sinA/sinA′=2R′=1。由这个定理出发,有下面的二个应用。一、关于三角形中一些恒等式和不等式的互证     

一类三角不等式的几何意义

设A、B、C为三角形的三内角,则有 sin2A sin2B sin2C≤3(3~(1/2))/2 (1) sinA sinB sinC≤3(3~(1/2))/2 (2) sinA/2 sinB/2 sinC/2≤3/2 (3) sinA/3 sinB/3 sinC/3≤3·sinπ/9 (4) ……………… sinA/k sinB/k sinC/k≤3·sinπ/3k (5)     

一个三角条件不等式的简便证法

“sinA/2sinB/2sinC/2≤1/8,(A+B+C=π)是三角形中常用到的一个不等式。这个条件不等式可以有多种证法。一般数学习题集、数学资料都把以下二个证法作为基本证法证法一:设sinA/2sinB/2sinC/2=t 则t=1/2(cos(A-B)/2cos     

关于一个三角不等式的进一步思考

文[1]用导数的方法证明了下面的结论在△ABC中,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC<2.注意到A:B=C=π/3时,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC的值等于3~(1/2),笔者不禁产生联想:`     

对正弦定理、余弦定理一节的两点建议

一、高中数学(人教版)第一册(下)第129页正弦定理、余弦定理一节中,介绍正弦定理时,仅仅推出了a/sinA=b/sinB=c/sinC,而不是a/sinA=b/sinB =c/sinC=2R,这对同学们全面理解正弦定理是十分不利的,也给解题带来了许多麻烦．所以许多老师都补充了这个知识点,但证明方法大多采用初中的平面几何证法.事实上,利用向量证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,过     

关于一个三角不等式的证明

在△ABC中,不等式:sinA/2·sinB/2·sinC/2≤1/8(等号只在正三角形中成立)即三角形三内角之半的正弦积不大于1/8。兹将几种证法罗列如下。为了方便,记y=sinA/2·sinB/2·sinC/2,A、B、C和a、b、c分别表示△ABC的三内角和三边长,sinA/2、sinB/2、sinC/2均为正数。下不一一赘述。     

双圆半径的几何性质

本文先给出含双圆半径的几何性质: 定理1:设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,顶点A、B、C到内心的距离分别为a0,b0,c0,则4Rr2=a0b0c0. 证明:因为r=(a0sin)A/2.=(b0sin)B/2=(c0sin)C/2. 所以r3=(a0b0c0sin)A/2(sin)B/2(sin)C/2因为△=1r/2(a+b+c)=Rr(sinA+sinB+sinC)=2R2sinAsinBsinC所以r/2R=sinA·sinB·sinC/sin+sinB+sinC又因为易证sinA+sinB+sinC=     

等边三角形判定的一组充要条件

文[1]给出一道南昌市高中数学竞赛题的简证,该题可叙述成如下:命题1△ABC为等边三角形的充要条件是sinA,sinB,sinC顺次成等差且cosA,cosB,cosC顺次成等比.笔者对该命题进行了类比探究,以命题形式进行叙述,本文约定:△ABC三个内角A,B,G所对边分别为a,b,c.命题2 AABC为等边三角形的充要条件是sinA,sinB,sinC顺次成等差且cosA,cosB,cosC顺次成等差.证明:必要性显然,下证充分性.由sinA,sinB,sinC成等差,得2sinB=sinA+sinC,由正弦定理,得     

浅析三角求值中的一类问题

在三角求值题中,常见到下面一类问题:在△ABC中,(1)已知sinA和sinB,求sinC;(2)已知sinA和cosB,求sinC ;(3)已知cosA和cosB,求sinC.这类题目的解法为sinC=sin(A B)=sinA·cosB cosA·sinB.需要知道sinA、sinB、cosA、cosB的值.但是在根据条件求这些值时,常考虑一解或两解情况.学生在这个问题上往往出现漏解或增解现象.下面给出一种判定方法.