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求勾股数组(a、b、c)的实质是求三元二次不定方程a2+b2=c2的正整数解的问题,因此可以从方程角度探求勾股数.为了便于探求勾股数,可将a2+b2=c2变形为a2=(c+b)(c-b),这样就可以求出一些具体的勾股数了.例如,当a=12时,有(c+b)(c-b)=144.因为c、b都是正整数,且易知c>b,所以c+b、c-b都是正整数,于是可得如下7个方程组:(1)cc+-bb==114;4,(2)cc-+bb==272;,(3)cc-+bb==348;,(4)cc+-bb==346;,(5)cc-+bb==264;,(6)cc-+bb==188;,(7)cc-+bb==196.,解这7个方程组可得4个勾股数组:(12、35、37),(12、16、20),(12、9、15),(12、5、13).实际上,上述7个方程组… 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2010,(4)
1.已知a、b、c为正整数,且a~2+b~2+c~2+48<4a+6b+12c,求(1/a+1/b+1/c)~(abc)的值.解:由a、b、c为正整数,得a~2+b~2+c~2+48和4a+6b+12c均为正整数,则不等式a~2+b~2+c~2+48<4a+6b+12c与不等式a~2+b~2+c~2+48+1≤4a+6b+12c等价. 相似文献
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第一试 一、选择题(每题6分,共36分) 1.a,b是1995的正整数约数,则有序数对(a,b)的个数是( )。 (A)16 (B)32 (C)64 (D)256 2.正数a,b,c,x,y,z满足a 2x=2b 3y=3c 4z=k,若M=ax by cz,则M的取值范围是( )。 相似文献
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一、等式与不等式的转化例1若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是______.分析为了求ab的取值范围,只要将原等式转化为不等式即可.解运用不等式a+b≥2ab姨,原等式可化为不等式.∵ab=a+b+3≥2ab姨+3,∴ab-2ab姨-3≥0.又ab姨>0,∴ab姨≥3,即ab≥9.例2已知不等式a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c,求正整数a,b,c.分析本题所给的是不等式,而求的是a,b,c,故应将原不等式转化为3个等式,才能解决问题.解∵不等式的两边是整数,∴将a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c配方得(a-b2)2+3(b2-1)2+(c-1)2≤0.则有a-b2=0,b2-1=0,c-1=0,∴原不等式有唯一的一组解a=1,b=2,c=1.二、常… 相似文献
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设a、b,c,d、r是适合a^2+db^2=c^r,gcd(a,db)=1,a恒等于-3(mod4),b恒等于2(mod4),d恒等于1(mod2),r恒等于1(mod2)。r〉1.(b/a)=-1,(d/a)=1的正整数,其中(*/*)是Jacobi符号,本文证明了:当c是奇素数时,方程a^x+db^y=c^z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,r) 相似文献
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一个不等式的推广 总被引:3,自引:0,他引:3
文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n … 相似文献
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刘静 《中学数学教学参考》2006,(10):58-58
Suppose(假设) that a,b,c,d, and e arenumbers that satisfy this system of three equations.
{ 13a + 26b+ 2c+13d + 3e=18, 6a+12b+c+6d+e=7,5a+10 b+c+5d+e=6}
译文:已知方程组:
{13a+ 26b+ 2c+13d+ 3e=18, 6a+12b+c+6d+e= 7 , 5a+ 10b+c+5d+e=6.}求e的值. 相似文献
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我们不难列举或编拟出下列一批既有趣 ,又令人有点望而生畏的无理不等式 :2≥ a 12 b 12 >2 62 .(1)(其中 a,b∈R ,a b=1)4 2≥ 5 x 3 5 y 3>3 13. (2 )(其中 x,y∈ R ,x y=2 )2 1≥ 4a 1 4 b 1 4 c 1>2 5 . (3)(其中 a,b,c∈ R ,a b c=1)4 2≥ 4a 1 4 b 1 4 c 1 4 d 1>3 5 . (4 )(其中 a,b,c,d∈R ,a b c d=1)33≥ 3a 1 3b 1 3c 1>2 7. (5 )(其中 a,b,c∈ R ,a b c=2 )4 3≥ tan A2 tan B2 5 tan B2 tan C2 5 tan C2 tan A2 5 >6 2 5 . (6 )(其中 A,B,C为△ ABC的三个内角 )6≥ 3 3a 7 3 3b 7 3 3c 7>2 3 7 3 10 . (7)(其… 相似文献
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《时代数学学习》2005,(11):9-9
问题设n是满足下列条件的最小正整数,它们是75的倍数且恰好有75个正数因数(包括1和本身),求7n5.解由已知条件知n=75k=3×52k,欲使n尽可能小,可设n=2a×3b×5c(c≥2,b≥1),且有(a+1)(b+1)(c+1)=75,所以a+1,b+1,c+1都是奇数,因此a,b,c都是偶数,所以c=2.由(a+1)(b+1)(c+1)=75,得(a+1)(b+1)=25.①a+1=5,b+1=5:a=4,b=4.故n=24×34×52;②a+1=1,b+1=25:a=0,b=24.故n=20×324×52.由①、②知最小的正整数n是24×34×52.故7n5=432.问题1.9参考答案… 相似文献
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题目 已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+ 4b2+ 9c2的最小值为____.
解法1 由柯西不等式得(a2 +4b2+ 9c2)(12+12+ 12)≥(a+2b+3c)2,
所以3(a2+ 4b2+ 9c2)≥36,
所以a2+ 4b2+ 9c2≥12,当a/1=2b/1=3c/1且a+2b+3c=6,即a=2,b=l,c=2/3时取得最小值. 相似文献
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刘康宁 《中学数学教学参考》2004,(9)
一、选择题1 .如果1 a1 -a=1 -b1 b,那么 ( 2 a) ( 2 b) b2 的值等于 ( ) .A 4 B -4 C 2 D -22 已知非零实数a、b满足 (a2 1 ) (b2 1 )=3 ( 2ab-1 ) ,则b( 1a -a)的值为 ( ) .A 0 B 1 C -2 D -13 实数a、b满足 (a a2 1 ) (b b2 1 ) =1 ,则a b的值等于 ( ) .A -1 B 0 C 1 D ± 14 已知a、b、c、d是四个互不相等的实数 ,且(a c) (a d) =1 ,(b c) (b d) =1 .那么 (a c)(b c)的值是 ( ) .A 0 B 1 C -1 D -45 已知 2 0 0 3x3=2 0 0 4y3=2 0 0 5 y3,… 相似文献
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说明 :解答本试题不得使用计算器 .一、填空题1 .若a、b、c∈Z ,且a =(b ci) 3 - 47i,则a的值是 .2 .在△ABC中 ,∠A、∠B、∠C的对边依次为a、b、c.若a2 b2 =tc2 ,且cotC =2 0 0 4 (cotA cotB) ,那么 ,常数t的值是.3.三边长是三个连续的正整数 ,且它的周长小于或等于 1 0 相似文献
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《湖南教育》2006,(9)
13.在□内填数,使得四位数□□25恰有两个数字相同,有几种填法?(木子提供)14.设an表示42n 323n的个位数字,试求a1 a2 a3 … a2006的值.(湖北黄梅县第一中学435500王卫华提供)15.已知a,b,c,d均为正数,且满足abcd=1,若不等式1(1 λa)2 (1 1λb)2 (1 1λc)2 (1 1λd)2≥1恒成立,试求正数λ的取值范围.(安徽省芜湖市城南实验中学241002杨晋提供)16.已知实数a,b满足:a b=1,a2 b2=2.证明:a4 b4-2(a b) (a2 b2)=(a b) (aa5 2 bb5-2)2 (a3 b3).(尹孜提供)17.已知x,y为满足x y=1的正数,求证:xx y3 x3y y≥5(x24 y2)≥35x2 xy3 x3 yy2),.(江西南昌大学… 相似文献
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安义人 《山西教育(综合版)》2001,(14)
解方程组的基本思想是消元。事实上 ,这种消元的思想还可应用于多元求值中。下面举例介绍多元求值的几种消元途径。一、代入消元例 1 若 x- y- 2 =0 ,2 y2 -y- 4 =0 ,则 xy- y的值是 ( )(A) 12 ; (B) 2 ;(C) 12 ,2 ; (D) 12 ,2或 - 12 。解 :由 x- y- 2 =0 ,2 y2 - y- 4 =0 ,得x=y 2 ,2 y2 =y 4。原式 =2 x- 2 y22 y=2 (y 2 ) - (y 4)2 y=12 。二、加减消元例 2 已知 3a b 2 c=3,a 3b 2 c=1 ,求 2 a c的值。解 :已知两等式联立为3a b 2 c=3,a 3b 2 c=1。∴ 3(3a b 2 c) - (a 3b 2 c) =8,即 8a 4c=8,∴ 2 a c=2。三、比值消元… 相似文献
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2个复数相等的条件是:实部等于实部,虚部等于虚部,即 若a、b、c、d∈R,且a bi=c di,则{a=c,b=d. 复数相等的条件的实质是把复数等式转化为实数等式,从而去解决实数问题.理解了这一点,就得到了解决复数问题的一把钥匙--凡是给出了复数等式,就可以通过复数相等的条件把已知复数等式转化为实数等式,达到解题目的,用2个复数相等解题的一般步骤是: 相似文献
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《中学数学教学》2 0 0 2年第 6期有奖解题擂台( 5 8)中 ,杨先义老师提出如下猜想 :设a >0 ,b >0 ,c>0 ,a +b +c=1 ,则1b+c2 +1c +a2 +1a +b2 ≥2 74①ab +c2 +bc +a2 +ca +b2 ≥ 94②本文指出 ,猜想不等式①不成立 ,不等式②成立。在①式中 ,令a =0 6,b=0 3 6,c =0 0 4,得左边 =3 41 9455 1 5 2 8<2 74=右边 ;故不等式①不成立。下面证明不等式②成立 ,并修正①式。运用Cauchy不等式 ,得[a(b +c2 ) +b(c +a2 ) +c(a +b2 ) ]( ab+c2 +bc+a2 +ca +b2 )≥ (a +b +c) 2 =1 ,所以 ab +c2 +bc+a2 +ca +b2 ≥1ab +bc +ca +a2 b +b2 c+c2 a。… 相似文献
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有些问题运用常规的思维方式寻求解题途径非常困难,找不到突破口。这时,我们就需要采用非常规的思维方式突破难点,寻找解决问题的方法,这就是解决问题的策略。下面,列举一些供同行们参考。一、构造等式例1:1a b1 c1=19199,a、b、c三数均为自然数,且a、b都是四位数,c为五位数,求c。分析:看到这道题,我们往往会围绕1999思考,但无论怎样变化,均感到无从下手。如果采用构造法先构造一个等式,再变化为满足题目的条件,就可以轻易获得解答。不妨设a'=2,b'=3,c'=6,构造等式:12 13 16=1。因为“1999×2”、“1999×3”均为四位数,而“1999×6”为五位… 相似文献
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本文标题给出的公式是一个广为人知的简单事实 .若巧妙地应用它去解有关问题 ,往往能收到意想不到的效果 .下面以竞赛题为例谈应用它解题的技巧 ,供同学们参考 .例 1 已知三个质数之积恰好等于它们和的 5倍 ,则这三质数为 .解 设这三个质数为a、b、c ,由题意得 :abc =5(a+b +c) ,根据质数的定义知 :a、b、c中有一个等于 5,不妨令a=5,于是bc =5+b +c即 (b - 1) (c- 1) =6 ,显然b≠c ,不妨设b>c,则 b - 1=6c - 1=1或 b - 1=3c - 1=2解得 b =7c=2 或 b =4c=3(不符合题意 ,舍去 )故所求质数为 2、5、7.例 2 求所有实数k ,使方程kx2 + (k+ 1)x… 相似文献