数学竞赛专栏

有奖解题擂台(21)河南师范大学数学系吴伟朝(邮编:453002)已知:凸四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点P,三角形ABP、BCP、CDP和DAP的内切圆圆心分别是I_1、I_2、I_3和I_4,其内切圆半径分别是r_1、r_2、r_3和r_4,且点P到直线AB、BC、CD和DA的距离分别是h_1、h_2、h_3和h_4。求证:(1)I_1、I_2、I_3、I_4四点共圆的充分必要条件是AB CD＝BC DA,(即ABCD有内切圆)。     

有奖解题擂台(31)

题 如图.设点P是单位正方形ABCD的内部或边界上的任意一点.三角形ABP、BCP、和DAP的内切圆圆心分别是人、I_1、I_2、I_3和I_4.其内切圆半径分别是r_1、r_2、r_3和r_4;(规定:当P在某条边上或某个顶点上.例如P是AB边上的点时.△ABP的内心I_1就是点P.且 r_1=0.r_1~1= ∞).又设ABCD的中心为O点,两条线段I_1I_3与I_2I_4相交于T点.     

数学问题与解答

486.如图1,△ABC的旁切圆I切边BC于D,E是BC边上任一内点,△ABE及△ACE与BC边相切的旁切圆圆心分别是I_1和I_2,求证:I_1D⊥I_2D。     

有奖解题擂台(24)

已知:P是凸四边形ABCD的内部或边上(不包括顶点)的任意的预先给定的一点,三角形ABP、BCP、CDP、DAP的内切圆圆心分别是I_1、I_2、I_3、I_4(规定:当P在某条边上,例如P是AB边上的内点时,△ABP的内心I_1就是点P)。     

一个有趣的平几公式

本文先证明笔者最近发现的一个平几公式,即: 定理1 已知△ABC,BC边上的高为h,N为BC边内一点,△ABN与△ANC的内切圆半径分别为r_1、r_2,则△ABC的内切圆半径r满足 r=r_1 r_2-2r_1r_2/h_1 (1). 在证明定理1的时候需要用到一道已知的平几题,即 辅助命题 在△ABC中,内切圆⊙I与BC、CA、AB三边分别切于D、E、F,DIK为⊙I的直径,直线AK交BC边于C,则BG=CD.     

一个有趣平几公式的对偶式

文[1]给出定理: 已知△ABC,BC边上的高为h,N为BC边内一点,△ABN与△ANC的内切圆半径分别为r1,r2,则△ABC的内切圆半径r满足r=r1+r2-(2r1r2)/(h).     

关于自耦变压器中电流计算问题

有这样一道题,如图所示,一自耦变压器,原副绕组的匝数分别为N_1和N_2,负载的电阻为R,在原绕组两端接上正弦交流电,其电压为U_1(有效值).求通过线圈BC部分中的电流。有人这样求解:BC部分是原副绕组的共用回路。原副绕组中的电流I_1、I_2都要通过这里,因而BC中的电流应是原副绕组中的电流     

数学问题与解答

如图1，△ABC的内切圆⊙O切BC边于D，DE为⊙O的直径，AE的延长线交BC于F，求证：BD=CF．     

一道女子数学奥林匹克题的另证

题目如图1,已知⊙0为△ABC的边BC上的旁切圆,点D、E分别在线段AB、AC上,使得DE／／BC,⊙01为△ADE的内切圆,     

一道赛题的另证

题目对于任意一个△ABC,记其面积为S,周长为l,P、Q、T依次为△ABC内切圆在边BC、CA、AB上的切点.证明:(第23届韩国数学奥林匹克)证明如图1.设△ABC的外接圆、内切圆半径分别为R、r.易知,BC=2Rsin A,TQ=AOsin A     

“面积分割法”VS“相似法”

<正>2006年天津数学中考试卷中有一道关于求三角形内切圆半径的压轴题,设计思路非常巧妙,引起大家对此类问题的广泛探讨.笔者探索总结了巧用面积分割法求内切圆半径的方法,介绍如下.例1(2006年天津中考题)已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8.(1)如图1,若半径为r_1的⊙O_1是Rt△ABC的内切圆,求r_1;     

关联六个圆半径的一组恒等式

定理设△ABC的BC边上的高为ha,D为BC边上的任一内点,且△ABC,△ABD,△ACD的内切圆半径分别为r,r1,r2;对着∠BAC,∠BAD,∠CAD并与BC边相切的这些三角形的旁切圆半径依次是r',r1',r2'.则有     

关联五个三角形内切圆半径的一个等式

命题　设D、E分别是△ABC的边BC上与顶点B、C不重合的任意两点 ,△ABD、△ACE、△ABE、△ACD、△ADE的内切圆半径分别记作r1、r2 、r3、r4 、r5.则图 1r1r2=r3-r5r4 -r5.引理[1] 　已知△ABC ,边BC上的高为h ,N为边BC上一点 ,△ABN与△ANC的内切圆半径分别为r1、r2 .则△ABC的内切圆半径r满足r=r1+r2 - 2r1r2h .命题证明 :如图 1 ,不妨设△ABC的内切圆半径为r,边BC上的高为h ,则由引理可得r=r1+r4 - 2r1r4 h ,①r=r2 +r3- 2r2 r3h ,②r3=r1+r5- 2r1r5h ,③r4 =r2 +r5- 2r2 r5h .④把④代入①、③代入② ,化简整理得2r1r4…     

2008中国国家集训队选拔考试

第一天 一、在△ABC中,AB>AC,它的内切圆切边BC于点E,联结AE交内切圆于点D(不同于点E).     

一个有趣平几公式的三角证法

《中学数学》(苏州)1996年第9期《一个有趣的平几公式》一文介绍了一个新发现的颇为有趣的平几公式,本文将巧用三角法提供一种别致的证明. 定理 已知△ABC,BC边上的高为h,N为BC边内一点,△ABN与△ANC的内切圆半径分别为r_1,r_2,则△ABC的内切圆半径r满足     

一道IMO试题的另解

第49届IMO试题的第6题为：在凸四边形ABCD中,BA≠BC．圆ω1和ω2分别是△ABC和△ADC的内切圆．假设存在一个圆ω与射线BA相切（切点不在线段BA上）,与射线BC相切（切点不在线段BC上）,且与直线AD和CD都相切．证明：圆ω1,ω2的两条外公切线的交点在圆ω上．     

郑重声明

命题 设ha为△ABC的边BC上的高，D为边BC上的任一点，且r,r1,r2分别是△ABC，△ABD，△ACD的半内切圆半径；设r',r1',r2'分别为对着∠BAC，∠BAD，∠CAD并分别与BC，BD，DC相切的三角形的旁切圆半径。     

关于垂足三角形的一个对偶恒等式

文[1]给出了一个涉及垂足三角形内切圆半径的恒等式:设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,p=(a b c)/2,△ABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为?、R、r,若△AEF、△BDF、△CDE的内切圆半径依次为rA、rB、rC,则cot cot cotA2B2C2r A r B rC=?r??R.(1)本文给出(1)式     

数学创新月月练

题1 如右图,⊙0为等腰梯形ABCD的内切圆,M、N、P分别为AB、CD、BC边上的切点,试尽可能多地找     

数学奥林匹克初中训练题（117）

第一试 一、选择题(每小题7分,共42分) 1.已知在ABC中,∠A＝90°,M是边BC的中点,BC延长线上的点N满足AM⊥AN.ABC的内切圆与边AB、AC的切点分别为E、F,EF分别与AN、BC交于点P、Q.则PN-QN( ).