不等式a~2+b~2≥2ab的又一推广

(理若a,b任六’,。、k任N,且正<刀,则a”十b”乡a丙b“一‘+a”一‘b“当且仅当a=b时等式成立. 例1.若p、q任R气p3十q“=2求证P+q气2. 证:由定理, (,+叮)3二刀“+口3+3(尹’,+尹叮’) 百尹3+夕3+3(,3+夕3)=8, .’.p+q毛2. 枉·{2 .a,b,c任R十, 则a“+乙“+。“升3ab。. 泣:事实上,a3+b3+。一(a‘+b3+b“+c吕十c,+a吕)1,(a’乙‘一“/)“卜今哭。卜b(+e Za十。a“)=音一〔。‘“2+·”+“·’十·”干·(。:+“·,〕、3。“二(竹者单位:江苏建湖一县芦沟中学)不等式a~2+b~2≥2ab的又一推广@肖秉林$江苏建湖县芦沟中学 @沈文兆$江苏建湖县…     

不等式a~5 b~5>a~3b~2 a~2b~3的推广和应用

高中代数第二册中有这样的两个不等式:已知a,b∈R~ ,并且a≠b,那么a~3 b~3>a~2b ab~2;a~5 b~5>a~3b~2 a~2b~3。本文将其推广为更一般的不等式。即下面的 [定理] 设a_1,a_2,…,a_n,m,a,k∈R~ ,且m=a (n-1)k,n≥2,则a_1~m a_2~m … a_n~m≥a_1~a a_2~k…a_n~k a_1~ka_2~aa_3~k…a_n~k …a_1~k…a_(n-1)~ka_n~a…(A)成立。(当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取“=”号)。证:对n用数学归纳法。①当n=2时,m=a k,a_1~m a_2~m-(a_1~aa_2~k a_1~ka_2~a)=(a_1~a-a_2~a)(a_1~k-a_2~k)≥0,仅当a_1=a_2时取“=”号。命题成立。     

不等式a~3+b~3+c~3≥3abc的证法及推广

现行教材中三元基本不等式 :“若 a,b,c∈R+ ,则 a3+ b3+ c3≥ 3 abc,当且仅当 a =b =c时 ,等式成立 .”是用因式分解方法证明 ,但分解需要一定技巧 .笔者在教学中了解 ,学生除了欣赏很难掌握 .笔者从学生已有的知识出发 ,通过证明一般的情况 ,导出三元基本不等式的证明 .要证上述“若 a,b,c∈ R+ ,则 a3+ b3+ c3≥ 3 abc,不等式成立 .”学生已有的知识是 :若 a∈ R+ ,a≥ a成立 ,(a∈ R也成立 )若 a,b∈ R+ ,a2 + b2 =2 ab成立 ,当且仅当 a =b时 ,等式成立 .(a,b∈ R也成立 ) ,自然联想 :a,b,c,d∈ R+ ,a4 + b4 + c4 +d4≥ 4abcd是否成…     

sum((1/(a~2))的下界估计

文 [1 ]给出∑ 1a2 的上界估计 ,即设a、b、c为△ABC的三边长 ,R、r分别表示△ABC的外接圆、内切圆半径 ,则有∑ 1a2 ≤(R2 +r2 ) 2 +Rr(2R - 3r) 2R2 r3 (1 6R - 5r) .①文 [2 ]将①式加强为∑ 1a2 ≤ 14r2 .②本文给出∑ 1a2 的下界估计∑ 1a2 ≥ 12Rr.③证明 :∑ 1a2 =b2 c2 +a2 c2 +a2 b2a2 b2 c2≥(bc) (ac) +(ac) (ab) +(bc) (ab)a2 b2 c2=c+a +babc .由三角形中的恒等式a +b +c =2p(其中p为半周长 ) ,abc =4Rrp代入上式即得③ .有趣的是由②和③可得2r≤ 12r∑ 1a2≤R .这里又出现了欧拉不等式的一个隔离 .sum((1/(a~2))的下界…     

一道数学竞赛题的六种证法

题目：a、b、。设分别是直角三角形ABC的两条直角边和斜边的长,则an＋bn＜cn（n＞2nEN）。（1980年匈牙利数学奥林匹克试题）证法1：用数学归纳法证①当n＝3时,由c＞a及c＞b得：a’＋b’＝a’·a＋b‘·b＜a‘·c＋b‘·C“C（C‘＋b‘）＝c’即当n＝3时,原不等式成立。②假设n＝k时,原不等在钻改立,即a‘＋b‘＜c‘则n＝k＋1时,有／”‘＋b‘”‘。a‘·a＋b‘·b＜a‘·C＊b‘·c＝C（C‘＋b‘）＜C·C‘＝c。、1即当n＝k＋l时,原河湾劳o成立。综合①②知,对于n＞2,nEN,原不等式都成立,故a”＋b”＜C”n［＄2;37HseMt…     

一个不等式的推广

文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n …     

基本不等式a~2+b~2≥2ab的变形与应用

基本不等式a2+b2≥2ab在不等式的证明中起重要作用,但有些不等式直接用它去证明比较困难,而应用该不等式的变形去证明却比较方便. 变形1a2+b2≥2ab a2+b2≥1/2(a+b)2. 例 1 已知 a,b,c∈R+,且a+b+c=5,a2+b2+c2=9,试证明:1≤a、b、c≤7/3. 证明:由已知 a+b=5-c,a2+b2≥9-c2,∵a2+b2≥1/2(a+b)2,∴9-c2≥1/2(5-c)2,∴3c2-10c+7≤0,∴1≤c≤7/3,同理1≤a≤7/3,1≤b≤7/3. 例2 设a,b∈R+,且a+b=1,求证:(a+1/2)2+(b+1/b)2≥25/2.     

运用a~3 b~3 c~3-3abc的分解因式解题几例

a3 b3 c3一3abc =(a b)3 c3一3“b(a b)一3“bc ~[(a b) c〕[(a b)2一(a十b)c cZj 一3ab(a十b十c) =(a b c)(aZ bZ cZ一ab一bc一ca). 下面举例介绍aa ba ‘3一3obc的分解因式在解题中的应用,供同学们学习时参考. 例1已知a b ‘~6,矛 夕 ‘2~14,矿 b3 ca~36,求abc的值. 解由。 b ‘~6得 a含十b盆 c,十加b Zbc十Zca=36,.’.口b bc ‘“~11.丫a3 b3 ca一3abc ~(口 b十c)(“Z bZ c足一“b一bc一c召), 1,,:。“bc~令「a“ b3 ‘3一(d b ‘)·一’一一3‘一’一’一、一’-(aZ bZ cZ一。b一bc一ea)〕 例2‘5~0. 解一合〔36一6(14一11)j一6.已…     

不等式“a~3 b~3 c~3≥3abc”的再一次加强

设a、b、c∈R ,求证: a~3 b~3 c~3≥3abc a(b-c)~2 b(C-a)~2 c(a-b)~2。 这个不等式是著名不等式a~3 b~3 c~3≥3abc的一个加强,在中学数学杂志上曾引起了一些讨论。它的等价形式曾作为瑞典1983年的竞赛试题:若a、b、c∈R~ ,求证:abc≥(-a b c)(a-b C)(a b-c) (1) 联想到(1)的右端与海伦公式的相似之处,本文将(1)进一步加强为:     

a~2+b~2≥2ab的运用

由(a一b)’)o,可得矿+夕妻Zab.运用这个公式可以沟通不等和相等之间的内在联系,实现不等和相等的相互转化.下面举例说明它的运用.①②③4x2 …1+州“‘解方程州拭兴夕 L一卫兰一 1+4艺2一y,=Z, 分析当x一。时,必有y~。,z~0,显然x~y~二一。是原方程组的一组解;当x笋。时,由1+4扩联想到1+4尹)4x,由此可将方程①转化为不等式. 解x一y一二一。显然是原方程组的一组解;当二护。时,必有y尹O,z护0. 由①得4护一y(1+4x,)妻y·4x. 由③知x>0,…x妻y. 同理,由②、①得y)z,由③、②得z妻x.X一y一之。?一,代人①,得二一,一告一原方程组的两组解分别是…     

再谈a~3 b~3 c~3≥3abc 的多种证法

读贵刊(中教版·月刊)2000年第3期 P_(23)刊登的“a~3 b~3 c~3≥3abc 的另外两种证法”一文,受到启发.这是一个著名不等式,是高中课本上的一个重要定理:“如果 a,b,c∈R~ ,那么a~3 b~3 c~3≥3abc(当且仅当 a=b=c 时取“=”号).”笔者给出除上文证法外的另外八种证法,作为对该文的补充及对证法的进一步探讨,多角度地透视这一著名不等式所蕴含的     

一类不等式及其证明

文 [1 ]有如下两个不等式 :已知a、b∈R ,a b =1 .则43≤ 1a 1 1b 1 <32 ,①32 <1a2 1 1b2 1 ≤85.②经研究 ,笔者发现式②可推广为命题 1　若a、b∈R ,a b =1 ,n∈N ,n≥2 ,则32 <1an 1 1bn 1 ≤ 2 n 12 n 1 .③证明 :先证明式③左边的不等式 .当n =2时 ,     

公式a~2 b~2≥2ab的变形及应用

不等式a~2 b~2≥2ab成立的条件是:a,b∈R,当且仅当a=b时等号成立。又当a,b∈R_ 时有:a b≥2(1/ab),当且仅当a=b时等号成立。本文将介绍其变形在解题中的应用。     

3a~2+2a~3=5a~5吗?

3条狗＋2只猫＝5个狗猫．谁见了这样的加法,都会觉得错得可笑．可是,有的同学一遇到3a2＋2a3,就毫不犹豫地把它们加在一起得到5a5,类似的错误还有3a＋2b＝5ab,3a2b＋2ab2＝5a3b3,…发生错误的原因在于：非同类项也进行了合并．要进行合并,就要搞清什么是同类项．同类项是指所含的字母相同,并且相同字母的次数也相同的项．如3a2与2a3,3a3与2a3,3a2b与2a2b都是同类项．狗和猫不是同类,不能加在一起;同样道理,3a‘和2a3（3a和Zb,3a‘b和Zab句不是同类项,当然也不能加在一起．有的同学对于运算结果3a‘＋2a3,总觉得没有做完,在…     

对基本不等式a~2 b~2≥2ab证明的探究

人教版高中数学选修系列4-5《不等式选讲》P5中以定理的形式给出了基本不等式:a2 b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.     

一道IMO预选题的简单解法

在第31届IMO预选赛中,有这样一道题:设a、b、c、d是满足ab 酝十cd da二1的非负实数,试证: a3西3 c3 d31于一厂二-二一于 一一,,一丁一; 一丁;一,一奋十一二、-下一)牛口 C 叮一口 C 以’a b 召一a 少 c一3 把上述不等式左、右两边分别招加: a 3b,e3口,云下-一万丁石十~丁丁二厂下一马十二了万一:一石 -尸二—u,‘一““个‘十a“十D十a夕升夕十C~1‘‘二,石~又a十口十C十a夕一 石412一矗〔·十”十‘十‘’1l3’本文应用均值不等式(宁异而·(a b c e)一,二 一竺苍丝习示,x、;、:、。*·)给出这道试题一种简单的解法.,.’ ab b‘ cd da=1…     

a~2+b~2≥2ab的五个重要推论及应用

如果a,bR,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号).该结论利用作差法极易证明.下面给出其推论及应用.推论1如果a,b是正数,那么a+b2≥ab√(当且仅当a=b时取“=”号).这个定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.其应用极其广泛,常用于求最值、比较大小、求取值范围和证明不等式等.例1若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是A.18B.6C.23√D.234√解3a+3b≥23a·3b√=23a+b√=6(当且仅当a=b=1时取“=”号).即3a+3b的最小值为6.选B.推论2如果a,bR,那么a2+b2≥2｜ab｜(当且仅当｜a｜=｜b｜时取“=”号).证明∵a2+b2=…     

代数变换体系f(ra,rb,rc)=f(x,y,z) 导出∑bc/h2a≥4的不等式链

文[1]介绍了涉及三角形高线的不等式: r(5R-r)/R2≤h2a/bc+h2b/ca+h2c/ab≤(R+r)2/R2① 文[2]在①的基础上,建立的如下不等式: bc/h2a+ca/h2b+ab/h2c≥4 ② 文[3]建立了比②更强的如下不等式: bc/t2a+ca/t2b+ab/t2c≥4 ③     

利用a~2+b~2≥2ab的变形证明数学竞赛题

一3}eos才)2+(Zlsinil一s)2>》些士互二旦!畔旦些廿竺{兰;里i剑二矍卫~一l..J工 利用aZ十夕>2a合.可推导出一系列变形的不等式.而应用这些变形式又可解决数学竞赛的问题,下面举例说明.+b)2了石石仁严些l生(a,b(R+)卜“不。(二。,一‘卜、5、。,、乃’例、:设今。,证明:?灯牙2万了夔~里竺玉苏联)16一了13sin(必一叨)]’ 2(令J eost}二eos沪,证明:…2习了+?‘歹》2 .JZ哥又2‘不lsint)。sin职)=2·P万玉一十澎犷 2距梦至钊·‘钓’一声.:万了+2澎牙尹.2板. l_,_3、2 忆。一矿13·~I、、矿13/,、I,__、伟工,竹连匀.,k、挤一~—一丁一~一一…     

关于分式不定方程的一个命题

命回设心、al、a、。E N,i— 1,2,…,n,a—p;,m,…,an】(最小公倍数),a‘j尸.素.则不定方程 OI Og d。d。 xZ x7 xk" W有无穷多正整数解. 证明;设 b、c、n;、n。、k;、k。 6 N,令。;一b,·。(i。 l, 2,…,n),y—b”J· c”。代入①,得 \4M di多”厂了7丁灭一d”i7ry7N;:·W *一否*一巨@〔-z工-1’l‘飞 取心一a,c一乙心,则②式化为 i——l ”;.c“。-‘一沪1·产。, ’(伽;一ahl一l,③即厂、“。“; 1叭一伽。一l.① 山于a与。互素,故不定人…