例析齐次化方法在不等式证明中的应用

所谓齐次化就是将要证明的非齐次不等式利用所给条件转化为齐次不等式的方法．由于许多重要不等式,如均值不等式、柯西不等式自身就是齐次不等式,所以证明一些带条件的非齐次不等式时,若能利用所给条件对原不等式进行恒等变形,转化为易于证明的齐次不等式形式,则问题将得到解证．下以数例说明．     

由∑bc-(4Πa)/9≤1/4引起的“链式反应”

针对一类条件为 :a b c=1(a ,b,c为非负实数 )的三元非齐次不等式的证明问题 ,笔者提出如下定理 :　　　　　∑a2 2 ∑bc=1Ⅰ　　　　　∏a≤ 12 7 Ⅱ　　　　　∑bc-49Πa≤ 14 Ⅲ本文列举 10道三元非齐次条件不等式 ,均可由该定理直接或间接得到证明。其证明途径可列成如下网络 :这就是定理所产生的“链式反应”的主链、侧链、支链图     

由∑bc—4／9пa≤1／4引起的“链式反应”

针对一类条件为：a b c=1(a,b,c为非负实数）的三元非齐次不等式的证明问题，笔提出如下定理：∑a^2 2∑bc=1Ⅰпa≤1/27Ⅱ∑bc-4/9пa≤1/4Ⅲ本列举10道三元非齐次条件不等式，均可由该定理直接或间接得到证明，其证明途径可列成如下网络：定理→（1)→（5) 0190(10)→（2)→(7)→（6)→（3)→（8)→(4）→（9)。     

不等式问题的三种特殊求解思路

一、齐次化与非齐次化齐次化方法与均值不等式、柯西不等式(或与它们等价的不等式)紧密联系,常应用于给定某个等量关系的不等式问题,也可应用于分式向常数的不等转化等.不等式的齐次化常可通过非齐次化的题设条件转化得到.例1(1)已知a2+b2=c2+d2=16,求证:|ac+bd|≤16;(2)已知a,b,c>0,ab+bc+ca=1,求证:a+b+c≤1/3abc;     

例析几类不等式的证法

不等式证明方法多样、灵活多变、技巧性强,因此倍受青睐,常常成为高考和竞赛的热门话题,下面举例分析条件不等式的不同证法.一、条件不等式的齐次化证明有些条件不等式的证明,若能巧妙地利用条件把不等式的分子、分母或每一项的次数转化为相同的次数,然后利用有关公式予以证明,方法独特,新颖别致.     

一类三次非齐次条件不等式的证明

一类三元三次非齐次条件不等式的证明题,屡见于数学竞赛试题或数学征解问题中,颇具难度,传统证明方法较为繁琐,目前尚未见证明通法的报道．有鉴于此,笔者作了一些探索,总结出一种证明方法,并就教于专家、读者．定理1设x,y,z∈R＋,且x＋y＋z＝1,则以上三个定理可用平均不等式证明,此处略去．我们指出：（1）Z,y,Z也可以是非零实数;（2）定理1,2,3还可以综合为l巧用定理三～3证明三次非齐次不等式创1设凸ABC的三边为a,b,c,且a＋应当指出,对于题没条件为Z＋y＋Z一天＞0,可作变换Z一kZ‘,y一切’,Z一bZ’,从而得…     

一个含参数半离散型的Hilbert型不等式

通过构造一个包含齐次和非齐次两种形态的多参数半离散型核函数,并利用权系数方法和实分析技巧,建立一个新的半离散型Hilbert型不等式.经证明,新建立的不等式的常数因子是最佳值.     

利用齐次化与非齐次化思想证明不等式竞赛题

设含有变量x1,x2,…,xn的不等式,如果对任意正数λ,用λx1,λx2,…,λxn去替代x1,x2,…,xn所得的不等式不改变,则称这个不等式是齐次不等式,否则,称这个不等式是非齐次不等式．     

巧用“1”的逆代换求解最值问题

<正>学习了基本不等式■后,解题时发现一类题型,如果使用"1"的逆代换,通过合理的配凑化非齐次式为齐次式■,就能使解题过程变得更加简单清晰.下面对几种类型加以归纳整理.类型1整式和与分式和在条件与结论中搭配求解此类问题的关键是观察分式中分母的和与整式的关系,合理配凑.     

巧用切线法 妙证不等式

不等式的证明既是数学竞赛中的热点,也是难点.切线不等式在解决一类条件不等式中有着广泛的应用.本文从函数凹凸性的视角,对一类条件不等式进行模型总结,提出借助曲线的切线证明该类不等式的方法,并发现部分非条件不等式可化为条件不等式进行证明.     

证明一类分式齐次不等式的通法

<正>分式齐次不等式结构简单、优美,广受各类数学竞赛命题者的青睐.而分式齐次不等式的证明,难度之大,让很多考生望而却步.笔者在此介绍一种通法,以解决一类齐次分式不等式问题.一、通法的介绍     

构造齐次式巧证一类条件不等式

证明不等式,方法很多,分析法、比较法、综合法、反证法、换元法及数学归纳法等基本方法.事实上,不少条件不等式.还可以通过构造齐次式进行论证,此方法简单,易操作.本文以如下几例来说明.     

关于一类非齐次不等式的一个定理

文 [1]利用“消去———配方法”所证明的一类三元非齐次条件不等式问题 ,均可转化为形如ｘｙ ｙｚ ｚｘ-ｔｘｙｚ≤Ｍ的不等式问题 .利用下文的定理 ,或证明定理的方法 ,可以使这类不等式获得统一的解决 .定理　已知ｘ ,ｙ ,ｚ均为非负实数 ,且ｘ ｙ ｚ=Ｍ　 (Ｍ >0 ) ,ｔ∈Ｒ ,则ｘｙ ｙｚ ｚｘ -ｔｘｙｚ≤12 7(9-ｔＭ)Ｍ2 (0 <ｔ≤ 94Ｍ) ;　　　 (1)14Ｍ2 (ｔ >94Ｍ) .　　　 (2 )证明　由于不等式关于ｘ ,ｙ ,ｚ轮换对称 ,不妨设ｘ=ｍｉｎ{ｘ ,ｙ ,ｚ} ,因为ｘ ｙ ｚ=Ｍ ,所以 0≤ｘ≤Ｍ3.(1)当 0 <ｔ≤ 94Ｍ 时 ,由于ｘｙ ｙｚ …     

“消元——配方法”巧证一类非齐次不等式

对于在条件ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ下的一类三元非齐次条件不等式,其证明方法甚多,但都颇具难度,不易掌握．本文提出“消元—配方法”,即通过消元：ｘ＋ｙ＝ｋ－ｚ;ｘｙ≤１４（ｘ＋ｙ）２＝１４（ｋ－ｚ）２,将原不等式化归为只含一个元素ｚ的一元三次不等式,然后利用配方法、比较法统一地予以巧证．该方法规律性强,便于掌握,对证明这类非齐次条件不等式十分有效．现举例说明．１　证仅含ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ,ｘｙｚ及常数项的不等式例１　已知ａ,ｂ,ｃ皆非负实数,且ａ＋ｂ＋ｃ＝１,试证：ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ－９４ａｂｃ≤１４．（《数学…     

“化齐次法”证条件不等式

若不等式两边各项的次数相等，则我们称之为齐次不等式．由于课本上的两个基本不等式a^2 b^2≥2ab，a^2 b^2 c^2≥3abc(a，b，c∈R )都是齐次不等式，而大部分条件不等式却不是齐次不等式，所以若能够结合题设条件，将条件不等式化成齐次不等式来证的方法我们称为“化齐次法”．下面以几个竞赛题(报刊征解题)为例予以说明．     

用一种代换方法证明两类条件不等式

在代数不等式的证明中,我们经常会遇到三个正数的和或积为1的条件不等式,这类不等式的证明使用的数学工具和方法灵活多样,没有固定、统一的方法.本文介绍一种代换方法,可作为处理这两类条件不等式的一种方法.     

"不等式的证明"(复习)课堂实录

[本课选自人教版《数学》(必修)第2册(上).]一、不等式证明的常用方法和基本不等式师:前面我们复习了不等式的性质,现在开始复习不等式的证明.下面我们先来看一个问题:例1:求证:(a~2 b~2)(c~2 d~2)≥(ac bd)~2如何证明这个不等式呢?我们回忆一下,不等式证明有哪些常用的方法?生:比较法、分析法和综合法.     

非齐次双曲型守恒律组的整体解的研究

主要是在文献[1]的齐次方程的基础上对非齐次的双曲型守恒律的整体解进行研究,主要对两个问题进行了研究,第一个是如何除了非齐次项,主要是利用广义的Glimm把非齐次的转化为齐次的.第二个是证明解的存在性.主要利用激波的一些性质.     

用柯西不等式拆分证明一类不等式

<正>笔者在证明一些不等式时,发现有一类含分式的不等式,如果分式的分子是单项式,且分母有多项,则该类不等式可以借助柯西不等式进行拆分证明,即把一个母分式拆分成若干个子分式之和,进而证明此类不等式.在运用柯西不等式拆分时,常需结合均值不等式处理.下面举例说明这一方法的应用.     

巧构造 妙证题

求证(1 1)((1 1/3))…1 (1/(2n-1))>(2n 1) 这是1998年高考题中需证明的一个不等式,一般都是采用数学归纳法来证明的.但是,在新教材中,不要求会用数学归纳法证明不等式,那么如何证明这个不等式呢?