垂足三角形的性质及应用

垂足三角形的问题常常出现在数学竞赛题中。本文给出关于它的面积、周长、内切圆半径、外接圆半径的有关性质及它们的应用。     

和垂足三角形有关的几个不等式

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形．本文主要研究了和垂足三角形有关的三角形之间外接圆半径、内切圆半径、旁切圆半径及边长相关的几个不等式．     

垂足三角形的性质及证明

锐角三角形的垂足三角形有两个重要的性质,本文对这两个性质加以证明. 性质1锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心. 已知:如图1,锐角△ABC中,AD、BE、CF分别为边BC、AC、AB上的高,O为垂心.     

涉及周界中点三角形的两个不等式

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分，则称这一点为三角形的周界中点，并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形．     

一个有趣的几何不等式

本将给出三角形及其垂足三角形外接圆半径与原三角形面积之间的一个有趣的几何不等式．     

垂足三角形的几个有趣性质及其猜想

设△DEF为锐角△ABC的垂足三角形(如图).并设△ABC的三内角为A、B、C;三边BCa=、CAb=、ABc=;0EFa=、FD0b=、0DEc=.分别设△ABC、△DEF、△AEF、△BDF、△CDE的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积依次为R、0R、1R、2R、3R;r、0r、1r、2r、3r;P、0P、1P、2P、3P和D、0D、1D、2     

关于Cevian线的一个几何不等式

涉及三角形内一点的几何不等式有不少,散见于多种数学刊物,本文再介绍一个与Cevian线有关的优美的几何不等式。     

三角形中的几个不等式

在数学奥林匹克问题 (载《中等数学》2 0 0 0年第 5期第 4 9页 )中有一道几何不等式题 :在钝角△ABC中 ,∠A为钝角 ,ha 为边a上的高 ,求证 :a ha>b c.本文给出如下几个命题 .命题 1　在等腰△ABC中 ,∠ A为顶角 ,ha为边 a上的高 ,则 :(1 )若∠A=arccos72 5,则 a ha=b c;(2     

三角形中的几个不等式

文献[1]-[3]讨论了大量竞赛中的三角形不等式,本文主要通过凸函数方法与极值方法讨论如下另外一种形式的三角形不等式．     

关于垂足三角形的几个极值问题

本文给出垂足三角形中的几个极值,并提出关于垂足三角形的两个极值问题.     

垂足三角形的一个性质

文[1]证明了三角形垂心的一个性质:定理0若△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.本文将这一关于垂心的性质推广至平面上任一点,证明垂足三角形的一个性质.过△ABC所在平面上任一点P,作边BC、CA、AB边所在直线的垂线,垂足分别为D、E、F,则△DEF叫做△ABC关于点P的垂足三角形.定理1设△ABC关于任一点P的垂足三角形为△DEF,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,证则明△DEF≌△H1H2H3.如图1,依题设知FH2∥PD…     

三阶垂足三角形与原三角形相似的相似比

设P为△ABC内任一点,其垂足△A1B1C1称为△ABC的一阶垂足三角形,△A1B1C1的垂足△A2B2C2称为△ABC的二阶垂足三角形,△A2B2C2的垂足△A3B3C3称为△ABC的三阶垂足三角形.J.Neuberg证明了:△A3B3C3∽△ABC.本文确定相似比k.     

垂足三角形的周长和面积

早在古希腊时期，海伦就发现了下面的事实：锐角三角形的垂足三角形是它的所有内接三角形中周长最小的三角形．到了近代，数学大师施瓦尔兹又利用反射给出了简洁明快的证明，使它的流传更广了．[第一段]     

两个有趣的几何性质

定理 1:若△DEF是△ABC的垂足三角形,则△DEF的三边长分别为acosA、bcosB、CcosC.(如图1) 证明:因为BE⊥AC,CF⊥AB,所以∠BEC=∠CFB=90°,所以B、C、E、F四点共圆.所以∠AEF=∠ABC,又因为∠EAF=∠BAC.所以B△AEF∽△ABC,所以EF/BC=AE/AB,在Rt△ABE中,cosA=AE/AB,所以EF/BC=cosA,所以,EF=acosA,同理可得DF=bcosB,DE=ccosC     

垂足三角形序列的若干结论

运用递推法对若干垂足三角形序列进行研究,得出的主要结果及结论:(1)保证i阶垂足三角形△AiBiCi,i=1,2,…,n n(∈N)*均为锐角三角形时的原△ABC满足的若干充分条件;(2)保证i阶垂足三角形△AiBiCi,i=1,2,…,n n(∈N)*均为钝角三角形时的原△ABC满足的若干充分条件;(3)保证只有i阶垂足三角形△AiBiCi,i=1,2,…,n n(∈N)*时的原△ABC满足的若干充分条件.     

几个新三角形不等式

汪长银老师在文[1]中证明了如下结果： 设a,b,c为正实数,且a＋b＋c=1,则1／a＋1／b＋1／c≥25／（1＋48abc）     

三角形中一个有趣的不等式

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分 ,则称这一点为三角形的周界中点 .本文将给出与三角形周界中点有关的一个有趣不等式 .定理　设Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ=ｃ ,Ｓ =12 (ａ ｂ ｃ) ,△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＤＥ的面积分别记为△ Ａ、△Ｂ、△ Ｃ,则(Ｓ -ｂ) (Ｓ-ｃ)△ Ａ (Ｓ -ｃ) (Ｓ-ａ)△Ｂ (Ｓ-ａ) (Ｓ -ｂ)△ Ｃ ≥ 4 3.为证明此不等式 ,先看如下引理 :引理　设Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,Ｃ…     

关于三角形内心的两个不等式

定理　设△ ABC的内心为 I,R,R1 ,R2 ,R3 分别是△ABC,△IBC,△ICA,△IAB的外接圆半径 ,则有R1 +R2 +R3 ≤ 3R,(1)R1 · R2 · R3 ≤ R3 . (2 )当且仅当△ ABC为正三角形时 ,(1)、(2 )取图 1等号 .证明　如图1,设 BC=a,CA=b,AB =c,因 I是△ABC的内心 ,则有sin∠ BIC=sin(180°- B+C2 ) =cos A2 .(3)由正弦定理及 (3)式可得R1 =a2 sin∠ BIC=2 Rsin A2 cos A2=2 Rsin A2 .同理可得R2 =2 Rsin B2 ,R3 =2 Rsin C2 .结合熟知的三角不等式sin A2 +sin B2 +sin C2 ≤ 32 及sin A2 sin B2 sin C2 ≤ 18,可得R1 +R2 +R…