三角形“五心”及其有关的向量问题

近年来,有关三角形“心”的考题已频频出现在高考模拟题和高考试卷中,其考查形式有: 三角形有关“心”的向量表示形式:求三角形有关“心”的轨迹或轨迹方程．三角形有“五心”,即重心、外心、垂心、内心和旁心．三角形的五心有很多有趣的性质,它在平面几何中占在相当重要的地位,并且其与向量有关的问题也丰富多彩．     

三角形“四心”的向量式充要条件及其应用

2006年数学高考大纲中明确指出：要加强平面向量在平面几何中的应用，纵观近几年的高考题。我们已经体会到这种命题思想的变化，在平面向量在平面几何中的应用问题中．又以涉及三角形“四心”的试题为热点．由于三角形的“四心”与向量之间有着紧密的联系．这就为运用向量法解决这类“心”题提供了可能性。预计2006年的高考还要加大对向量与三角形“心”的交汇问题的考查力度．对此，笔者给出三角形“四心”的向量式充要条件．并结合部分高考题．说明这些充要条件的应用。[编者按]     

三角形“五心”间的距离公式

三角形的重心、外心、内心、垂心和旁心简称为“五心”。关于“五心”的性质在中学平面几何中作了较多的研究,这里主要研究它们之间的距离问题。本文利用几何的复数形式证明了斯蒂瓦特推广定理,从而给出了可以用三角形边长来表示“五心’间距离的统一公式,为此先证明下面的定理。     

重心是三角形五心的中心

重心是三角形五心的中心胡如松（湖南省双峰二中４１７７０１）三角形的外心、内心、重心、垂心、界心称为三角形的五心，〔文〕１、文〔２〕对五心的性质有局部研究．本文从整体上对五心的相对位置进行全面探讨，得出三角形的外心、内心、垂心、界心构成一个梯形，而重心...     

平面几何综合选讲

第一讲三角形的“五心”外心、内心、重心、垂心、旁心统称为三角形的五心.在各类竞赛中涉及五心的题目比比皆是.这里先复习五心的常用性质,再举例说明性质的应用. 1.外心     

“三角形的面积”教学实录与评析

教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》五年级上册第五单元“多边形的面积”第二课时。 教学目标： “1．理解三角形面积计算公式的推导过程，能正确计算三角形的面积，并能应用公式解决简单的实际问题。     

数学探究:用向量法研究三角形的“心”问题

向量是集数与形于一身的数学工具,用向量法解决几何问题具有简洁化、程序化的特点。尝试运用向量法研究三角形“四心”的性质,由共点问题到欧拉线,更好地理解向量的运用和三角形“四心”的性质。     

三角形“五心”坐标的“三角”表示

笔者曾在文[1]给出了三角形“五心”的向量形式的充要条件,经进一步探究,得到了三角形“五心”坐标表示的统一的“三角”形式,特整理如下,供读者参考．     

活跃在高考试题中的三角形“四心”问题

研究近年的高考试题，与三角形“四心”问题有关的高考试题随时可见。这类试题或是新颖别致或是理性稳重，并且常考常新。俨然巳成为高考一个新的亮点，众所周知三角形的四心即：内心、重心、外心、垂心．由于“四心”从不同角度体现了三角形的丰富内涵，而三角形是数学关的一个代表，因而以“四心”为载体的平几知识和其他知识的交叉渗透遗很受命题者的青睐，也符合考纲对知识和能力的考查要求．下面笔者从近年的高考试题中精选若干例子进行分类导析。     

用“心”沟通向量与三角形

在平面向量的学习中，经常会遇到有关三角形的“心”（重心、外心、内心、垂心）的问题，这些问题中包含了三角形和平面向量众多的知识和方法，内容丰富．通过这些问题的训练既可以使同学们掌握向量的有关概念、又可以培养数形结合、分析问题和解决问题的能力，因此利用三角形的“心”，     

对焦点三角形"五心"轨迹方程的进一步探究

文[1]以椭圆为例探究了其焦点三角形“五心”的轨迹方程,受此启发,笔者进一步研究了双曲线焦点三角形并给出了其“五心”的轨迹方程和详细证明．     

三角形“四心”的向量式充要条件及其应用

2006年数学高考大纲中明确指出:要加强平面向量在平面几何中的应用.纵观近几年的高考题,我们已经体会到这种命题思想的变化.在平面向量在平面几何中的应用问题中,又以涉及三角形“四心”的试题为热点.由于三角形的“四心”与向量之间有着紧密的联系,这就为运用向量法解决这类“     

《三角形》填空题漏解例析

部分同学由于考虑问题不周全，解题时常发生漏解现象．下面几道填空题是从部分同学的《三角形》一章练习中搜集而来，每题的填空中都有遗漏且这种遗漏具有普遍性．读者看完题目后不妨先想一想：这些题错在哪里？正确答案又是什么？例１若一个三角形的三条高中有两条不在三角形内，则此三角形是钝角三角形．分析三条高有两条不在三角形内，有可能在三角形外（钝角三角形）或恰好是它的两条边（直角三角形）．解题者受“不在……内”则“在外”常规思维定势的影响，而致使考虑问题不周全．正确答案为“钝角三角形或直角三角形”．例２直角三角…     

三角形的“四心”与平面向量的结合

三角形的“四心”是指三角彤的外心、内心、重心和垂心．三角形的“四心”在高考试题中时常出现，但教材中没有作专门的论述，许多同学对此知识点的掌握是零碎的、模糊的．现通过一些典型题目，结合平面向量知识分析三角形的“四心”．     

抓住梯形特点 正确添加辅助线

梯形是特殊的四边形．在解决梯形问题时，常常要把梯形问题转化为三角形或三角形加平行四边形来解决．这就需要合理运用已知条件，抓住梯形特点，恰当添加辅助线，为正确解答梯形问题奠定基础．梯形添加辅助线的常用方法有如下五种．     

三角形"五心"的向量表示

通过五个定理给出三角形“五心”的向量表示方法,并提供证明。     

向量与三角形的“四心”

<正>三角形的“四心”即重心、垂心、内心、外心,在三角形中有着极其重要的地位,涉及到“四心”的问题既简洁明了,又新颖别致.向量是高中数学的新增内容,是一个具有代数与几何双重属性的量,向量能以独特的形式反映三角形的“四心”所具有的性质.下面例举有关三角形“四心”的向量关系式.     

与“四心”有关的解析几何问题

三角形的“四心”指重心、外心、内心、垂心，它们是三角形的重要几何点，与之相关的数学问题是数学竞赛的热点问题，也是解析几何的难点问题，这类问题涉及的知识面较广，富有挑战性，是考查学生能力的“好”点，在高考中常充当“把关题”的重要角色．本文对三角形的“四心”的几何性质加以归纳，旨在探索解题规律，总结解题方法．     

三角形中几个恒等式的几何推导

本文巧妙地借助三角形的“心”,利用面积关系,给出三角形中五个恒等式的几何推导。 1.sin2A sin2B sin2C=4sinA。     

从高考三角形问题谈“坐标法”的妙解

三角形伺题在近几年的高考试题中频频亮相．求解这类问题,如果采用常规方法,往往因为繁、计算量大而功亏一篑;如果我们巧妙地使用“坐标法”,往往能迅速求得正确答案．本文就四类三角形问题谈谈“坐标法”在三角形问题中的妙用．