巧解直线与圆锥曲线的相切问题

我们知道圆ｘ2 + ｙ2 =Ｒ2 在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为ｘ0 ｘ+ ｙ0 ｙ=Ｒ2 如果对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ ≠ 0 )作如下变形 :Ｒ2 Ａ-ＣＲ2 ｘ +Ｒ2 Ｂ-ＣＲ2 ｙ =1.若点Ｐ(- Ｒ2 ＡＣ ,- Ｒ2 ＢＣ )满足圆的方程 ,则直线与圆相切于点Ｐ .椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为 ｘ0 ｘａ2 + ｙ0 ｙｂ2 =1,对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ≠ 0 )作如下变形 :　　　　ａ2 Ａ-Ｃａ2 ｘ+ｂ2 Ｂ Ｃｂ2 ｙ=1.若点Ｐ(- ａ2 ＡＣ , ｂ2 ＢＣ )满足椭圆方程 ,则直线与椭圆相切于点点Ｐ .双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2…     

圆锥曲线弦的垂直平分线的截距性质

本文给出圆锥曲线弦的中点坐标与该弦的垂直平分线的截距之间的关系 ,并举例说明它的应用 .定理　设圆锥曲线中与坐标轴不平行的弦Ｐ1Ｐ2 的中点为Ｍ (ｘ0 ,ｙ0 ) ,该弦的垂直平分线ｌ与ｘ轴的横截距为ａ ,与 ｙ轴的纵截距为ｂ .(1)对于椭圆或双曲线　 ｘ2Ａ + ｙ2Ｂ =1　 (Ａ >0 ,Ｂ >0或ＡＢ <0 ) ,有　ａ=Ａ-ＢＡ ｘ0 ,　ｂ=Ｂ-ＡＢ ｙ0 ;(2 )　对于抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ　 (ｐ ≠ 0 ) ,有　　ａ=ｘ0 + ｐ ,　ｂ=ｙ0ｐ(ｘ0 + ｐ) ;(3)对于抛物线ｘ2 =2 ｐｙ　 (ｐ≠ 0 ) ,有　　ａ=ｘ0ｐ(ｙ0 + ｐ) ,　ｂ =ｙ0 + ｐ .证明　 (1)　设Ｐ1(ｘ1…     

二维柯西不等式在解析几何上的应用

二维柯西不等式 :设ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,则有(ａ2 ｂ2 ) (ｃ2 ｄ2 )≥ (ａｃ ｂｄ) 2 .当且仅当 ａｃ =ｂｄ 时 ,不等式取等号 .1　推证几个重要结论命题 1　椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1与直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0有公共点的充要条件是Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ≥Ｃ2 .证明　由柯西不等式得(Ａｘ Ｂｙ) 2 =Ａａ· ｘａ Ｂｂ· ｙｂ2≤Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 .若 (ｘ0 ,ｙ0 )是已知椭圆和直线的公共点 ,则满足ｘ20ａ2 ｙ20ｂ2 =1、Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ =0 ,则上述不等式左边为Ｃ2 ,右边为Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ,充分性得证 .若 (ｘ ,ｙ)是直线上…     

椭圆中点弦的一个性质及其应用

1999年第 5期《数学教学研究》刊登了袁良佐老师“双曲线中点弦性质的应用”和王景斌老师“抛物线弦的中点问题”两篇文章 ,读后颇有启发 .本文给出椭圆中点弦的一个性质 ,并举例说明它的应用 .性质　设Ａ、Ｂ是椭圆ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上两点 ,Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是弦ＡＢ的中点 ,则有ｋＡＢ·ｋＯＰ=- ｂ2ａ2 .证明　设Ａ(ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )是椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2= 1上两点 ,则有ｘ21 ａ2 ｙ21 ｂ2 =1,　 ｘ22ａ2 ｙ22ｂ2 =1,两式相减 ,得　 ｘ21 -ｘ22ａ2 ｙ21 - ｙ22ｂ2 =0 ,即　(ｘ1 ｘ2 ) (ｘ1 -ｘ2 )ａ2 …     

2001年广东省高考数学第21题的拓广

20 0 1年广东省高考数学第 2 1题 :已知椭圆 :ｘ22 ｙ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 .此题对一般性结论仍成立 ,还可以拓广到其它圆锥曲线 .拓广 1　已知椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 (ａ >ｂ>0 ) .　　　　　图 1证明　如图 1,记直线ＡＣ与ｘ轴的交点为Ｎ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 .…     

如何解圆锥曲线的离心率问题

20 0 0年高考压轴题是求双曲线的离心率问题 ,这类问题是考查学生素质和能力的综合问题 .它要求解题者能从较复杂的变量关系中抓住主要矛盾 ,通过引入适当的参数 ,找出参数和离心率的关系 ,再对参数作估计 ,最后求取离心率及其范围 .为帮助学生掌握这种问题解法 ,我们分类介绍如下一些方法和技巧 .1　选取曲线上的点为参数选取曲线上的点作为参数 ,可借助点的坐标所满足的条件 ,解有关的不等式 ,求取ｅ.例 1　已知椭圆Ｃ :ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ>0 ) ,长轴两端点为Ａ、Ｂ ,若Ｃ上存在点Ｐ ,使∠ＡＰＢ =12 0° ,求椭圆Ｃ的离心率…     

谈圆锥曲线中的量的范围及关系的应用

圆锥曲线方程中的两个变量有其固有的取值范围和关系 ,方程中的特征量也有其确定的取值范围和关系 .如椭圆方程ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1　 (ａ>ｂ >0 )中的变量ｘ、ｙ满足 -ａ≤ｘ≤-ａ ,-ｂ≤ｙ≤ｂ,方程本身正反映了变量ｘ、ｙ间的这种关系 ;椭圆的特征量间的关系有 0 <ｅ =ｃａ <1,ａ >ｂ>0 ,ａ2ｃ >ａ ,ａ2-ｂ2 =ｃ2 ;椭圆的左、右顶点到相应准线的距离 ａ2ｃ -ａ是椭圆上的点到准线的距离的最小值 ;椭圆上的点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )到焦点Ｆ1 (-ｃ,0 )、Ｆ2 (ｃ,0 )的距离分别为｜ＰＦ1 ｜ =ａ+ｅｘ0 、｜ＰＦ2 ｜=ａ -ｅｘ0 ,所以有ｂ2≤｜ＰＦ1 ｜…     

焦点弦长公式的几种形式及其应用

圆锥曲线的焦点弦是解析几何教学的一个重点和难点,也是各类考试的热点问题,解题中有着广泛的应用.但解答这类问题,一般演算繁长且易出差错.为此,本文利用直线的参数方程推导出不同形式的焦点弦长公式,可以在不同的题设条件下使用,简便快捷,学生兴趣盎然,课堂效果好,现说明如下.命题1　ＡＢ是过抛物线ｙ2=2ｐｘ(ｐ>0)或椭圆ｂ2ｘ2 ａ2ｙ2=ａ2ｂ2(ａ>ｂ>0)或双曲线ｂ2ｘ2-ａ2ｙ2=ａ2ｂ2(ａ>0,ｂ>0)的焦点Ｆ的弦,椭圆和双曲线的半焦距为ｃ.若ＡＢ的倾斜角为α,则(1)　|ＡＢ|抛物线=2ｐｓｉｎ2α;(2)　|ＡＢ|椭圆=2ａｂ2ｂ2 ｃ2ｓｉｎ2α;(3)　…     

2002年安徽省高中数学竞赛

一、选择题 (每小题 6分 ,满分 36分 )1.已知集合Ｐ ={ｘ|ｘ2 =1}和Ｑ ={ｘ|ｍｘ =1} .若Ｑ Ｐ ,则实数ｍ可取值的个数为 (　　 ) .(Ａ) 0　　 (Ｂ) 1　　 (Ｃ) 2　　 (Ｄ) 32 .若ａ、ｂ是任意实数 ,且ａ >ｂ ,则下列不等式一定成立的是 (　　 ) .(Ａ)ａ2 >ｂ2 (Ｂ) ｂａ <1(Ｃ)ｌｇ(ａ -ｂ) >0 (Ｄ) 12ａ<12ｂ3.如果圆ｘ2 +ｙ2 =ｋ2 至少覆盖函数ｆ(ｘ)= 3ｓｉｎπｘｋ 的一个最大值点和一个最小值点 ,则ｋ的取值范围是 (　　 ) .(Ａ) |ｋ|≥ 3(Ｂ) |ｋ|≥ 2(Ｃ) |ｋ|≥ 1(Ｄ) 1≤ |ｋ|≤ 24 .已知ＯＰ =(2 ,1) ,ＯＡ =(1,7) ,ＯＢ =(5 ,1)…     

圆锥曲线焦点弦的长度与条数关系

1　圆锥曲线焦点弦的长度取值范围定理 1　椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1　 (ａ >ｂ >0 )的离心率ｅ=ｃａ ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,ｐ =ｂ2ｃ .设椭圆焦点弦ＡＢ的长度为ｄ ,则ｄ∈ 2ｅｐ ,2ｅｐ1-ｅ2 ,即ｄ∈2ｂ2ａ ,2ａ .证明　以椭圆的左焦点为极点 ,建立极坐标系 ,椭圆的极坐标方程为 ρ =ｅｐ1-ｅｃｏｓθ.不妨设ＡＢ为过左焦点的弦 ,Ａ( ρ1,θ) ,Ｂ( ρ2 ,π θ) ,θ∈〔0 ,π) ,则 |ＡＢ|=ρ1 ρ2 =ｅｐ1-ｅｃｏｓθ ｅｐ1-ｅｃｏｓ(π θ)=2ｅｐ1-ｅ2 ｃｏｓ2 θ.当ｃｏｓθ=0 ,即θ =π2 时 ,|ＡＢ|ｍｉｎ=2ｅｐ =2ｂ2ａ ;当ｃｏ…     

一个新几何不等式

定理　设Ｐ是△ＡＢＣ平面一动点 ,ＢＣ=ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ.则有ＰＡａ ＰＢｂ ＰＣｃ ≥ ∑ａ2∑ｂ2 ｃ2 . ( 1 )为证式 ( 1 ) ,先给出两个引理 .引理 1 [1] 　设ｘ、ｙ、ｚ∈Ｒ .在△ＡＢＣ中 ,有(ｘ ｙ ｚ) (ｘＰＡ2 ｙＰＢ2 ｚＰＣ2 )≥ａ2 ｙｚ ｂ2 ｚｘ ｃ2 ｘｙ . ( 2 )引理 2 [2 ] 　在△ＡＢＣ中 ,有ＰＢ·ＰＣｂｃ ＰＣ·ＰＡｃａ ＰＡ·ＰＢａｂ ≥ 1 . ( 3 )式 ( 2 )即著名的Ｋｌａｍｋｉｎ不等式 ,式 ( 3 )是我们熟知的Ｈａｙａｓｈｉ不等式 .定理证明 :在式 ( 2 )中 ,令ｘ =1ａ2 ,ｙ =1ｂ2 ,ｚ =1ｃ2 ,得　 Ｐ…     

圆锥曲线重要几何量问题的求解

纵观近几年全国高中数学联赛和部分省市高中数学竞赛试题 ,圆锥曲线是命题的热点之一 ,而且比较接近高考 .在圆锥曲线中 ,焦半径、焦 (顶 )点弦长、焦 (顶 )点三角形面积等是非常重要的几何量 ,也是各类竞赛的重点 .为此 ,本讲主要介绍与这些几何量有关问题的求解策略 .一、基础知识1.圆锥曲线定义、方程、基本元素ａ、ｂ、ｃ、ｅ、ｐ之间的关系 ,焦半径以及一些重要公式 .2 焦点弦长 :ＡＢ是经过圆锥曲线 (指的是椭圆ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ >ｂ >0 )、双曲线ｂ2 ｘ2 -ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ >0 ,ｂ >0 )、抛物线ｙ2 =2ｐｘ( ｐ >0 …     

高三数学测试题

一、选择题 (5分 × 12 =60分 )1.设集合Ｍ ={(ｘ ,ｙ)｜｜ｘ + ｙｉ｜=1},Ｎ ={(ｘ ,ｙ)｜｜ｘ + ｙ｜=1},其中ｘ ,ｙ∈Ｒ ,则Ｍ∩Ｎ的元素个数是 (　　 )　 (Ａ) 0　　 (Ｂ) 1　　 (Ｃ) 2　　 (Ｄ) 42 .过点Ｐ(-2 ,1)且垂直于向量ａ=(2 ,1)的直线方程是 (　　 )　 (Ａ) 2ｘ + ｙ=0　　 (Ｂ) 2ｘ + ｙ + 3 =0　 (Ｃ) 2ｘ + ｙ + 4=0 (Ｄ) 2ｘ + ｙ -3 =03 .若ａ ,ｂ ,ｃ,ｄ都是实数 ,且满足以下三个条件 :①ａ +ｂ=ｃ +ｄ ,②ａ +ｄ<ｂ +ｃ,③ｄ>ｃ,则有 (　　 )　 (Ａ)ａ >ｂ>ｄ >ｃ　 (Ｂ)ｂ>ｄ >ｃ >ａ　 (Ｃ)ａ>ｄ >ｃ>ｂ　 (Ｄ)ｄ >ｃ…     

走近“陌生”

1 .反弹琵琶 ,独辟蹊径例 1　在椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )上取一点Ｐ ,Ｐ与长轴两端点Ａ、Ｂ的连线分别交短轴所在直线于Ｍ、Ｎ两点 ,设Ｏ为原点 ,求证 :|ＯＭ |·|ＯＮ|为定值 .证明 :设Ｍ ( 0 ,ｍ)、Ｎ( 0 ,ｎ) ,则ｌＰＡ:ｙ=ｍ - 00 +ａ(ｘ +ａ) ,①ｌＰＢ:ｙ =ｎ - 00 -ａ(ｘ -ａ) .　　　　　　　　　　　②①×② ,得　 ｙ2 =- ｍｎａ2 (ｘ2 -ａ2 ) .又 ｙ2 =ｂ2 1- ｘ2ａ2 ,故ｂ2 ａ2 -ｘ2ａ2 =- ｍｎａ2 (ｘ2 -ａ2 ) .ｍｎ =ｂ2 ,为定值 .即 |ＯＭ |·|ＯＮ| =ｂ2 ,为定值 .评注 :本题没有设出Ｐ点坐标进而求出Ｍ、Ｎ两…     

椭圆的两个新性质及其证明

定理 1　如图所示 ,记椭圆Ｃ的切线ｌ与以椭圆长轴为直径的圆Ｏ从左至右依次交于Ａ、Ｂ两点 ,则直线Ｆ1Ａ ⊥ｌ且直线Ｆ2 Ｂ ⊥ｌ(其中Ｆ1、Ｆ2 表示椭圆的左、右焦点 ) .证明　当切点是椭圆的顶点时结论显然成立 ;当切点不是椭圆的顶点时 ,设Ｃ的方程为ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｂ2 =ａ2 ｂ2 　 (ａ>ｂ >0 ) ,则圆Ｏ的方程为ｘ2 + ｙ2 =ａ2 .设直线ｌ与椭圆Ｃ的切点为Ｍ(ａｃｏｓθ ,ｂｓｉｎθ) ,则得切线ｌ的方程为ｂｃｏｓθ·ｘ +ａｓｉｎθ·ｙ=ａｂ . ①由①解出 ｙ并代入ｘ2 + ｙ2 =ａ2 ,整理得(ａ2 ｓｉｎ2 θ +ｂ2 ｃｏｓ2 θ)·ｘ2 - 2ａｂ2…     

平面向量问题错解辨析

一、忽视向量夹角范围例 1　若向量ａ =(ｘ ,2ｘ) ,ｂ =( - 3ｘ ,2 ) ,且ａ ,ｂ的夹角为钝角 ,求ｘ的取值范围 .错解 :因ａ ,ｂ的夹角为钝角 ,故ａ·ｂ <0 .即 - 3ｘ2 +4ｘ <0 ,ｘ <0或ｘ >43.故ｘ的取值范围为 ( -∞ ,0 )∪43,+∞ .辨析 :向量ａ ,ｂ的夹角θ的取值范围为 [0 ,π] ,当ａ·ｂ <0时 ,π2 <θ≤π .而已知θ为钝角 ,故θ≠π ,即ｃｏｓθ =ａ·ｂ|ａ||ｂ|≠ - 1,解得ｘ≠ - 13,故ｘ的取值范围为-∞ ,- 13∪ - 13,0∪ 43,+∞ .例 2　设正三角形ＡＢＣ的边长为 1,ＡＢ =ｃ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,求ａ·ｂ +ｂ·ｃ+ｃ·ａ的值 .错…     

高二数学(上)期末测试

一、选择题 :(本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共 60分 )1 .过点 ( 3 ,-4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 (　　 )　　 (Ａ)ｘ+ｙ +1 =0　　 (Ｂ) 4ｘ -3 ｙ=0　　 (Ｃ) 4ｘ+3 ｙ =0　　 (Ｄ) 4ｘ+3 ｙ=0或ｘ +ｙ+1 =02 .已知直线 2ｘ +ｙ-2 =0和ｍｘ -ｙ+1 =0的夹角为 π4,那么ｍ的值为 (　　 )　　 (Ａ) -13 或 -3　 (Ｂ) 13 或 3　　 (Ｃ) -13 或 3 (Ｄ) 13 或 -33 .点Ｐ1 (ａ ,ｂ)关于直线ｘ+ｙ=0的对称点是Ｐ2 ,Ｐ2 关于原点的对称点是Ｐ3,则｜Ｐ1 Ｐ3｜=(　　 )　　 (Ａ) 2 (ａ-ｂ) 2　　 (Ｂ) 2 ｜ａ +ｂ｜　　 (Ｃ) 2 ｜ａ -ｂ…     

2001年全国初中数学联赛试题(初赛)

一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1 若ｘ -2 +ｙ +3 =0 ,则 ｙｘ 的值是 (　　 ) .(Ａ) 32 　　　　　 (Ｂ) 23 　　　　　 (Ｃ) -32 　　　　　　 (Ｄ) -232 若ａ、ｂ为实数 ,则下列命题中正确的是 (　　 ) .(Ａ)ａ >ｂ ａ2 >ｂ2 (Ｂ)ａ≠ｂ ａ2 ≠ｂ2(Ｃ) |ａ|>ｂ ａ2 >ｂ2 (Ｄ)ａ >|ｂ| ａ2 >ｂ23 若关于ｘ的二次方程 (ｂ -ｃ)ｘ2 +(ａ -ｂ)ｘ +ｃ -ａ =0有相等的两实数根 ,则ａ、ｂ、ｃ间的关系是 (　　 ) .(Ａ)ａ =ｂ +ｃ2 (Ｂ)ｂ =ａ +ｃ2 (Ｃ)ｃ =ａ +ｂ2 (Ｄ)ａ +ｂ +ｃ =04 若 4ｘ3-ｘ =1,则 8ｘ4+12ｘ3-2ｘ2 -5ｘ +5的值…     

数学奥林匹克初中训练题(59)

第　一　试一、选择题 (每小题 7分 ,共 4 2分 )1.设ａ =(ｘ 1) (ｘ 2 ) (ｘ 3 ) (ｘ 4) ,ｂ =(ｘ - 4) (ｘ- 3 ) (ｘ - 2 ) (ｘ- 1) .则ａ -ｂ等于 (　　 ) .(Ａ) 2 0ｘ3 50ｘ　　　　 (Ｂ) 2ｘ3 5ｘ(Ｃ) 2 0ｘ4 10 0ｘ2 　 (Ｄ) 2 0ｘ3 10 0ｘ图 12 .如图 1,Ａ、Ｃ是函数ｙ =1ｘ图像上关于原点对称的任意两点 ,ＡＢ、ＣＤ都垂直于ｘ轴 ,垂足分别为Ｂ、Ｄ .设四边形ＡＢＣＤ的面积为Ｓ ,则 (　　 ) .(Ａ) 0 <Ｓ <2　 (Ｂ)Ｓ =2(Ｃ)Ｓ >　?(Ｄ)Ｓ= 43 .如果三条线段的长ａ、ｂ、ｃ满足 ｂａ =ｃｂ =5- 12 ,那么 ,(ａ ,ｂ ,…     

关于费尔马点的两个不等式的加强

设△ＡＢＣ的三边长为ａ、ｂ、ｃ,Ｆ是△ＡＢＣ内的费尔马点 ,延长ＡＦ、ＢＦ、ＣＦ分别交对边于Ａ′、Ｂ′、Ｃ′ ,记ＡＡ′=ｘ ,ＢＢ′ =ｙ ,ＣＣ′=ｚ .文 [1]、[2 ]分别建立了如下不等式 :ｘ ｙ ｚ≤ 32 (ａ ｂ ｃ) ,(1)1ｘ 1ｙ 1ｚ ≥ 6ａｂ ｂｃ ｃａ. (2 )　　本文给出不等式 (1)、(2 )的统一加强形式 ,即定理　在△ＡＢＣ中 ,有ｘ ｙ ｚ≤ 32 ａｂ ｂｃ ｃａ. (3)　　引理 1[3] 　设Ｐ为△ＡＢＣ内任一点 ,∠ＡＰＢ、∠ＢＰＣ、∠ＣＰＡ的平分线与边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ分别交于Ｅ1、Ｅ2 、Ｅ3,则ＰＡ ＰＢ ＰＣ ≥ 2 (Ｐ…