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先看下面不等式的证明过程:设x、y、z是非负实数,且满足x+y+z=1,求证:4(xy+yz+zx)-9xyz≤1。 证明:由对称性,不妨设x≥y≥z,则0≤z≤1/3,进而知4-9z>0。 相似文献
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一、一道数学竞赛题引出的问题 1984年3月,在重庆市数学竞赛的预选赛中有这样一道题:“已知△ABC中,b=6,a≤b≤c,且三角形三边的长均为正整数,求满足此条件的三角形的个数.”我的做法是利用三角形两边之和大于第三边的基本关系,将满足题给条件的三角形一一列于表1,由表1可立即得三角形的个数为 相似文献
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有些概率问题照常规解法较繁,但如果适当地利用对称性,往往可使解法简化.例1 在线段AB上任取三点x_1、x_2、x_3,求x_2位于x_1与x_3之间的概率.解 这题是在几何概率部分出现.因此,一般自然是从几何概率下手,即:设AB长为1,点x_1、x_2、x_3距A点距离分别是x、y、z则全部样本点由G:0≤X≤1,0≤y≤1,0≤z≤1这区域组成.而“x_2,位于x_1、x_3之间”,则由满足:0≤x相似文献
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题目 已知x、y、z为正实数.求证:
x/2x+y+z+y/x+2y+z+z/x+y+2z≤3/4.
本将给出此题的一种简捷的证法,并在此基础上进行适当拓展。 相似文献
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1问题的提出
定理 已知x,y,z∈R+,且xy+yz+zx=1,求证:(√x+y+√y+z+√z+x)^2≤4-27(x+y)(y+z)(z+x).
这是一道土耳其国家队选拔题,笔者通过探索,发现它隐含着极其丰富的内涵,许多数学竞赛题和数学问题,都是以它为源头,通过变换条件逐步演绎深化而成,真可谓一线串球,精彩纷呈. 相似文献
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一个不等式的正确证明 总被引:1,自引:0,他引:1
贺斌 《中学数学教学参考》2004,(5)
一个不等式 若x ,y ,z≥0 ,xy yz zx =1 ,则1y z 1z x 1x y≥52 ( =|x ,y ,z中一个为0 ,两个为1 ) . ( )据所知,( )式首出文[1 ],然后又见于文[2 ]、文[3 ],但其证明都隐含实质性缩小变量取值范围的错误.下面重予证明.证明:不妨设x≥y≥z≥0 ,由条件知x≥y >0 ,0≤yz≤13 ,x =1 -yzy z ,于是( )式 2 [(x y) (z x) (x y) ( y z) ( y z) (z x) ]≥5 (x y) ( y z) (z x) 2 [(x2 y2 z2 ) 3 (xy yz zx) ] ≥5 [(x y z) (xy yz zx) -xyz] 2 [(x y z) 2 1 ]≥5 [(x y z) -xyz] 2 (x y z) 2 -5 (x y z) 2 5x… 相似文献
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2010年全国高中数学联合竞赛一试试题第8题:题目:方程x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解(x、y、z)的个数是_____.解:首先由隔板法知,方程x+y+z=2010的正整数解的个数 相似文献
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文[1]由不等式:若0≤x,y,x1,y1≤1,x+x1=1,y+y1=1,则L2=√x^2+y^2+√x^2+y1^2+√x1^2+y1^2≤2+√2(1),猜想不等式:若0≤x,y,z,x1,y1,z1≤1,x+x1=1,y+y1=1,z+z1=1.[第一段] 相似文献
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本文给出两个关于三角形边的命题 .命题 1 到三边不等的三角形三边距离之和最小的点是此三角形最大边所对顶点 .命题 2 到三角形三边距离的平方和最小的点是此三角形重心的等角共轭点 .注 :△ABC内两点D、E互为等角共轭点的充分必要条件是 ,∠DAB =∠EAC ,∠DBC=∠EBA ,∠DCA =∠ECB .先证明命题 1 .证明 :设△ABC内一点P到三边BC、AC、AB的距离分别为x、y、z,并设BC =a ,AC =b ,AB =c ,S△ABC=S .则有ax by cz=2S .①不妨设a >b >c,则2S =ax by cz≤ax ay az=a(x y z) .所以 ,x y z≥2Sa .上式等号成立的条… 相似文献
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下面介绍与两个正切、余切恒等式相关的锐角三角形等效条件及其应用.一、三角形的正切恒等式在非直角三角形ABC中,存在这样的正切恒等式:tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.我们有以下结论:定理1设x、y、z为正数,满足:x+y+z=xyz,则必存在锐角三角形ABC,使x=tanA,y=tanB,z=tanC.证:因x、y为正数,故有锐角A、B,使 相似文献
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本刊 2 0 0 3年第 5期有奖解题擂台 (63 )中 ,邵剑波老师提出了如下一个条件不等式问题 :证明或否定 ,设a >b >c >0 ,x21a2 y21b2 z21c2 =1 ,x22a2 y22b2 z22c2 =1 ,且 (x -x1 x22 ) 2 (y -y1 y22 ) 2 (z -z1 z22 ) 2 =14[(x1-x2 ) 2 (y1-y2 ) 2 (z1-z2 ) 2 ],则x2 y2 z2 ≤a2 b2 c2 。上述问题中的结论是成立的 ,本文给出一个证明。证明 由x21a2 y21b2 z21c2 =1x22a2 y22b2 z22c2 =1知 ,P1(x1,y1,z1) ,P2 (x2 ,y2 ,z2 )是椭球面 x2a2 y2b2 z2c2 =1上的两点 ,设P1P2 的中点为P0 ,则P0 点坐标为 (x1 x22 ,y1 y22 ,z1 z… 相似文献
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物理习题给出的条件有些是明显的,有些则隐含在题目中,这样,在审题时需要认真分析,寻找隐含的已知条件,选用适当的解题办法。那么,如何挖掘出题中的隐含条件呢? 相似文献
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题 已知a、b、c ,x、y、z是实数 ,a2 +b2 +c2 =1 ,x2 +y2 +z2 =9,求 ax +by +cz的最大值。1 错解解 由均值不等式可得ax≤ a2 +x22 ,by≤ b2 +y22 ,cz≤c2 +z22 ,各式相加得 :ax +by +cz≤ a2 +x2 +b2 +y2 +c2 +z22=a2 +b2 +c2 +x2 +y2 +z22=1 +92=5 ,即 ax +by +cz≤ 5 ( )故 ax +by +cz的最大值为 5。错因 在用均值不等式求最值时忽略了等号成立的条件 ,因为要使 ( )等号成立 ,当且仅当a =x ,b =y ,c=z ,这与已知条件矛盾。所以ax +by +cz <5 ,即ax +by +cz的最大值不可能为 5。2 通解分析 该题的问题是由于a2 +b2 +c2 ≠x2 +y… 相似文献
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初中学生在学习《相似形》这一章时,常出现一些解题错误,现举例说明.1.若(x y)/z=(y z)/x=(z x)/y=k,则k=__.错解:2.分析:由条件易想到用等比性质来解题,而题中没有给出分母之和即x y 相似文献
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1999年加拿大数学奥林匹克竞赛有一道试题 :令 x,y,z是满足 x y z=1的非负实数 .证明 :x2 y y2 z z2 x≤ 42 7,并指出等号成立的条件 .文 [1]给出了这道赛题的简证并将其推广为 :令 x,y,z是满足 x y z=1的非负实数 ,则xnym ynzm znxm≤ nnmm(n m) n m(n>m,n,m∈ N) .上述推广是正确的 ,但赛题和推广的证明方法都是错误的 .这是因为式子xnym ynzm znxm (n>m,n,m∈N) (*)是关于 x,y,z的轮换对称式 ,而不是 x,y,z的 (可换 )对称式 .如果在 (*)式中作轮换代换 (x,y,z)→ (y,z,x)或 (x,y,z)→ (z,x,y) ,所得式子与 (*)式相同 ;但… 相似文献
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第46届IMO(2005年)第三题是:
题1设x、y、z >0,且xyz≥1.证明:
∑x5-x2/x5+y2≥0, ①
其中,∑表示轮换对称和.
式①的等价形式为
∑x2+y2+z2/x5+y2+z2≤3.
此不等式有很多证法,本文不再赘述.
易知,x2+y2+z2≥33√x2y2z2 ≥3.
自然的想法是将题1中的... 相似文献
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一、转化方法任何三角形总存在内切圆。为此,将三角形三边a、b、c施行如下变换(如图):a=y+z(*)b=z+x(x,y,z∈R+)c=x+y就可以把关于三角形各元素的不等式转化成关于正数x、y、z的代数不等式。(Ⅰ)设p=12(a+b+c)则p=x+y+zx=p-ay=p-bz=p-c我们用x、y、z来表示时,关于三角形各边长度的限制条件:b+c>a,c+a>b,a+b>c可以转换为如下的表述:p-a>0,p-b>0,p-c>0。因而,对任何x、y、z∈R+,不等式有G(x,y,z)≥0G(p-a,p-b,p-c)≥0。(Ⅱ)为下面叙述方便起见,列出三角形中… 相似文献