一道竞赛题的多种解法

题目　如图 1 ,已知四边形ＡＢＣＤ外接圆⊙Ｏ的半径为 2 ,对角线ＡＣ与ＢＤ的交点为Ｅ ,ＡＥ =ＥＣ ,ＡＢ =2ＡＥ ,ＢＤ =2 3.求四边形ＡＢＣＤ的面积 .( 2 0 0 0年全国初三数学竞赛题 )这是一道综合性与技巧性都较强的试题 ,解题的思路开阔 ,方法较多 .图 1图 2　　解法一　如图 2 ,∵　ＡＢ =2ＡＥ ,ＡＥ =ＥＣ ,∴　ＡＢ2 =2ＡＥ2 =ＡＥ·2ＡＥ =ＡＥ·ＡＣ .∴　 ＡＢＡＣ =ＡＥＡＢ.又∠ＢＡＥ =∠ＣＡＢ ,∴　△ＡＢＥ∽△ＡＣＢ .∴　∠ＡＢＥ =∠ＡＣＢ .∵　∠ＡＣＢ =∠ＡＤＢ ,∴　∠ＡＢＥ =∠ＡＤＢ .∴　ＡＢ =ＡＤ .作直径…     

证明几何题的几种基本方法

1　分析法分析法就是从题目的结论出发 ,逐步找出使结论成立的原因 ,直到找出所用的原因恰好是题目的已知条件或所学过的定理 ,再按分析的思路从后往前把证题过程写出来 .图 1例 1　如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,∠Ａ的平分线ＡＤ交ＢＣ于Ｄ ,⊙Ｏ过点Ａ且与ＢＣ相切于Ｄ ,与ＡＢ、ＡＣ分别相交于Ｅ、Ｆ ,ＡＤ与ＥＦ相交于Ｇ .求证 :ＡＦ·ＦＣ =ＧＦ·ＤＣ .( 2 0 0 1 ,河南省中考题 )证题思路 :ＡＦ·ＦＣ =ＧＦ·ＤＣ ＡＦＤＣ=ＧＦＦＣ △ＤＣＦ∽ＡＦＧ(连结ＤＦ) ∠ＣＤＦ =∠ＦＡＤ∠Ｃ =∠ＡＦＧ ＥＦ∥ＢＣ ∠ＥＦＤ =∠ＣＤＦ ∠ＥＦＤ =…     

一道国家集训队考试题的几点探索

题目　给定正△ＡＢＣ ,Ｄ是ＢＣ边上任意一点 ,△ＡＢＤ的外心、内心分别为Ｏ1、Ｉ1,△ＡＤＣ的外心、内心分别为Ｏ2 、Ｉ2 ,直线Ｏ1Ｉ1与Ｏ2 Ｉ2 相交于Ｐ .试求 :当点Ｄ在ＢＣ边上运动时 ,点Ｐ的轨迹 .该题是 2 0 0 1年中国数学奥林匹克国家集训队选拔考试第 5题 .笔者发现在解答中 ,当证得ＰＤ⊥ＢＣ这一几何关系后 ,在上述已知条件情况下 ,图形中的点、角、边及面积关系 ,可有如下 5个结论 .结论 1　Ｉ1Ｉ22 =Ｏ1Ｉ21+Ｏ2 Ｉ22 .证明 :由∠ＡＯ2 Ｄ =2∠Ｃ =1 2 0°,∠ＡＩ2 Ｄ=90°+ 12 ∠Ｃ =1 2 0°,∠Ｂ =60°知Ｏ2 、Ｉ2 均在图 1…     

应用全等三角形解题

全等三角形是能够完全重合的两个三角形 ,它们的对应边相等 ,对应角相等 .巧用这两个相等 ,可顺利地解答一些几何求值和证明问题 .例 1　如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠ＡＣＢ =90° ,ＡＣ=ＢＣ ,ＡＥ是ＢＣ边上的中线 ,过Ｃ作ＣＦ⊥ＡＥ ,垂足是Ｆ ,过Ｂ作ＢＤ⊥ＢＣ交ＣＦ的延长线于Ｄ ,ＡＣ =1 2 .求ＢＤ的长 . ( 1 997年浙江省中考题 )　解　∵　∠ＡＣＢ =90°,ＣＦ⊥ＡＥ于Ｆ ,∴　∠ 1 =90° -∠ 3=∠ 2 .在△ＤＢＣ和△ＥＣＡ中 ,∵　∠ＤＢＣ =∠ＥＣＡ =90° ,ＢＣ =ＡＣ ,∠ 1 =∠ 2 ,∴　△ＤＢＣ≌△ＥＣＡ .∴　ＢＤ =ＣＥ .∵　Ｃ…     

构造等腰三角形解题

等腰三角形是特殊的三角形 ,在解 (证 )题时 ,若能根据已知和图形特点 ,巧妙地构造等腰三角形 ,利用等腰三角形的性质来解决问题 ,将会取得事半功倍的效果 .　　一、由“线段的和差”构造等腰三角形例 1　如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＡＢ +ＢＤ =ＡＣ .求∠Ｂ∶∠Ｃ的值 .　解　延长ＡＢ至Ｅ ,使ＢＥ =ＢＤ ,连结ＤＥ ,则△ＢＥＤ是等腰三角形 .∴　ＡＣ =ＡＢ +ＢＤ =ＡＢ +ＢＥ =ＡＥ .∴　△ＡＤＥ≌△ＡＤＣ .∴　∠Ｅ =∠Ｃ .∵　∠ＡＢＣ =2∠Ｅ ,∴　∠ＡＢＣ =2∠Ｃ ,即∠ＡＢＣ∶∠Ｃ =2∶1 .图 1图 2　　二、由“二…     

等角共轭点的一个有趣性质

给定△ＡＢＣ和一点Ｐ ,满足∠ＱＡＣ =∠ＰＡＢ ,∠ＱＢＡ =∠ＰＢＣ ,∠ＱＣＢ =∠ＰＣＡ的点 (如图 )Ｑ叫做Ｐ关于△ＡＢＣ的等角共轭点[1] [2 ] .我们发现了等角共轭点的一条新性质 :定理　设Ｐ、Ｑ是△ＡＢＣ的等角共轭点 ,则ＡＰ·ＡＱＡＢ·ＡＣ ＢＰ·ＢＱＢＣ·ＢＡ ＣＰ·ＣＱＣＡ·ＣＢ=1 .证明 :如图 ,在射线ＡＱ上取点Ｄ ,使∠ＡＣＤ =∠ＡＰＢ ,因∠ＡＰＢ >∠ＡＣＢ ,故Ｄ在△ＡＢＣ外 .又因∠ＰＡＢ =∠ＣＡＤ ,从而△ＡＢＰ∽△ＡＤＣ ,故ＡＢＡＤ=ＡＰＡＣ=ＢＰＣＤ,ＣＤ =ＢＰ·ＡＣＡＰ .①又由∠ＱＡＢ =∠ＰＡＣ ,Ａ…     

关于一道初中课本例题的商榷

20 0 1年由人民教育出版社数学室编著的九年义务教育三年制初级中学教科书《几何》第二册第 2 34页例 4如下 :如右图 ,已知∠ＡＢＣ =∠ＣＤＢ =90°,ＡＣ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,当ＢＤ与ａ、ｂ之间满足怎样的关系时 ,△ＡＢＣ∽△ＣＤＢ ?现将《几何》第二册第 2 34页中对该例题的分析解答抄录于下 :分析 :　因为△ＡＢＣ与△ＣＤＢ都是直角三角形 ,所以要使△ＡＢＣ∽△ＣＤＢ ,只要ＡＣ与ＢＣ ,ＢＣ与ＢＤ分别成对应边 ,并且ＡＣ/ＢＣ =ＢＣ/ＢＤ即可 ,这样就可以求出ＢＤ与ａ、ｂ之间的关系式。解　∵∠ＡＢＣ =∠ＣＤＢ =90°∴当ＡＣ/ＢＣ =…     

圆幂定理在几何证题中的应用

下面举例说明圆幂定理在几何证题中的常见应用 .一、证明两条线段相等例 1　如图 1 ,已知ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ分别是△ＡＢＣ三边上的高 ,Ｈ是垂心 ,ＡＤ的延长线交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｇ .求证 :ＤＨ =ＤＧ .( 1 997年甘肃省中考题 )分析　由相交弦定理有ＤＧ·ＤＡ =ＢＤ·ＤＣ ,即ＤＧ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .从而 ,欲证ＤＨ =ＤＧ ,只须证ＤＨ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .为此 ,只须证△ＡＢＤ∽△ＣＨＤ .证明　如图 1 ,由已知有∠ 1 ∠ 3=90°,∠ 2 ∠ 4 =90°.∵　∠ 3=∠ 4 ,∴　∠ 1 =∠ 2 .∵　∠ＡＤＢ =∠ＣＤＨ =90°,∴　△ＡＢＤ∽△ＣＨＤ…     

利用截长补短加倍折半法证线段的和差倍分

对于线段的和差倍分在几何论证中视为简单的一类 ,但方法选得不当其证明常带来困难 ,这里介绍利用截长补短 ,加倍折半法转化为证明线段的相等 ,特举例说明。例 1　在梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ∥ＤＣ ,ＡＤ⊥ＡＢ ,∠ＢＣＤ平分线ＣＭ过ＡＤ的中点Ｍ ,求证 :ＡＢ +ＣＤ =ＢＣ。图 (1 )证一 :如图 (1 )在ＣＢ上截取ＣＮ =ＣＤ ,连结ＭＮ ,则△ＣＤＭ≌△ＣＮＭ ,∴∠ 3 =∠ＤＭＮ =ＭＤ =ＭＡ ,连结ＭＢ则Ｒｔ△ＢＭＮ≌Ｒｔ△ＢＭＡ∴ＮＢ =ＡＢ即ＡＢ +ＣＤ =ＣＮ +ＮＢ =ＢＣ图 (2 )这里用的截长法。证二 :如图 (2 )延长ＢＡ ,ＣＭ交于Ｎ∵ＡＢ…     

对一道高考题的思考

1　题目与解法研究2 0 0 0年高考理 18(文 19)题 :如图 1,已知平行六面体ＡＢＣＤ—Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1的底面ＡＢＣＤ是菱形 ,且∠Ｃ1ＣＢ =∠Ｃ1ＣＤ =∠ＢＣＤ =60°.(Ⅰ )证明 :ＣＣ1⊥ＢＤ ;(Ⅱ )假定ＣＤ =2 ,ＣＣ1=32 ,记面Ｃ1ＢＤ为α ,面ＣＢＤ为 β ,求二面角α -ＢＤ - β的平面角的余弦值 ;(Ⅲ )当 ＣＤＣＣ1的值为多少时 ,能使Ａ1Ｃ⊥平面Ｃ1ＢＤ ?请给出证明 .图　 1(Ⅰ )证 1　连结ＡＣ与ＢＤ交于Ｏ ,连结Ａ1Ｃ1、Ｃ1Ｏ .由四边形ＡＢＣＤ是菱形 ,知ＡＣ⊥ＢＤ ,ＢＣ =ＣＤ .∵∠ＢＣＣ1=∠ＤＣＣ1,∴△Ｃ1ＢＣ≌△Ｃ1ＤＣ ,有Ｃ1…