反证法经典两例

1.证明2~(1/2)是无理数. 证假设2~(1/2)是有理数p/q其中p、q为互质正整数,,即2~(1/2)=p/q.两边平方可得p~2=2q~2,可见p为偶数,设p=2n,则(2n)~2=2q~2,故q~2=2n~2,从而q也是偶数,所以p、q有公因数2,这与p、q互质矛盾。因此,2~(1/2)必为无理数.     

数学问题(三)

一解方程:16!‘·’·x 26一’一10一2。求方程 ,—,。,一,16 .50v尤‘十l一‘丫却一“宁奋下二不了十护百荞万一28的一切买数解· 设函数厂(劣)-机X nPx q,其中m、”、P、q为有理数, 求证(1)当,珍~二q时,函数价厂(x)的全体为有理数集的一个子集; (2)当:P斗州q时,若x在无理数集     

关于分数化小数中的两个问题

大家知道,整数和分数合称有理数,无限不循环小数叫无理数;一切有理数都可表成分数 p/q(p、q 互质,p∈N,q∈N),无理数不能表示成分数 p/q。那么,将分数 p/q 化为小数,是有限小数,还是无限循环小数呢?小数的位数或循环节内的数字的个数又是多少呢?本文试图对这两个问题作一些一般性的探讨,供小学数学老师教学这个内容时参考。     

不等式a~2+b~2≥2ab的又一推广

(理若a,b任六’,。、k任N,且正<刀,则a”十b”乡a丙b“一‘+a”一‘b“当且仅当a=b时等式成立. 例1.若p、q任R气p3十q“=2求证P+q气2. 证:由定理, (,+叮)3二刀“+口3+3(尹’,+尹叮’) 百尹3+夕3+3(,3+夕3)=8, .’.p+q毛2. 枉·{2 .a,b,c任R十, 则a“+乙“+。“升3ab。. 泣:事实上,a3+b3+。一(a‘+b3+b“+c吕十c,+a吕)1,(a’乙‘一“/)“卜今哭。卜b(+e Za十。a“)=音一〔。‘“2+·”+“·’十·”干·(。:+“·,〕、3。“二(竹者单位:江苏建湖一县芦沟中学)不等式a~2+b~2≥2ab的又一推广@肖秉林$江苏建湖县芦沟中学 @沈文兆$江苏建湖县…     

1984年第6期问题解答

1984年第6期问题解答 56.定O口与定直线l相离.八“二1,2,…,)是l上的。个点,从几作00两切线得切点A‘、B‘.试证:弦人B‘恒通过某一个定点..’.P、p:、几、Q四点共圆,匕OQp二乙OPlp:. 又易证o、P、万、Q四点亦共圆,匕口Qp二乙OMp,…乙o卫p二匕口尸1几,故知p、只、N、万四点共圆,.’.ONll,而O卫=OP·O户-ON。时 犷,”.石了(定值).这就是月.说M是一个固定的点. 取￡=3、4、…、,同理可证得弦式召‘、……A声。也通过卫点.57.设函数f(公)的定义域是(一。,十co),f(2幻二2f(x)一卜二~,.f(劣)一btl少一11111一~’一山h名 钊脚,甘二奋二…     

1993年河北省初中数学联赛

第一试 一、选择题 1.设a,b,。,d均为实数.且a>b,:>d,则(). (A)ac>bd(B)a一c>b一d(B)可以作4个(C)一般情况下不可作(D)可作无穷多个在△ABC与△刃刀已中,已知,且乙B一艺刀,则正确结论(c)。+’.>b十d(D)三>奥 Ca 7. ABA’B‘是( AC A‘C,). 2.设d,b均为实数,且a共O,则二次函数y一a尹+b、+以).(A)有最大值4ae一bZ 4a (B)不一定有最大值 (C)其图象与x轴有两个交点. (D)其图象关于y轴对称 3.若。,b,了万~十了万都是有理数,则了丁,丫下的值是(). (A)二者均为有理数 (B)二者均为无理数 (C)一个为有理数,另一个为无理数 (D)以上三种情…     

数学问题与解答

又设AD=劣,B刀二夕,DC=a一夕,则1984年第3期问题解答n。,,,~二,1,口,L,,=J’l,=丈‘L,+刀l’,百L劣+,一。,+音‘二+a一,一“) 41.已知函数f(幻=a公十b,且加,十6醉=3,证明:对于任意:任〔一1,1],!f(:)}镇粼百. 1,。=甲二~(之汤+a一O一C) 艺、证明:~:·6b2一3,...(得)’·(、。)z=‘·代入前式得三竺互互=三(勘+a一b一c),化简为丫哥一i·一滤· 犷,rl二—Lp一劣) 肠①,(p表示△ABC的半周)召万乙=eo,夕,in夕,b=COS夕 另一方面,2(S。,,。+S。,。,)=犷:(c+工+夕)+犷2(b+劣+a一今)=,,(a+乙+e+器)=价i〔p+劣)…②,2S“eo=Zp犷…于是,(·。=…     

一道国际竞赛题的一种证法

【题〕设劣、夕、之为非负实数,几义+,+:=1,证明。(。:十二二+二。一:二。z《一柔.(第:。届国~‘少“一又口一’一’一’口一’口一~2了.、刁甘一声闷肖际数学竞赛题) 证:’.’x、,、z)0且二+甘+z,1,.’.11一2川《z,11一:召}(1,!1一二,二{簇1.’.’x、.、:!户至多有一个大于合,…,一:二,‘一2。,,一2:中至多有一个小于。,若恰有一个小于。,则一1《(1一2劣)(1一29)(1一2:)(Q,劝一玺(一x+4(”z+z劣+书甘一2‘时,簇。“《“+z‘十二。一202、一会<一命.若1一Zx,1一2沙,1一2之>。,则o《(l一2劣)(1一2夕)(1一2之)簇7一道国际竞赛题的一种证法@孟…     

转轴公式、复数表示、代数应用

高中教材《解析几何》给出了转轴公式c?S吕In一奋,6 ino g,eo‘0(I)已口O口.口.口r劣劣 这一公式也可以用下面的复数形式来表示 劣 91 =(x, 犷,i)(eoso ioino)。(!) 如果把公式(I)转化成公式(l)去解决某些代数间题,会产生妙解,有化难为易、事半功倍之效。兹举例说明。 例1在数列{a。}和{b:}中,女:==1, ._。一(口.== a._:eoso一b。_、sino 二一’一LO,=a一5 InU b。一,cos6求数列{a。}和{b。}的通项公式。 解设考.二a‘: b二f,g=eoso ioine,由已知条件并根据(I)、(I)可得 之。=之,一q-:.数列{劣。}是公比为q的等比数列,:’ 2.=z:口卜笼,…     

2007年IMO中国国家集训队选拔考试

第一天一、已知AB是⊙O的弦,M是弧AB的中点,C是⊙O外任一点,过点C作⊙O的切线CS、CT,联结MS、MT分别交AB于点E、F.过点E、F作AB的垂线,分别交OS、OT于点X、Y.再过点C任作⊙O的割线,交⊙O于点P、Q,联结MP交AB于点R,设Z是△PQR的外心.求证:X、Y、Z三点共线.(熊斌供题)二、称满足如下条件的有理数x为“好的”:x=qp>1,其中,p、q是互质的正整数,且存在常数α、N,使得对任意正整数n≥N,都有|{xn}-α|≤2(p1+q),其中,{a}表示a的小数部分.求出所有好的有理数.(李伟固供题)三、在半径为10的圆周C上任给63个点,设以这些点为顶点…     

利用等比定理解代数题

一、用于方程组求解::夕:z=3:4:5,①·例1。解方程组②代( 略解:由①::=3k人②求k再求劣、鲜、劣+ 军二y一之二5.4无,z=5无,Z.用于求值已知a:3+生+生 鱿z=b梦s=ezs(a,b二1。c为常习。:“+b;‘不万至的值.由已知条件: b夕2 e22a劣2+b军2+ezZ一1/梦一1/之一1/劣+1/夕+1/z==a劣2+b yZ+ezZ, 、乙i一劣全一劣二娜且求解竺l/ 数.’.粼a:名+b鲜2+e:“ 粼丁方『一1/劣一1/即刁矛刀了十刀了+划J=刃了=1/二不l/y不万五二粼万+腼.+粼万.三、用于证条件等式例3.若a劣2yZ b夕2一z劣 C22一x鱿,且:犷z神。,求证:a劣+b今+cz=y+z),由 a 劣2一(a+b+e)(劣+ b…     

高一(上)期末试卷

(时量:90分钟满分:100分) 一、选择题 1.已知集合M二}xI少二护一1},N={少}y二护一1},那么MnN二() A.必B,对乙N D.R 2.已知3劣一6与x2--4的最大者大于零,则x的取值范围是() A.R沈一:B.(2,+oo) C.(一Qo,一2) D.(一co,一2)u(2,+二) 3.命题p:对非空集合A,有An必=A,命题q:若A呈B,B呈C,则A攀c 下列说法正确的是() A.“非p”为真一B.,或t]’’为真 c.,”为真D.争且q”为真 4.不等式 2,:-- 15 5劣+2 岌O的解集是 A.(一的 C_(一QO +O口 +OC (--普,誓〕 〔一香,誓〕 5. A. B. C. D. P:a, 2、.。15 一—夕UL— 52 _鱼1以「竺 5一二2 b…     

利用结论 巧解赛题

结论若a+b+。~0,ab‘笋0,则l,1 .1-石一十兀下一.十一花一~a“O“‘.,1,1 .1、,L—日一下尸~卜—,“. a口‘二,l,1 .1、,一气—叶~~下-州卜—,“ aD‘ 1,l,12一一不刃日一一了犷州卜一下一州卜一-丁一La十白叫卜c少 a“O“f一aD汇,a十b+c~0,十告+告一(告+含+分·若a,b,乙为两两不等的有理数,明L证·二例求证理数 了1,1 .1、,一:^l,二ee一一了二二十一万厂一--万了十-丁一一-二二刀有 V气况一口,“又口一门“气亡一d,“-.(北京市1991,初二数学竞赛决赛题)证明’.’(a一b)+(b一。)+(。一a)~0, 1‘1 .1 ,厂一一一下不丁歹十一万二一一一二…     

数学问题与解答：2003年第8期问题解答

591.AD、BE、CF是锐角△ABC的三条高,M、N分别是BE、CF的中点,求证:△DMN仍△ABC. 证:如图1,取BC、CA、AB的中点尸、Q、5.易知p、M、S和P、N、Q分别共线.连SQ、DS、DQ. A 尸/飞 592.设四面体ABCD的对棱AB、CD互相垂直,AB与CD的距离为d,四面体ABCDd一乃匕 相似文献   

数与式评估检测题两套

数与式评估检测题(一)—数(时间:45分钟)一、填空题(每小题4分,共40分) 1.绝对值不大于2的整数有__。 2.两个自然数的乘积是奇数,那么这两个数的和是_______。 3.一昼夜的秒数可用科学记数法表示为_,102437精确到万位,有效数字为__个.的倒数是__.1一3计算:计算:}2}一}一4!~一3X2‘~(1一32)XZ二若粼红36=1.331,若%与,互为相反数,粼蕊万后“2 .868,粼236=6.18。,则刀票丽而O石石,__。则奈二+。)2一—,若屿。互为雕,则一会(“)2一—.把数番,、。‘,(省一)一’一};正数集合:{把数(一2)2,一(}:)。,2‘一cosoo分别填入,有理数集祭{“·},无理数…     

巧用公式Sn=a1(1-q~n)/(1-q) (q≠1)解题数例

本文目的探索公式5.二拓思维,:必二犷)一的应用.开 lse叼=(1 a … a”·卫)(I a … a“盖)二右例l:证明:Sinl .sinZ一万十一而 艺乙‘十·。· 勺期 2几<1 原式成立例4求:lim(以一2、·粼落:2刀、活)n..李O口证:冬协1、“叫 2’2才十… 冬乎胜 2。 1 It解:!系式二lim(2一‘、,2‘-·…2丽)几~,心冲引留闪嚼卜…州s豁二lim端一‘卜…‘命n~尹p口《合 扮… 办扒‘一希)认,一粼二limZ、_.少 n-夕00艺l一1_=2二21=2。一im(‘一:九)n~争优,:一办例解则 <1。例2已知:1 劣 盆z … 戈,=0 求:二19., 二,,.2 … 二,98,的值.解:易知劣今1 1 x x, ……     

错在哪里

一、江苏江阴市一中李亮尧来稿题:过点B(0,一的作椭圆=1(a>b>O)的弦,求这些弦的最大值。解:设M(万,扩是椭圆上任一点,则{BMI“=护·、(,月一幻“ =尸傀一犷斗劝y一卜护由多十豁二,,知X艺二豁‘、一y·,, 二、江苏南通市十三中学黄尔慈来稿 题:若实系数方程护卜.l)x 叮二0的两根为l)、q,试求夕、叮之值。 解:夕、q为方程护十Px十q二O的两根,则P、了分别满足方程, 犷夕2 了,2 口=0 轰口‘十夕q g“O 解此方程组得:(解方程组的过程略)p二一衡.Jp二1g=一仓’tq二一2 .2nUn甘一一一一入尸q‘.矛、.,代入上式,得}BM!2二(1一a,/bZ)夕2 Zb夕 …     

1991年全苏数学冬令营试题解答

第一天竞赛1.因为尸。四点共圆,故p之,pZ,p3,p‘,p。,p·六点在同一圆周上.丁kn ‘k,1设 皿二口a共m个a,B。=b”共n个 m3.A下kZ“一”一‘“丁无2‘” ‘一“’若a二1,由A。=B。可得西=1.若b=1,同样可得a二i。 (n!)” ,(1!2卜二刀!)“若乙>a>工,因为a^m一:二=C聋C志…C:;故可设     

对数换底公式的五种证法

对数换底公式:109;N~109,N109,a,N>0)的 一x一109。封. 原式成立.(a>0,a子1,乙>0,乙子1证明,我归纳了以下五种方法:证4:设109,,102、a 证:$IJ用恒等式a‘’‘。N=N(a>0,a笋1,N>0)和运算法则, logoN_109。a‘·,。, logoa一logoa.‘.109、N~x·109。a一10‘。a苏化成指数式,得:b‘“宫,‘:一N. a‘=N,再化为对数式有:二加叠丝i些g丝刽。g‘N 109七口109,N一1石抓玉一’ 原式成立.证2:丫109。N·109。a~109。a’”‘。脚 二109,Nx=109。N,即:109‘N二 原式成立. 109。N二109。八logoa证5(课本证法):设109。N=x, a万二N.两边同取以玉…     

一个不等式的多元推广

题口(88年高中联赛):已知a,乙为正实数,且七、气一1.试证对每个:任N夕(a 乙)”一a”一b”势2“n一2” ’。先用归纳法证(a 功”)a”午乙’‘ (Zu一2)(a西)2,再证侧而》(因a一’ 乙一’二幼即得. ,向 一一一、,产子可推广如下: 命题设a泛刀,(艺=1,…,动,若,为正整数,则(艺a:)’)