用“分离变换”法求切点

已知圆锥曲线的切线方程,求相应切点坐标,一般是要解一个二元二次方程组。其实,可直接将切线方程按“切点式”进行“分离变换”而求得,以下举例说明之。例1 直线5~(1/2)x+6~(1/2)y-3=0是双曲线x~2-y~2=1一切线,求出相应的切点坐标。解:因为双曲线x~2/3-y~2=1的“切点式”切线方程为:x_0x/3-y_0y=1,(*),现把5~(1/2)x=6~(1/2)y-3=0化成(*)的形式:5~(1/2)x/2-(-6~(1/2)/3)y=1,对照(*)可知切点坐标为(5~(1/2),-6~(1/2)/2)。     

求切点弦方程的新法

先看一个例题,如图1,⊙O的方程为x~2+y~2=1,A(2,1)为圆外一点,AP,AQ是⊙O的两条切线,P,Q是切点,求切点弦PQ的方程。解:据设,过点P的圆的切线方程为x_1a+y_1y=1(1)∵A(2,1)在切线上,∴2x_1+y_1=1,∴y_1=1-2x_1,同理y_2=1-2x_2。由两点式得切点弦PQ的方程为(x-x_1)/(x_1-x_2)=(y-(1-2x_1))/((1-2x_1)-(1-2x_2))经整理得2x+y=l(2) 方程(2)正好与方程(1)中把P(x_1,y_1)的坐标换成A的坐标。这是巧合吗?不!有如下结论:自圆外一点A(m,n)向圆引两切线,所得切点弦方程与切点为(x_1,y_1)的圆的切线方程中把(x_1,y_1)换成(m,n)的     

一则导数题的引申

题1已知曲线C：f(x)=x~3-x 2,求经过点P(1,2)的曲线C的切线方程．学生的解答雷同：解由f′(x)=3x~2-1得切线的斜率k=f′(1)=2,所以过点P(1,2)的曲线C的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x．分析解题时犯了审题不清的错误．此处所求的切线只说经过P点,并没有说P点一定是切点．故切线的斜率k与f′(1)不一定相等．     

每期一题

题:过点A(O,(10)~(1/2))向圆x~2+y~2=5引两条切线,求它们的方程。(统编数学高中第二册121页笫6题。解法一利用过圆上一点的切线方程如图,设过点A(0,(10)~(1/2))的直线一与圆x~2+y~2=5相切于F_1(x_1,y_1),根据过圆上一点求切线方程的公式(请参看统编数学高中第二册121页第5题),得圆的切线方程为x_1x+y_1y=5 ①     

利用导数求曲线的切线方程

<正>函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率。由导数的几何意义求切线的斜率,即是求切点处所对应的导数。因此,求曲线在某点处的切线方程,可以先求出函数在该点的导数,即为曲线在该点的切线的斜率,再用直线方程的点斜式写出切线方程,其步骤为:(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0);(2)根据直线方程的点斜式,得切线方程     

圆的切点弦直线方程

引例由P(1,3)引圆x2 y2=9的切线,求两切线所在直线l的方程.(即求切点弦直线方程)解如图,P(1,3)在圆外,故过P点引圆的切线有PM,PN两条,其中M,N为切点.求切点弦直线只需求出M,N的坐标即可.圆的切点弦直线方程$浙江省桐乡第一中学@沈国莲~~     

定点P关于直线L的对称点的坐标计算公式

求定点P(x_6,y_0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点P’的坐标,按照常规的方法是先求出过定点P(x_0,y_0)而且与l_c Ax+By=0垂直的直线方程,然后求出两直线的交点,再利用中点坐标公式,求出对称点P'的坐标。蔡乘湘曾经在《教学与研究》(1987—1)上刊文给出特殊情形(A=±1B=-1)的计算公式。本文将给出一般情形的坐标计算公式,于是蔡乘湘所给出的定理就作为这个公式的特例。值得一提的是所给出的坐标计算公式在形式上与点到直线的距离公式有密切的联系,很容易记忆,计算也方便,推导过程也不困难。     

关于圆系方程的一个补充

在解析几何中,涉及到求过两圆交点的圆方程,求过一直线和一圆的交点的圆方程时,设圆系方程来解是一个非常快捷的一个方法,但没有给出圆系方程一定表示一个圆的证明,本文拟补出这个证明.(I)如果直线1:Ax By C=0与圆C:x~2 y~2 Dx Ey F=0相交,那么过两交点的圆可表示为x~2 y~2 Dx Ey F十λ(Ax By C)=0 (1)(λ∈R)(1)圆过交点的证明略去(2)下面证明方程(1)一定是一个圆方程.证明:(1)经过整理可改写为x~2 y~2 (D λA)x (E λB)y F λC=0,证明方程(1)表示     

直线方程的一种新求法及应用

本文介绍直线方程的一种/另类0求法及解题中的广泛应用.如果P(x1,y1),Q(x2,y2)两点坐标满足:Ax1+By 1+C=0,A x 2+By 2+C=0,说明P(x1,y1),Q(x2,y2)两点都在直线A x+By+C=0上,因为两点确定一条直线,所以直线PQ的方程为:Ax+By+C=0,这给出了求直线方程的一种新方法,应用这种方法,能使许多棘手的解析几何问题得到简捷地解决,下面举例说明.例1过点M(4,2)作x轴的平行线被抛物线C:x2=2py(p>0)截得的弦长为4 2.     

探索点到直线距离公式的七种方法

问题 已知点P（x0，y0）是直线l：Ax＋By＋C=0外一点，求点P到直线l的距离.思路1 先由方程思想求出过点P向直线l作垂线时垂足Q（m，n）的坐标，再根据两点间的距离公式求｜PQ｜．     

关于二次曲线的切点弦

从点P作二次曲线C的两条切线,切点分别是A、B,称线段AB为点P对C的切点弦。本文在建立切点弦(所在直线)方程的基础上,研究有关切点弦的一些性质。一、切点弦方程例1.求椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1外一点P(x_0,y_0)对椭圆的切点弦AB的方程。     

直线与圆锥曲线相切的充要条件及其应用

关于直线与圆锥曲线相切的充要条件有下述定理: 一、直线l:Ax By=1 (A·B≠0)与椭圆C:x~2/a~2 y~2/b~2=1相切的充要条件是 a~2A~2 b~2B~2=1。证明:(1)必要性: 由方程组消去y得关于x的一元二次方程 (a~2A~2 b~2B~2)x~2-2a~2Ax a~2(1-b~2B~2)=0。再由它的判别式等于0,得 a~2A~2 b~2B~2=1。 (2)充分性(略) 推论:直线l:Ax By=1与圆x~2 y~2=R~2相切的充要条件是: (A~2 B~2)·R~2=1 利用推论和平移,不难证明直线Ax By C=0     

求曲线切线时的一点注意

曲线y=f(x)在点x0的导数f′(x0)就是曲线在该点的切线的斜率,本文对用导数几何意义求切线引起的误解进行剖析.已知曲线C:y=2x-x3,求过点A(1,1)的切线方程.(2005年全国高考卷Ⅲ文科15题改编)误解:显然点A(1,1)在曲线C:y=2x-x3上,f′(x)=2-3x2∴f′(1)=-1∴过点(1,1)的切线方程为:y-1=-1(x-1),即y=-x 2解析:由于点A(1,1)恰好在曲线y=f(x)上,因此容易得到一条切线方程,即以点A为切点的切线.但本题求的是“经过点A的切线”,而不是“在点A处的切线”,因而不排除有其他切线经过A.因此本题切线应有两条,一条以点A为切点,另一条不以点A为切点但…     

例谈用导数的几何意义求切线方程的四种类型

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0,y0)及斜率,其求法为:设P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的一点,则以P为切点的切线方程为:y-y0=f’(x0)(x-x0).若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))的切线平行于y轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为x=x0.     

字母替换解题例说

有些问题用常规解法往往冗繁,如: 过“P(a,b)作圆x~2 y~2=R~2两切线,求过切点的直线方程。” 常规解法是设切线方程为y-b=k(x-a),解方程组     

“在”与“过”，有所不同

曲线在某点处的切线方程与曲线过某点的切线方程不同,在解题过程中,这是一个易混点．求曲线的切线方程时,首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上,可用求切线方程的一般方法求解;若不在曲线上,可先设出切点,写出切线方程,结合已知条件求出切点坐标或切线斜率,从而得到切线方程．     

利用简单线性规划巧求参数

下面先介绍一个结论:直线l的方程为Ax By C=0(A、B不同时为零)(1)若M1(x1,y1)、M2(x2,y2)为直线l异侧的任意两点,则(Ax1 By1 C)(Ax2 By2 C)<0.(2)若M1(x1,y1)、M2(x2,y2)为直线l同侧的任意两点则(Ax1 By1 C)(Ax2 By2 C)>0.证明略.应用举例:例1若点A(1,3)和B(-4,-2)在直线2x y m=0的两侧,求m的取值范围.解设f(x,y)=2x y m.∵A(1,3)和B(-4,-2)在直线2x y m=0的两侧,∴f(1,3).f(-4,-2)<0,∴(2×1 3 m)[2×(-4) (-2) m]<0,∴-5相似文献   

运用斜率公式解题

求圆锥曲线弦的中点轨迹方程,在教科书和参考书中,都是用消去参数的方法来求出其轨迹方程的。这种方法计算冗长,容易搞错。用斜率公式求弦的中点轨迹方程,只要稍加计算,就能求出其轨迹方程,学生很容易掌握。用斜率公式还能解决一些有关弦的中点的其他问题。为了叙述方便,先介绍圆锥曲线弦的斜率和弦的中点坐标间的关系。如图1所示,AB是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的弦,而M是弦AB的中点。设A、B的坐标分别为(x_1,y_1),(x_2,y_2),弦AB的中点M的坐标为(x,y),     

巧用直线与圆锥曲线(x-x0)2/m+(y-y0)2/n=1位置关系解题

定理若直线Ax By C=0与圆锥曲线(x-x0)2/m (y-y0)2/n=1=1有公共点,则 (1)当m＞0,n＞0时,有A2m B2n≥(Ax0 By0 C)2;     

有心圆锥曲线切线的一个性质

正笔者在利用几何画板研究有心圆锥曲线的切线时发现一个简洁有趣的性质,现介绍如下:命题1自圆C_1:x~2+y~2=a~2+b~2上任一点P向椭圆C_2:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a,b0)引两条切线,则这两条切线互相垂直.证明:设P点的坐标为(x_0,y_0),自这一点向椭圆C_2引的两切线分别为l_1和l_2.(1)当切线的斜率存在且不为0时,设过P的切线方程为y-y_0=k(x-x_0),由y-y_0=k(x-x_0),x~2/a~2+y~2/b~2=1得(b~2+k~2a~2)x~2+