重解一道数学竞赛题

下面是一道1994年全国高中数学联赛试题: 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列,试求这个数列的第1000项。 为了解这道试题,我们将它改写为和它等价的另一个问题:     

“降阶”、作商、转化——关于一类数列的求和问题

在数列求和的过程中,难点是如何得出和的公式,即使形式上很有规律的数列的求和,要得出公式,也不是件容易的事。例如求1·2~2 2·3 3·4~2 … n(n 1)~2的和。对于低“阶”(通项的次数),当然用待定系数法可以解决,可是随着“阶”数的增加,计算量就越来越大,本文运用“降阶”、作商、转化的思想,寻求到一个规律:用已知的、简单的、“低阶”的数列和去解决较复杂的、“高阶”的数列求和问题。 一般说来,若一数列的每一项减去其前一项得出第二个数列,把第二个数列的每一项减去其前一项得出第三个数列,依此方法得出第四个、第五个、……数列,假如得到的第k—1个数列是一个常数数列,我们     

巧设必须合理 妙解还应防误

在学习等比数列时,老师布置了如下一道习题:“已知一个各项均为实数的数列,前四项之积为81,第二项与第三项之和为10,试求这个等比数列的公比”,有些同学采用的解法是:     

对一则“希望杯”赛题的探究

第二十届（09年）“希望杯”全国数学邀请赛高二1试第17题是数列问题,已知分式线性的递推式,求数列的第10项,下面来探究此题的解法．     

巧设必须合理 妙解还应防误

在学习等比数列时,老师布置了如下一道习题:“已知一个各项均为实数的数列,前四项之积为81,第二项与第三项之和为10,试求这个等比数列的公比”.许多同学采用的解法是:错解;设这个实数等比数列的前四项依次为 a/q~3,a/q,     

创设情境，让学生自主、快乐地学起来——“找规律”说课

“找规律”是人教版第二册中一个独立全新的单元。“找规律”作为新单元的第一课时,是从形象的图形排列规律、颜色交替规律中慢慢抽象到数列规律的,这节课的学习将为后面数列规律的学习铺路。     

等差数列与直线

等差数列的通项公式表明,a_n是n的一次函数,因而(n,a_n)排在一条直线上,所以“直线”的性质可用来解与数列有关的题目。例1.等差数列{3n-1}的每相邻两项间插入三个等差中项,构成一个新的数列。问原数列第12项是新数列第几项?新数列第29项是原数列第几项?     

数列通项公式教学的一点注记

求数列的通项公式,是数列的概念教学中学生感兴趣的问题。在教学中我们看到,许多教学参考书将一些仅仅是看不出排列规律的数列判为没有通项公式。如人民教育出版社出版的高中代数第二册(甲种本)《教学参考书》第40页指出:“数列 89,95,78,90,82写不出它的通项公式。”上海教育出版社出版的《中学基础知识手册·数学》(增订本)第288页指出:“〔注意〕上面的数列(2)100以内的质数从小到大排列起来的数列     

两道1998年高考数学题的简捷解法

1998年全国高考试题中有一对数列与不等式巧妙结合的“姊妹题”,下面给出它们的简捷解法. 例l(文科第25题)已知数列箱b。}是等差数列,bl=1,bl b:十… b,。=100. (I)求数列考b。}的通项bn;(I)求数列{b。}的通项b。; ‘,,设数列‘二,的通项一‘g‘, 奇,,记S·是数列{a。}的前。项和·试比较s。与合lgbn一的大刁、, (,)设数列、a。}的通项。n一,。g。(1 咨)(其中。 。n>0,且a笋1),记S。是数列{an}的前n项和.试比较s。与粤109:bn*,的大,J、,并证明你的结论.一‘刁3一0“一”下二~/、.’/’一~’咨曰甲一曰曰解:(x)(略)(I)丫b。=3n一2,并证明…     

有穷数列的通项公式问题

现行高中代数第二册(甲种本)教学参考书,于关数列这一单元教材分析与建议中,有这样一段论述:“……不是所有的数列都能写出它的通项公式的。例如某个学生在5次数学测验中的成绩组成的数列89,95,78,90,82,就写不出它的通项公式”。(见第40页),文中所述论断无疑是正确的,但所举的例子则欠妥。事实上,不仅这个数列有通项公式,而且任何有穷数列,它的通项公     

错在哪里

1 重庆市綦江县三江中学周明煜（邮编：401431） 在学习等比数列时,我布置了如下一道习题：“已知一个各项均为实数的数列,前四项之积为81,第二项与第三项之和为10,试求这个等比数列的公比”．许多同学采用的解法是：     

求高阶等比数列通项公式的方法

让我们先来看两道例题:例1已知数列{a n}:6,9,14,23,40试求该数列的通项公式.解记an+1?an=bn,则{b n}:3,5,9,17记bn+1?bn=cn,则{c n}:2,4,8.∴cn=2n.bn=b1+(b2?b1)+(b3?b2)++(b n?bn?1)=b1+c1+c2++cn?1=3+2+22++2n?1=2n+1,an=a1+b1+b2++bn?1=6+(2+1)+(22+1)++(2n?1+1)=6+(2+22++2n?1)+(n?1)=2n+n+3,∴数列{a n}的通项公式为:an=2n+n+3.例2已知数列{a n}:1,7,16,30,53,93,166试求该数列的通项公式.类似于例1可得数列{a n}的通项公式为:an=2n+n2/2+5n/2?4.总结例1与例2,若将原数列{a n}算作“第1阶”,则例1中的数列{a n}是在“逐差”至“第3阶…     

数列中的一类高考热点题型

我们知道如果一个数列从第二项起后一项与前一项的比都等于同一个常数q,则称此数列是等比数列;那么如果一个数列从第二项起后一项与前一项的比都大于等于（或小于等于）同一个常数q,我们不妨称此数列为“类等比数列”．“类等比数列”问题对学生的运算和推理要求较高,难度大、技巧性强、具有很好的区分度和选拔功能,一直是高考的热点与难点,往往以压轴题形式出现．     

数列

第一课时　数列的的基本概念 基础篇 诊断练习一、填空题先看下面材料 :( 1)堆放的钢管中各层的钢管数 4 ,5,6 ,7,8,9,10( 2 )正整数的倒数 1,12 ,13,14 ,15,…( 3) 2精确到 1,0 .1,0 .0 1…的不足近似值 1,1.4 ,1.4 1,1.4 14 ,…( 4) - 1的正整数次幂 :- 1,1,- 1,1,…( 5)无穷多个数 1排成一列数 :1,1,1,1,…( 6 ) an =3n + 2 ( n∈ R) .上面 6组数中 ,不能构成数列的是 ,构成的是有穷数列的是 ,构成的是递增数列的是,构成的是常数列的是 .第 ( 2 )组数构成的数列的通项公式是 ,第 ( 4)组数构成的数列的第七项是 .二、选择题已知数列 {an…     

高中数学奥林匹克竞赛知识讲座——数列

1 知识点释要在历年的全国高中数学联赛中,数列知识是必考内容.自2004年以来,在延续对数列客观题考查的基础上,连续3年在一试或二试中出现了数列解答题,大大增加了数列内容的分值比例.考查内容涵盖了数列的几乎全部知识点,如2004年一试第11题考查了数列的通项与求和知识,二试第2大题结合解析几何、不等式的内容考查了递推数列的通项、单调性及求和知识;2005年一试第7题结合多项式系数考查了等比数列求和知识,第13题以递推数列为背景考查了数列有关的性质和数论的初步知识;     

高中数列解题技巧分析

<正>一、数列概念及分类数列是一列有序的数,该函数的定义域包含正整数集与其他有限子集。每一个数在其所在的数列当中都属于这一数列的项。大家较为熟悉的数列有二种:其一,等差数列。一个数列中,若是其第二项数与第一项数之间的差值等同于后续项数与前一项数之间的差值,那么这个数列便是等差数列。我们的日常生活中,尺寸划分     

数列分组的应用

把数列{a_n}按某种规律分组,得到一个新的群数列:(a_1,a_2.…a_(k1)),(a(k 1),a_(k1 2),…,a_(k2)),…研究下列问题:1.归入第k组的是哪些项:2.项a_n是第几组的第几项;3.第k组所有项的和是多少? 例1.将自然数列分组如下:(1,2),(3,4,5,6),(7,8,…,12),(13,14,…,20),……问1987是第几组的第几项?第k组数的和为多少? 解:观察分组方法,第k组共2k个数,因此k组     

高阶等差数列前n项和的一个求和公式

我们知道,等差数列就是:从第二项开始,每一项与前一项的差都相等的数列。然而,这样的数列只是数列中极少的一类,更多的数列其每一项与前一项的差不一定都相等,但是由这些差组成的新数列,有可能是等差数列,若这个新的数列是一个等差数列,那么称原数列为二阶等差数列。一般地,我们有: 定义1:设r是一个正整数,若数列{a_n}从第二项开始,各项与其前项之差构成一个等差数列,则称数列{a_n}为二阶等差数列。     

高考数列综合试题考点解析

数列综合题处在初等数学与高等数学的交汇处,它是以等差、等比数列知识为载体,融函数、方程、不等式、数学归纳法、探索性问题于一体,注重考查归纳猜想的创新意识和解决问题的综合能力为特征的中档题或压轴题.下面探究数列综合试题考点和求解策略.考点1　数列概念与性质综合应用例1　(2000年全国高考题)设{an}为等差数列,Sn为{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{Snn}的前n项和,求Tn.解析:涉及到数列求和问题时,常需运用数列定义、性质、通项公式、前n项和公式,并借助于“方程”工具去解决问题.解:由题设得7a1+21d=7,15a1+105d=75.解…     

杨辉三角和莱卜尼兹调和三角

我们来构造这样一系列的数列,其中第一个数列是:1,1,1,……,以后每一个数列的第m项都是前一个数列的前m项之和。把这些数列排列在一起得: 这实际上就是由二项式系数构成的杨辉三角(帕斯卡三角)用组合数的记号,并规定C_0~0=1,可将此三角形写成如下的形式: