一道竞赛题一题多解及启示

本文通过对第38届全国中学生物理竞赛复赛(扬州、福建赛区)第1题问题条件和考查意图进行分析,在运用牛顿第二定律解决问题的基础上,使用速度关联、非惯性系和分析力学等多种方法拓展问题解决的思路,为解决一类问题提供了更广的思路和教学建议。对于拉格朗日动力学方法,近年竞赛中考查较多,本文总结了主动力为保守力的完整系统的解题方法,对于复赛备考有着重要帮助。     

一道竞赛题的启示

下面一个问题及其解答出现在一九二八年EOTVOS数学竞赛上。设a是任何一个正实数,n为任意正整数。证明下列数a,2a,3a,…,(n-1)a中,有一个数离某一个整数至多1/n。证明:设n是给定的正整数,并在数轴上标出a的倍数:a,2a,3a,…,(n-1)a。图1 又假定在同一数轴或者另一数轴上,把每两个相邻正整数之间的区间分成n等分。 (见图1)。     

例析数字谜趣题——一道竞赛题的启示

2003年江苏省第18届初中数学竞赛初一第1试中有这样一道题：     

一道竞赛题的姐妹题

题设I为AABC的内心,其AABC内切圆切三边BC、CA和AB于点K、L、M,过B点平行于MK的直线分别交直线LM和LK于点R和S。求证：∠RIS为锐角。(39届IMO试题)     

数学趣味——一道诡辩题与一道竞赛题

有这样一道数学诡辩题: 一个正方形边长为8个长度单位,面88~2=64个面积单位。现在把它按图一甲尺下寸剪成4块,即把正方形剪成两个相等的三角形和两个相等的梯形,然后把它们拼成如图一乙的长方形,那么长方形的面积成为13 ×5=65个面积单位。     

一道数学竞赛题的启示

一、问题如图(1),△ABC 的∠A=45°,∠B=30° D在AB上,直线DE将△ABC分成面积相等的两块(注:这图可能不确切;E也许是在CB上,而不是在AC上)。则比AD/AB是( )。 (A)1/2~(1/2); (B)2/(2+2~(1/2)); (C)1/3~(1/2); (D)1/6~(1/3); (E)1/(12)~(1/4)。(第38届美国中学数学竞赛试题第30题)。     

一道竞赛题的演变——由题及类

一道竞赛题的演变——由题及类浙江省宁波市芦渎中学吴丽丽《首届全国数学奥林匹克命题比赛精选》中第１１４页的命题为“ＡＢ是⊙Ｏ的非直径的弦，过ＡＢ的中点Ｐ作弦Ａ１Ｂ１、Ａ２Ｂ２，过Ａ１、Ｂ１分别作⊙Ｏ的切线得交点Ｃ１，过Ａ２、Ｂ２分别作⊙Ｏ的切线得交点Ｃ...     

一道竞赛题的变型题探解

一九八二年二十八省、市、自治区联合数学竞赛试题的第二题是这样的: 已知四面体SABC中,∠ASB=π/2,∠ASC=α(0<α<π/2),∠BSC=β(0<β<π/2),以SC为棱的二面角的平面角为θ。求证:θ=π-arc cos(ctgα·ctgβ)。本题可作出平面角θ,然后将θ置于三角形中求解。     

一道竞赛题的解答与启示

2005年福建省高一数学竞赛填空题第一小题：y=√1/3-x＋√x-1/5的最大值为a,最小值为b,则ab=——。     

一道竞赛题的启示及推广

2n .2行了8一·J一 乃 第五届全俄中学生数学竟赛有这样一道题:求所有a、‘b,使}2:2卜a:+b!簇1对一切一1毛:廷1均能成立.为了便于以下讨论及推广,我们把上题改述为如下命题: 命题l对于任意a任(一co,。co),有 }2e082a+aeo。:+b!毛1,当且仅当ZeosZa+aeos“+b=eosZa. 证明当ZeosZa+aeosa+b二cosZa时,显然能使]ZeosZa+aeosa+bl镇1对于任意a任(一co,+co)都成立. 反之,设吞>一z,则Zcos’a+ac08a+b=Zeos“a一l+aeosa+b+1.由假设知b+l>0,若令eosZa二z且使aeosa=!aJ,则有!Zeos’a+aeosa+b}二i+la}+b+1>1,矛盾. 设乙<一z,若令eosa二o,则有{Zeos…     

从一道中考题学习解“找规律题”

发现数学规律题,指的是与学生以前学习的数学规律没有什么关系,需要学生先从已知的事物中找出规律,才能够解答的题目.     

从一道常见几何题到一道IMO竞赛题

问题1.过⊙O直径AB的两端点作⊙O的切线AD,BC.在⊙O上任取一点E,过E作⊙O的另一条切线交AD于D,交BC于C. 求证:(1)以CD为直径的圆与AB相切; (2)AD·BC为定值. 这是一道常见题. 在问题1中,让A,B两点发生变化,可得: 问题2.A,B为⊙O的一条直径所在直线上的两点,且AO=OB.过A,B两点     

冯·诺伊曼解趣题的启示

冯·诺伊曼是20世纪杰出的数学家.他参与了世界上第一台电子计算机的研制.关于冯·诺伊曼,还有一个耐人寻味的故事呢.     

一道竞赛题与两道改编题

<正>第20届伊朗数学奥林匹克中,有如下一道经典的不等式题:原题已知a、b、c为正实数,a2+b2+c2+abc=4,求证:a+b+c≤3.文[1]、[2]、[3]分别从不同角度对该题给出了证明与拓展,笔者读后很受启发,思考之余突发奇想,如果将该题由三元退化到二元,同时又不降低问题的难度,那么会是什么结果呢?     

一道题的启示

我给学生出题做练习时，出了一道题目：商品促销，买四送一，就是按折出售。     

一道题的启示

本人讲解一道幂指函数极限时,找出一类幂指函数极限简便求法,从而说明极限运算除满足四则运算法则外,还满足另一运算法则.现将这一运算法则及寻找这一运算法则的思想写出,就这种教学方法和这类极限的求法同大家商讨.     

例说巧用最大公约数——一道竞赛题的启示

江苏省第18届初中数学竞赛初一第2试中有这样一道试题: 一个长方体的长为42cm,宽为35cm,高为31.5cm,如果要把这个长 方体正好分割成若干大小相同的小正方体,那么这些小正方体至 少有　　　个,这时所得小正方体的棱长为　　　　cm. 这道试题,很有启发,为了更好地解答它,先从最大公约数谈起. 两个或多个整数的最大公约数的求法,在小学都已学过,在这 里我们利用它来求解一些有趣的问题. 图1 例1　如图1,在一根金属丝AD上,点B,C处都有裂 痕,且AB=413,BC=118,CD=236(单位:cm),为了物尽 其用,现将AD分成…