第三届北方数学奥林匹克邀请赛

第一天 一、(25分)在锐角ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的高.以AB为直径作圆交CE于点M,在BD上取点N,使AN＝AM.证明:AN⊥CN .     

数学奥林匹克问题

本期问题 初227 如图1,在ABC中(AB＞AC),点D1在边BC上,以AD1 图1为直径作圆,交AB于点M,交AC的延长线于点N,联结MN,作AP⊥MN于点P,交BC于点D2,AE为ABC 外角的平分线.求证:     

关联六个圆半径的一个恒等式

命题　设ha为ABC的边BC上的高,D为边BC上的任一点,且r、r1、r2分别是ABC、ABD、ACD的内切圆半径;设r′、r′1、r′2分别为对着∠BAC、∠BAD、∠CAD并分别与BC、BD、DC相切的三角形的旁切圆半径.则rr′=r1r2 r′1r′2 r1r′1 r2r′2.图1证明:如图1,易知r=Sp,r′=Sp-a.其     

数学奥林匹克高中训练题（11）

第一试 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.在ABC中,如果AB·BC＜0,则ABC 的形状为( ). (A)锐角三角形(B)直角三角形 (C)钝角三角形(D)不能确定     

两届IMO第5题的解析证明

第39、第40届IMO试题的第5题都是纯几何题,本文给出这两道题的解析证明,并予以推广. 第39届IMO第5题是: 　　设I是ABC的内心,并设ABC的内切圆与三边BC、CA、AB分别相切于点K、L、M.过B点平行于MK的直线分别交直线LM及LK于点R和S.证明:∠RIS是锐角.……     

一道IMO试题的证明及相关结论

第41届IMO第6题是: 　　设AH1、BH2、CH3是锐角ABC的三条高线.ABC的内切圆与边BC、CA、AB分别相切于点T1、T2、T3.设直线l1、l2、l3分别是直线H2H3、H3H1、H1H2关于直线T2T3、T3T1、T1T2的对称直线.证明:l1、l2、l3所确定的三角形,其顶点都在ABC的内切圆上.……     

数学奥林匹克问题

本期问题 初245 如图1,在锐角ABC中,AC＞BC,CD为边AB上的中线,图1E、F、G分别为线段CA、CB、CD上异于线段端点的三点,且C、E、G、F四点共圆.设ADE外接圆的圆心为O1、半径为r1;BDF外接圆的圆心为O2、半径为r2,且∠O1DG与∠O2DG均为锐角.     

数学奥林匹克问题

本期问题 初205 如图1,P是ABC 内一点,PD、PE、PF是过点P所作的边BC、CA、AB的垂线,垂足分别为D、E、F,过D、E、F三点的圆交BC、CA、AB于另外三点D'、E'、F',过D'、E'、F'分别作所在边的垂线l1、l2、l3.求证:l1、l2、l3三线共点.     

一道平面几何题的推广

《数学通报》2003(4)数学问题1426题目为:AN为△ABC的角平分线,AN延长线交△ABC的外接圆于,DM是AN上一点,直线BM、CM分别交△ABC的外接圆于E、F,DF交AB于P,DE交AC于Q,求证:P、Q、M三点共线. 笔者在用几何画板作图时,发现当N点在线段BC上运动时,P、Q、M三点均共线,当M在线段AD上运动时,结论依然成立,因此笔者对该问题作如下推广: 定理 △ABC中,点N是BC边上一点(除端点B、C外),AN的延长线交△ABC的外接圆于D,M是线段AD上一点,直线BM、CM分别交△ABC的外接圆于E、F,直线DF交直线AB于P,直线DE交直线AC于Q,则P…     

涉及中线与高的一个半对称不等式

命题在ABC中,a、b、c为其三边长,ma、ha分别为BC边上的中线长和高,为其面积.则有