利用不等式“a~2+b~2≥2ab”求解最值问题

<正>由完全平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2的非负性,易得它的延伸公式:a2+b2≥2ab(当且仅当a≡b时取等号).这个不等式在求最小值、最大值等问题中有着特殊的应用.现举例如下:     

基本不等式√ ab≤a＋b/2课堂实录

在前两节课的研究当中,学生已掌握了一些简单的不等式及其应用,并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系,掌握了不等式的一些简单性质与证明,研究了一元二次不等式及其解法,学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题。本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展。另外,为基本不等式的应用垫定了坚实的基础,所以说,本节课是起到了承上启下的作用。本节课是通过让学生观察第24届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的。     

基本不等式(ab)~(1/2)≤(a+b)/2

《基本不等式》这节课主要研究从代数和几何两方面探究基本不等式的证明过程,体会数形结合,提高论证能力,提升数学素养。     

基本不等式a+b/2≥ab~(1/2)的应用

函数的最值是函数这一章节中的重要内容,它的重要性不仅在题型多样、方法灵活上,更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。高考应用题几乎都与最值问题有关,一元二次函数是函数应用求最值的常用方法,而基本不等式是解决     

不等式a~2+b~2≥2ab的变形及应用

<正> 不等式a2+b2≥2ab有许多变形,利用这些变形可以简便而灵活地解答不同类型的问题. 证在不等式a2+b2≥2ab两边同时加a2+b2得     

判别公式"a2+b2≥2ab"在物理中的运用

熟练运用数学知识，分析物理学中的问题对深刻理解物理现象及其规律具有重要的意义。本文就高中数学中关于重要不等式＂a^2＋b^2≥2ab＂（当且仅当a=b时取等号）”在高中物理中的运用略抒浅见。     

用a＋b≥2√ab（a≥0，b≥0）巧解物理题三例

同学们，在初中学习中，有一些物理题，特别是求极值问题，若用a b≥2√ab(a≥0，b≥0)来解决，比配方法，二次函数法等更方便，更快捷，可达到事半功倍之效果。     

不等式（a＋b）^2-4ab≥0的应用

通过例题谈不等式(a b)^2-4ab≥0的应用，为叙述简捷，不妨记这个不等式为(※)。     

基本不等式a~2+b~2≥2ab的变形与应用

基本不等式a2+b2≥2ab在不等式的证明中起重要作用,但有些不等式直接用它去证明比较困难,而应用该不等式的变形去证明却比较方便. 变形1a2+b2≥2ab a2+b2≥1/2(a+b)2. 例 1 已知 a,b,c∈R+,且a+b+c=5,a2+b2+c2=9,试证明:1≤a、b、c≤7/3. 证明:由已知 a+b=5-c,a2+b2≥9-c2,∵a2+b2≥1/2(a+b)2,∴9-c2≥1/2(5-c)2,∴3c2-10c+7≤0,∴1≤c≤7/3,同理1≤a≤7/3,1≤b≤7/3. 例2 设a,b∈R+,且a+b=1,求证:(a+1/2)2+(b+1/b)2≥25/2.     

利用基本不等式a＋b/2≥√ab求最值十大变形技巧

本文就利用基本不等式a＋b/2≥√ab求最值的常见变形技巧作一总结,供参考．     

a2+b2≥2ab的推广变形及其应用

现将基本不等式a2+b2≥2ab推广如下: 定理若x、y、a、b均为正数,则有     

活用a^2＋b^2≥2ab的变式证明一类不等式

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ是我们最熟悉的基本不等式，它有许多变式：（１）ａ２＋ｂ２≥１２（ａ＋ｂ）２；（２）（ａ＋ｂ）２≥４ａｂ；（３）１ａ＋１ｂ≥４ａ＋ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）；（４）ａｂ＋ｂａ≥２（ａｂ＞０）；（５）ａ２ｂ≥２ａ－ｂ（ａ≥０，ｂ＞０）；（６）ａ３ｂ≥２ａ２－ａｂ≥３２ａ２－１２ｂ２（ａ≥０，ｂ＞０）．以上６个不等式当且仅当ａ＝ｂ时取等号．这６个变式的证明都较简单，下面通过举例仅介绍变式（５）、（６）的应用．例１　已知ａ＞１，ｂ＞１，ｃ＞１，求证：ａ２ｂ－１＋ｂ２ｃ－１＋ｃ２ａ－１≥…     

基本不等式a2 b2≥2ab的一个变式及其应用

高中代数课本下册（必修）中,第１５页的第１１题：求证：（ａ＋ｂ２）２≤ａ２＋ｂ２２．这道习题的求解并不困难．事实上,由基本不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ,得２（ａ２＋ｂ２）≥ａ２＋２ａｂ＋ｂ２,∴ａ２＋ｂ２２≥ａ２＋２ａｂ＋ｂ２４,即得（ａ＋ｂ２）２≤ａ２...     

不等式a^2＋b^2≥2ab的一个变形和应用

高中代数下册第8页给出的均值定理：如果a，b∈R，那么a^2 b^2≥2ab(当且仅当a=b时，取“=”号)．     

(a+b)2=a2+b2+2ab与直角三角形的关系及具体应用

公式(a b)2=a2 b2 2ab与直角三角形有着密切的联系。如果设直角三角形的两条直角边的边长为a、b,则可根据公式的变形求出有关两直角边的关系式(a b、a2 b2、ab)如果将公式的变形与直解三角形的内切、外接圆半径公式结合起来,可顺利解决许多有关直角三角形的综合题。     

运用基本不等式必备的变形技巧

基本不等式a＋b/2≥√ab（a〉0,b〉0,当且仅当a=b时等号成立）在不等式的证明、求解或者解决其他问题中都起到了十分重要的工具性作用。在利用基本不等式求解函数最值问题时,有些题目可以直接利用公式求解,有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面介绍一些常用的变形技巧。     

“配”中求活——不等式a^2＋b^2≥2ab的活用

不等式a^2＋b^2≥2ab（或a＋b≥2√ab，a〉0,b〉0）是—个最基本的不等式，但它的应用却十分灵活广泛，在高考及竞赛中经常出现．应用这个不等式常常需要作适当的“配”才能见效，体现了这一基本不等式应用的灵活性，本从几个方面探究“配”的技巧．[第一段]     

从a＋b＋c/3≥3√abc的证明看常用不等式证法

本文想通过对一个常见的不等式问题的证明,进一步了解不等式的常用证明方法．