Fibonacci数列Cassini公式的推广

对Fibonacci数列的一个重要性质:F_(n-1)F(?)—F_n~2=(-1)~n(Cassini公式)进行了推广。由此推广给出Fibonacci数列的另一个重要性质:F_(m-n)=F_(n-1)F_m F_nF(m-1)的新证明,并得到任意两个Fibonacci数的平方和(差)的关系式。     

再谈菲波纳契数列一个性质的推广及其应用

我们知道,菲波纳契(Fibonacci)数列:F_1=F_2=1,F_n=F_(n-1) F_(n-2)(n∈N,n≥3)的通项公式为: 这就是意味着,对于任意自然数n,上式右端都是一个自然数。文[1]将这个结论推广为:设M=4l 1。l∈N.则对任意自然数n,都为一     

费马数

形如F_n=2~2 1的数(n为非负整数),前五个是F_0=3,F_1=5,F_2=17,F_3=257,F_4=65537,它们都是素数。于是法国数学家费马猜想F_n全是素数,F_n被称之为费马数。后来     

椭圆弦焦角的几个结论及应用

设 F_1、F_2 是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的焦点,过 F_1、F_2的弦交椭圆于 P 点,称∠F_1PF_2为椭圆的弦焦角,如图。设∠F_1PF_2=2θ,则有下列结论.结论1|PF_1||PF_2|cos~2θ=b~2.证明:在△F_1PF_2中,由余弦定理|PF_1|~2 |PF_2|~2-     

焦点三角形面积的妙用

以圆锥曲线上一点与其两焦点为顶点的三角形叫做焦点三角形。它们有如下的面积公式: P为椭圆(x~2)/(a~2) (y~2/b~2)=1(a>b>0)上任一点,F_1、F_2是两焦点,∠F_1PF_2=θ,则 S_(△PF_1F_2)=b~2tgθ/2 (1) P为双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2/b~2)=1上任一点,F_1、F_2是两焦点,∠F_1PF_2=θ,则     

斐波那契数列与卢卡斯数列的相互关系

满足:(n≥1)的数列{F_n}称为斐波那契数列。满足:(n≥1)的数列{F_n}称为卢卡斯数列。引理1~([1]):则有引理2~([2]):     

斐波那契数列与黄金比

黄金比(1+、5~(1/2))/2和斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,……之间有一个著名的关系。(如果我们用F_x.表示斐波那契数列的第n项,那么可以用F_1==1,F_2=1,F_(n+2)=F_(n+1)+F_n.(n≥1)(1)来递推地定义这个数列)。这个关系就是:     

1991年日本大学入学考试数列试题

一、(国立岐阜大学第5题) 对于每边为1的正方形,如图1那样分别在正方形的四边上,以各边的三等分点为顶点,向外侧作小正方形,所成图形记为F_1(如图1(1))。所作小正方形称为F_1的附加小正方形。在F_1的附加小正方形的三边上,以同样方法作小正方形,所成图形记为F_2(如图1(2))。得F_2的附加小正方形。……,由此,可得图形F_n及F_n的附加小正方形。     

二阶线性递归数{In}的若干性质

用 F_n 和 L_n 分别表示斐波那契(比萨的)数和 Lncas 数.{I(3,3,n)}、{P(2,2,n……)}两数列的递推公式为,I_n=I_(n-1) I_(n-2),P_n=P_(n-1) P_(n-2).本文利用组合分析中常用的计算方法,建立递归方程(引理1,2)、组合计算(定理2,4等证明)和数学归纳法,讨论了数列{I_n}和{P_n}的有趣性质,以及二者与斐波那契数和 Lncas 数的联系,得到了较系统的结果,可将斐波那契数的性质可经推广到数列{I_n}、{P_n}上去.     

巧构等比数列证明棣莫佛定理

棣莫佛定理是复数中的一个重要定理,高中代数课本第二册是用数学归纳法证明的。本文通过构造一个辅助等比数列,给出该定理的一个巧妙证法。 [棣莫佛定理]设n为自然数,r为正实数,i为虚数单位,则[r(cosθ+isinθ]~n=r~n(cosnθ+isinnθ)。证明:显然,只需证明(cosθ+isinθ)~n=cosnθ+isinnθ即可。令a_n=cosnθ+isinnθ,将n拆成(n-1)+1,并利用和角的正、余弦展开式易得:a_n=cosθ[cos(n-1)θ+isin(n-1)θ]+isinθ[cos(n-1)θ+isin(n-1)θ]=(cosθ     

两类函数的周期性的探讨

一设A、B、λ是非零实数.考虑函数方程 f(x+λ)=Af(x)+BF(x-λ.(1)试问:在什么条件下,满足(1)的f(x)是以mλ(m∈N)为周期的函数? 将x换成x+(n-1)λ(这里n∈N,且n≥2),则等式(1)可以改写成 f(x+nλ)=Af(x+(n-1)λ)+Rf(x+(R一2)λ)。因此,若设F_n=f(x+nλ)     

一个不定方程解的应用(高二、高三)

定理m元一次不定方程x1 x2 … xm=n(m,n∈N,m,n≥2)的正整数解有C_(n-1)~(m-1)组,自然数解有C_(n m-1)~(m-1)组.证明①若xi为正整数,则这个不定方程正整数解的组数等价于x个小球之间有n-1个空隙,从中放入m-1个隔板,故其正整数解的组数为C_(n-1)~(m-1).     

从一道高考题谈集合的几类计数问题

2006年全国高考数学(Ⅰ)第12题:设集合 I={1,2,3,4,5},选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法共有A.50种 B.49种 C.48种 D.47种解:当 B={5}时,有2~4-1=15种;当 B 中最小数为4时,有2×(2~3-1)=14种;当 B 中最小数为3时,有2~2×(2~2-1)=12种;当 B 中最小数为2时,有2~3=8种.∴共有49种,选 B.推广:设集合 I={a_1,a_2,a_3,…,a_n},选择I的两个非空子集 A 和 B,使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法有多少种(a_1相似文献   

关于四边形面积的一组命题

设四边形ABCD的面积为S,将AB边n等分,分点为E_1,E_2,…,E_(n-1)又将CD边n等分,分点为F_1,F_2,…,F_(n-1),将AD、BC边n等分,分点分别为G_1、G_2、…、G_(n-1),H_1、H_2、…、H_(n-1)。     

椭圆离心角的一个性质及其应用

椭圆中的参数ψ叫做椭圆的离心角。它具有如下重要命题。 命题 P是椭圆(a>b>0)上的一点,c为椭圆的半焦距,F_1、F_2是两个焦点,若∠F_1PF_2=2θ,则|sinψ|=(b/c)tgθ。     

杨辉恒等式的推广与三类组合恒等式

杨辉恒等式即现行高中数学教材中所述组合数的第二个基本性质:C_(n-1)~(i-1) C_(n-1)~i=C_n~i(1≤i≤n-1)(1) 我们可以结合等差数列将其推广为定理设a_0,a_1,…,a_n是一个等差数列,则当0≤i≤n时,恒有 a_iC_n~i=a_nC_(n-1)~(i-1) a_0C_(n-1)~i(2) 证明:当i=0或n时,按规定有C_(n-1)~n=0,C_(n-1)~(-1)=0,此时,(2)式显然成立。当1≤i≤n-1时,设等差数列a_0,a_1,…,a_n的公差为d,则a_i=a_0 id (0≤i≤n),于是     

俄罗斯第二十一届中学数学奥林匹克第三阶段试题及解答

八年级 第一天 1.a_na_(n-1)…a_0=a_n10~n a_(n-1)10~(n-1) … a_0表示十进制数(即a_n,…,a_0是十进制数码),问:是否存在数(?)和(?),使(?)=(?)? 解 不存在.因为 2.班级中考试及格的学生人数既不少于95.9％,也不多于96.5％,问:班级中至少     

关于真分数分拆的一个一般性结论

正确性很易验证.定理2 当 n>3,且3n-1为素数时,如(n+1)/(3n-1)~2表不成二单位分数之和,则①式为第一类好表法(含单位分数个数最少的表法),且不存在最大分母小于3(3n-1)~2的三单位分数表示法.     

卢卡斯数列与斐波那契数列的一个关系

定义1:满足条件: F_0=0,f_1=1,(n≥1)的数列{F_n}称为斐波那契数列。定义2:满足条件: L_0=2,L_1=1,(n≥1)的数列{Ln}称为卢卡斯数列。 定理:设{Fn}为斐波那契数列,{Ln}为卢卡斯数列,则对任意的自然数m、n,有: 特别当n=1时,有: 证明:对m,n∈N,对m进行归纳 (i) 当m=1时,有     

2007年全国高考数学试题品评与展望

十二、以"极限"为背景例12 (重庆)设正数a、b满足(?)(x~2 ax-b)=4,则(?)(a~(n 1) ab~(n-1))/(a~(n-1) 2b~n)=( ).A.0 B.1/4 C.1/2 D.1解析:由(?)(x~2 ax-b)=4,得4 2a-b=4,即b=2a.∴(?)(a~(n 1) ab~(n-1))/(a~(n-1) 2b~n)=(?)(a~(n 1) 2~(n-1)a~n)/(a~(n-1) 2~(n 1)a~n)=(?)(1/(2~(n 1)) 1/4·1/a)/(1/(2~(n 1)·1/a~2) 1/a)=1/4.点评本题新颖之处在于将函数极限和数列极限相结合,打破了以往此类问题单一考查的命题模式.