对一道数学竞赛解几试题的探究与拓展

<正>一、真题呈现题目 (2019年全国高中数学联赛江西省预赛题)设椭圆C的两焦点为F_1、F_2,两准线为l_1、l_2,过椭圆上的一点P,作平行于F_1F_2的直线,分别交l_1、l_2于M_1、M_2,直线M_1F_1与M_2F_2交于点Q,证明:P、F_1、Q、F_2四点共圆.试题以椭圆为背景,考查了椭圆的相关性质,简洁优美,内涵丰富,完美地将几何、代数、三角融为一体,很好地考查了学生的数学抽象,逻辑推理,数学运算等核心素养.     

例谈高考解析几何题中参数的考查与运用

<正>一、用直线的斜率作参数例1(2013年浙江卷)如图1,点P(0,-1)是椭圆C_1:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的一个顶点,C_1的长轴是圆C_2:x~2+y~2=4的直径.l_1,l_2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l_1交圆C_2于A,B两点,l_2交椭圆C_1于另一点D.(1)求椭圆C_1的方程;(2)求△ABD面积取最大值时直线l_1的方程.     

关联椭圆、双曲线的两个有趣性质

本文给出关联椭圆、双曲线的两个有趣性质.定理1给定椭圆E_1：x~2/a~2＋y~2/b~2=1（a〉0,b〉0）,双曲线E_2：x~2/a~2-y~2/b~2=1,l_1,l_2是E_2的两条渐近线,过E_2上异于两顶点的任意一点M引E_1的两条切线,切点分别为P,Q,直线PQ分别交l_1,l_2于R,S,     

再探椭圆“切准点”对焦点的若干性质

文[1]定义了椭圆的切准点:椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)上点M(x_0,y_0)(除长轴两顶点)处的切线l交右准线l_2:x=(a~2)/c于P,交左准线l_1:x=-(a~2)/c于Q,则点P,Q为椭圆的切准点.笔者     

巧证两道IMO试题

定理 圆心不共线的三圆两两相交,则三条公共弦共点。 为方便起见,我们给出统一的解析证明, 设⊙O_i(i=1,2,3)的方程为:x~2 y~2 D_ix E_iy F_i=0. 将它们两两相减得公共弦方程: l_1:(D_-D_2)x (E_1-E_2)y F_1-F_2=0, l_2:(D_2-D_3)x (E_2-E_3)y F_2-F_3=0, l_3:(D_3-D_1)x (E_3-E_1)y F_3-F_1=0. 由于圆心不共线,故设l_1与l_2的交点P的坐标为(x_0,y_0),易验证:P∈l_3,即l_1,l_2,l_3,交于点P. 本文巧用定理证明两道IMO试题. 例1 (1MO36-1)设A,B,C,D是一条直线上依次排列的四个不同点,分别以AC,BD为直径的圆相交于X,Y,直线XY交BC于Z,若P为直线XY上异于Z的一点,直线CP与以AC为直径的圆相交于C及M,直线BP与以BD为直径的圆相交于B及N,试证AM,DN,XY三线共点.     

椭圆中一道习题的应用

在解析几何习题集里有这样一个题目: 设F_1、F_2是已知椭圆的两个焦点,PQ是已知椭圆上的两个点,P点处的切线与Q点处的切线交于点M,求证:(1)∠PF_1M=∠QG_1M;(2)∠F_1MP=∠F_2MQ。证明如图1,延长F_1Q至F_1′,使|QF_1′|=|QF_2|延长F_2P至F_2′,使|PF_2′|=|PF_1|。由椭圆的光学性质可以推知,(以下从略。)     

一个例题的勘误意见

六年制重点高中数学课本《解析几何》(平面)p84例2,是一个尺规法画椭圆问题,较原统编教材、是新增内容。用以加深对椭圆定义的理解,无疑很有益处。但画法有不严密之处,为说明问题,现照抄一段如下: (1)作线段F_1F_2,使|F_1F_2|=2c,设F_1F_2的中点为O,在F_1F_2和F_1F_1的延长线上,分别取点A,A′,使OA=OA′=a,(图2-14) (2)在线段A′A上任取一点M_1,分别以点F_1,F_2为圆心,A′M_1、AM_1为半径画弧,交于点P_1、P_2。改变M_1的位置,例如M_2,M_3,…,同样可得P_2、P′_2、P_3、P′_3… (3)略。“在线段A′A上任取一点M_1不妥。若M_1取在A′F_1(或F_2A)上任何地方都不行。因A′M_1(或AM_1)的长,正是椭圆的焦点半径,设为r。当以O     

一道高考作图题的剖析

2010年上海秋季高考数学试卷的最后一题如下：已知椭圆Γ的方程为（x~2）/（a~2）＋（y~2）/（b~2）=1（a〉b〉0）,点P的坐标为（-a,b）.（1）若直角坐标平面上的点M、A（0,-b）、B（a,0）满足（？）=（？）,求点M的坐标;（2）设直线l_1：y=k_1x＋p交椭圆Γ于C、D两点,交直线l_2：y=k_2x于点E.若k_1·k_2=-（b~2）/（a~2）,证明：E为CD的中点;（3）对于椭圆Γ上的点Q（acosθ,bsinθ）（0〈θ〈丌）,如果椭圆Γ上存在不同的两点P_1、P_2使得（？）,写出求作点P_1、P_2的步骤,并求出使P_1、P_2存在的θ的取值范围.     

形异质同的几道高考题——谈有心圆锥曲线的一个性质

2011年全国高考四川文科数学卷第21(2):如图1,过点C(0,1)的椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为e=√3/2.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(-a,0),过点C的直线l交椭圆于另一个点D,并于x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q. (1)略; (2)当点P异于点B时,求证:OP· OQ为定值. 2011年全国高考四川理科数学卷第21(2):如图2,椭圆有两个顶点A(1,0)、B(-1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点,并于x轴交于点P,直线AD与直线BC交于点Q.     

对《撑一支长篙,向更青处漫溯》一文中两个引申的纠正

正笔者拜读文[1]后发现,文中引申1与引申3的结论有误,现给出以下更正结论与作者商榷.文[1]引申1已知椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(ab0)的左、右焦点分别为F_1(-c,0),F_2(c,0).A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF_1与直线BF_2平行,AF_2与BF_1交于点P,则点P的轨迹是以F_1、F_2为焦点的椭圆.事实上,引申1是由2012年江苏高考数学第19题直接推广所得,由于A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,所以满     

一道焦半径拓展题的探究

<正>一、问题的提出如图1,在椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)中,F_1、F_2分别是左、右焦点,点P是椭圆上任一点,对于焦点△PF_1F_2中的两条焦半径PF_1,PF_2,现有的研究已比较深入,我考虑延长PF_1交椭圆于点Q,延长PF_2交椭圆于点M,把两条焦半径的问题拓展为四条焦半径PF_1,PF_2,QF_1,MF_2的问题.由于点P是动点,所以     

探求与椭圆共轭直径有关的一组对偶元素——对“一道竞赛题的推广”的再思考

<正>本文就椭圆中是否存在一般性"对偶元素"和证明"椭圆幂定理"作一探究.为行文方便,现给出一般性"对偶元素"的定义如下:在椭圆中,点O1是椭圆直径Q1Q2所确定直线上任意一点(除原点外),若直线l与直径Q1Q2的共轭直径P1P2平行,点O1与直线l在椭圆中心的同侧,记点O1到椭圆中心的距离为d1,记直线l与直线Q1Q2的交点T到椭圆中心的距离为d2,且d1与d2的乘积为直径Q1Q2一半长的平方,则称点O1与     

平行线分线段成比例定理的面积证法

平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图1,已知直线l_1∥l_2∥l_3,直线l_4交l_1、l_2、l_3分别于点A、B、C,直线l_5交l_1、l_2、l_3分别于点D、E、F.     

圆锥曲线中的一个四点共圆性质

正文[1]给出了直线与圆锥曲线位置关系的一个统一性质,笔者进一步探究,由文[1]中的性质推导得到了圆锥曲线中的一个四点共圆性质.文[1]中性质1已知椭圆Mx~2+Ny~2=1(M0,N0,M≠N)与直线l_1交于A、B两点,与直线l_2交于C、D两点,且A、B、C、D四点横坐标均不相同,若l_1与l_2的斜率互为相反数,则直线AC与直     

对一道椭圆试题的探究与拓展

1 题目呈现 已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为1/2 ,F1,F2 为椭圆C的左、右焦点,过F1且斜率不为零的直线l1交椭圆于P,Q两点,△F2PQ的周长为8. (1)求椭圆C 的方程; (2)设A 为椭圆的右顶点,直线AP ,AQ 分别交直线l2:x=-4于M ,N 两点,试判断以MN ...     

思路决定出路——对一道中考题解法的反思

<正>一、原题重现如图1,已知直线l_1∥l_2,线段AB在直线l_1上,BC垂直于l_1交l_2于点C,且AB=BC,P是线段BC上异于两端点的一点,过点P的直线分别交l_2、l_1于点D、E(点A、E位于点B的两侧),满足BP=BE,连结AP、CE.(1)求证:△ABP≌△CBE.(2)连结AD、BD,BD与AP相交于点F.     

圆锥曲线中“韦达结构与准韦达结构”问题探析

引题已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)左焦点F1(-1,0),点P为椭圆上不同于长轴两顶点A1,A2的一点,直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之积为-3/4,连结PF₁并延长交椭圆于点Q.     

由一道试题挖掘有心二次曲线的几何性质

<正>一、试题呈现如图1,已知椭圆■过点■,且右焦点为F(1,0),右顶点为A.BC是过点F的弦,直线BA,CA分别交直线l:x=m(m> 2)于P,Q两点.(1)求椭圆的方程;(2)若FP⊥FQ,求m的值.     

圆锥曲线的一个统一性质

笔者在利用“几何画板”数学软件探讨圆锥曲线切线性质时,发现如下结论：已知过点E(m,0)的直线交抛物线y~2=2px (p＞0)(或椭圆(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1(a＞b＞0,m≠0)或双曲线(x~2)-(y~2)/(b~2)=1(a＞0,b＞O,m≠0))于A、B两点,过点A、B且与抛物线(或椭圆或双曲线)相切的两直线为l_1、l_2,l_1与l_2的交点轨迹记为C,在C上任取一点M,则AM、EM、BM的斜率成等差数列．     

解析几何中过定点问题的“另类”解法

<正>1.问题的提出已知点A是椭圆C:x²/8+y2/8+y²/r=1的上顶点,过点A且斜率为k_1,k_2(k_1≠k_2)的两条直线分别与椭圆另交于点P、Q。若k_1k_2=2,证明:直线PQ过定点。2.常用方法回顾该题一般的解法有以下两种:解法1:先通过对称性或利用一些特殊的直线先找到定点;再利用点斜式设出直线AP、BP的方程,分别和椭圆方程联立解出点P、Q的坐标;最后通过证明三点共线来证