打破常规简捷求解

函数f(x)在x = x0 处取得极限的点称之为“极限点”,函数 f(x) 在点 x = x0 处连续的点称之为“连续点”,函数f(x)在x = x0处有导数的点称之为“可导点”,可导函数y = f(x)使f′(x0) = 0 的点 x0 叫做函数f(x)的“驻点”,函数f(x)在x = x0 处取得极值(极大值或极小值) 的点称之为“极值点”,函数f(x)在x = x0 处取得最值(最大值或最小值)的点称之为“最值点”.函数中这五类点很容易混淆,理清它们之间的关系对函数的“极限”和“导数”学习很有帮助.一、函数的“极限点”与“连续点”的关系当自变量x无限地趋近常数x0(但 x不等于x0)时,若…     

高三数学"导数"章教学问答

(续上期 )2 1　为什么要用割线的极限位置来定义切线 ,而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线” ?答 :过去我们定义圆的切线就是“与圆只有一个公共点的直线” ,这个定义显然符合圆、椭圆等一类曲线。那么 ,能否对任何曲线C都用“与C只有一个公共点”来定义C的切线呢 ?不能。比方说 ,抛物线y2 =x与x轴、y轴都只有一个公共点 ,但只有 y轴是它的切线 ,x轴显然不是它的切线。因此 ,与曲线只有一个公共点的直线不一定是切线。2 2　为什么说函数 y=|x|在点x =0处连续 ,但在点x =0处无导数 ?答 :这个结论的数学证明需要用到左极限与右极限…     

分段函数在分界点处的极限、连续性与可导性的例子

在一元微积分的教学中,学习函数的极限与连续时,常遇到讨论当x→x_0时,分段函数f(x)在分界点x_0处的极限是否存在;在点x_0处分段函数是否连续;以及分段函数在点x_0处是否可导。学生对这一类利用定义进行讨论的题型感到无从下手,不知如何讨论,现就几个例题作详细的讨论。 一、分段函数f(x)在x→x_0时的极限 对于分段函数常用以下定理来讨论极限是否存在: 如果函数f(x)当x→x_0时的极限存在且等于A,当且仅     

剖析函数极限与导数中的疑点问题

问题1 函数f（x）在点x=x0处的极限与f（x）在点x=x0处有无定义有否关系？     

关于函数的左右极限的使用

一、在极限运算中的使用函数f(x)当x→x_o(或x→∞)时有极限A,是说x以任何方式趋于x_o(或∞)时,函数f(x)都趋于某一个常数A。即对于某些类型的函数,求其极限,必需使用左、右极限方法来解决。 1.对于分段函数,求其两段交界处的     

计算极限的方法

计算极限是《高等数学》中基本而又艰巨的任务,特别是计算未定式极限,不能直接运用极限四则运算法则,虽可用罗必塔法则,但有些未定式不可以用罗必塔法则,或用罗必塔法则较繁琐.对此,本文收集了其他一些计算极限的方法,以供大家参考.(一)利用代数恒等交换(1)、分解因式或通分.例1、求(?)(x~2-2x+1)/(x~2-1)解:(?)(x~2-2x+1)/(x~2-1)=(?)((x-1)~2)/(x-1)(x+1)=(?)(x-1)/(x+1)=0/2=0注意,函数(x~2-2x+1)/(x~2-1)在点x=1处没有定义,但除了这点区别,它与函数(x-1)/(x+1)没有什么不同.由于函数在某点的极限与函数在该点有无定义没有关系,因此这两个函数在点x=1有相同的极限.     

导数的另类应用

函数y=f（x）在x=x0处导数的几何意义就是曲线y=f（x）在点P（xo,f（xo））处切线的斜率．运用变化的观点,曲线在某点P（x0,f（x0））的切线就是曲线的割线PQ当Q无限趋近于P点的极限．由此我们发现,函数y=f（x）图像上任意两点P（x1,y1）,     

《经济数学基础》试题分析(1)

一、单项选择题 对此类型题只要能正确理解与熟练掌握有关的基本概念、定理、性质、重要极限公式与结论即可。 1.下列极限计算正确的有( ) 分析:首先我们来看公式的特点:分式的分子恰为分母式的正弦,且两者都在所考虑的过程中为无穷小,其比值的权限为1.然后再看公式的特点:它恰好是1与无穷小之和的该无穷小的倒置的幂,其极限值为e.故此题中计算正确的是B.2.下面结论正确的有( )A.X_0是f(x)的驻点一定是f(x)的极值点; B.x_0是f(x)极值,则点,则一定是f(x)的驻点; C.f(x)在x_0处可导,则一定在x_0处连续; D.f(x)在x_0处连续,则一定在x_0处可导。 此题要明确以下两点: (1)极值点与驻点的关系:函数的权值点不一定是驻点,函数的驻点也不一定是极值点,但可导函数的极值点必是驻点。     

判别极值点的一种方法

求一个函数 f(x)的极值,首先应该找出可疑点 x_0(驻点和不可导点),其次,要判断f′(x)在 x_0附近的符号。在 x_0左、右 f′(x)变号,则 x_0为极值点。若 f′(x)自 x_0左至右符号依次为“+、-”,则 x_0为极大值点;若依次为“-、+”,则 x_0为极小值点。那么,如何判断 x_0附近 f′(x)的符号是关键,为此,本文给出一种方法,供读者参考。     

关于利用函数连续性求极限方法的推广

众所周知,若函数f(x)在x=x0处连续,本文将这种求极限的方法推广到求函数数列的上极限、下极限,从而提供了计算函数数列的上极限、下极限的一种简便方法.     

函数的不连续点(高三)

本文介绍函数的不连续点的类型及判别方法.1.函数y=f(x)在点x=x0处连续的定义定义如果函数y=f(x)在点x=x0处及其附近有定义,而且limf(x)=f(x0),那么函     

关于导函数极限的研究

1导函数f′(x)在x=x0处的极限与函数y=f(x)在x=x0处的可导性定理1若函数f(x)在(a,b)内连续,在(a,b)中除点x0外处处可导,且li mx→x0f′(x)存在,那么函数y=f(x)在x=x0处可导,且f′(x0)=lxi→mx0f′(x).证明:任取异于x0的x∈(a,b),在[x0,x]或[x,x0]上应用lagrange中值定理,有f(xx     

高考导数试题考点解析

导数是高中教材的新增内容,它与函数极值、单调性、切线、不等式、应用性等问题的综合题是近几年高考新课程卷的热点内容.下面对其考点进行解析,希望能对同学们了解新课程卷考点变化和发展趋势,作好复习备考工作有所启示.考点1　导数定义、法则直接应用例1　(2003年新课程卷江苏高考题)已知a>0,n为正整数,设y=(x-a)n,证明y′=n(x-a)n-1.解析:如果函数y=f(x)在某点处的增量Δy与自变量Δx→0增量的比值,当Δx→0的极限存在,则称此极限为函数y=f(x)在某点处的导数.高考常借助函数在某点是否可导的判断、求导公式的证明等问题考查导数定义、法…     

巧用导数的几何意义解题

函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0））处的切线的斜率． 在现行的高中教材《数学》第三册（选修Ⅱ）中,用运动变化的观点将曲线G的割线的极限位置所在的直线定义为C在P（x0,f（x0））处的切线．     

分段函数分段点可导性的一个定理及应用

给出分段函数分段点导数存在的一个充要条件：函数在该点连续,导函数在该点左、右极限存在且相等。并由此得到在分段点导数不存在的一个充分条件以及三种特例分段函数分段点导数存在的充分条件。举例说明该定理的应用,并指出利用该定理求分段函数分段点导数时的几点注意：函数在该点连续是可导的必要条件,导函数在该点左、右极限存在且相等是充分条件。     

回归导数定义 追溯试题本源

正一、定义本质1.导数的定义:f′(x_0)=limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)/Δx.2.导数的几何意义:f′(x_0)表示曲线y=f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线的斜率.从图形直观我们易得:导数其实上是函数曲线上两点连线斜率的极端情形;曲线的切线可看作是过切点的割线的极限位置;具备凹、凸性的函数曲线必位于其相应切线的上、下方.二、构建模型     

“极限”的小结

一、基本概念 1.数列的极限,是当项数n无限增大时,数列的项a_n无限趋近于常数A,记作(?) a_n=A,即当n→∞时,a_n→A_o而函数的极限有两种情况:(?)f(x)=A,(?)(x)=A_o要注意x→∞包括x→ ∞和x→-∞,x→x_o包括x→x_o~ 和x→x_o(?) 2.函数f(x)在点x=x_o处连续必须具备以下三个条件,缺一不可:①f(x)在点x_o的某一邻域内有定义;②(?)(x)存在;③f(x)在点x_o处的极限等于f(x)在点x_o的函数值,     

拉格朗日(Lagrange)插值公式与高阶等差数列

我们要找一个函数,使它在a、b、c三点取数值a、β、γ。解决这个问题的途径是先作一个函数P(x),使它在点a处等于1,在点b、c处都等于0,再作一个函数g(x),使它在点b处值为1,在点c、a处值为0,最后作一个函数r(x),使它在点c处为1;在点a、b处为0,这样函数ap（x） βg(x) γr(x)就是我们要找的函数。     

探究分段函数的导数

本文主要叙述分段函数的求导方法，并对分段函数在分界点处的求导作了细致的讨论。并讨论说明了导函数的右(左)极限与右(左)导数之间的关系。     

《高等数学(1)》自测模拟试题

一、填空题1.函数f(x)=11n(x+2)+4-x2的定义域是。2.函数f(x)=1nx+11-x的定义域是。3.若函数f(x)=5exx<03x+ax≥0在点x=0处连续,则a=。4.设f(x)=exx≥0xk+1x<0在x=0处可导,则k=。5.已知f(x)在x=0处可导,则limx→0f(2x)-f(0)x=。6.若y=xx,则dydx。7.若连续函数f(x)在区间a,b内恒有f′(x)<0,则此函数在a,b上的最大值是。8.设f(x)=x2-3x+2,则f(f′(x))=。9.极限limx→0∫x0costdtx=。10.limx→0∫x0sintdtx2=。11.∫exf′exdx=。12.已知函数f(x)的一个原函数是arctan2x,则f(x)=。13.根据定积分的几何意义,∫3-39-x2dx=。14.广义积分∫+∞adxxpa…