一道平面几何题的推广

《数学通报》2003(4)数学问题1426题目为:AN为△ABC的角平分线,AN延长线交△ABC的外接圆于,DM是AN上一点,直线BM、CM分别交△ABC的外接圆于E、F,DF交AB于P,DE交AC于Q,求证:P、Q、M三点共线. 笔者在用几何画板作图时,发现当N点在线段BC上运动时,P、Q、M三点均共线,当M在线段AD上运动时,结论依然成立,因此笔者对该问题作如下推广: 定理 △ABC中,点N是BC边上一点(除端点B、C外),AN的延长线交△ABC的外接圆于D,M是线段AD上一点,直线BM、CM分别交△ABC的外接圆于E、F,直线DF交直线AB于P,直线DE交直线AC于Q,则P…     

每期一题

题在△ABC中,AB相似文献   

一道国际竞赛题的别证

对第26届国际数学奥林匹克试题的第五题,给出一个比较简捷的证明. 题目△ABC中,一个以O为圆心的圆经过顶点A及C,又和线段AB及线段BC分别交于K及N,K与N不同.且△ABC和△BKN的外接圆恰相交于B和另一点M.求证:∠BMO=90°     

一道数学竞赛题的简证

题目（2008年全国高中数学联赛江西省预赛题）AD是直角三角形ABC斜边BC上的高（AB〈AC）,I1、I2分别是△ABD、△ACD的内心,△AI1,I2的外接圆⊙O分别交AB、AC于E、F,直线FE与CB的延长线交于点M．求证：I1,I2分别是△ODM的内心和旁心．     

对一道IMO试题的探究

题目在△ABC中,∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q．设K、L分别是BC、AC的中点．证明：△RPK和△RQL的面积相等。     

一道奥林匹克赛题的推广

例:四边形ABCD内接于圆,AB与DC延长线交于P点,AD、BC延长线交于Q点,由点Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别为E,F.求证:P、E、F三点共线.(1997年全国数学奥林匹克竞赛题) 我们经过探索,发现此例可以推广到圆锥曲线.     

一道IMO试题的推广

2007年第48届IMO第4题是: 在△ABC中,∠ABC的平分张与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q.     

2007年CMO第4题的别证

题目设O和I分别是△ABC的外心和内心，△ABC的内切圆与边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，直线FD与CA相交于点P，直线DE与AB相交于点Q，点M，N分别是线段PE，QF的中点．求证：OI⊥MN．[第一段]     

第54届IMO预选题（三）

几何部分 1．本届IMO第4题． 2．已知△ABC的外接圆Г,边AB、AC的中点分别为M、N,圆Г不含点A的弧BC的中点为T,△AMT、△ANT的外接圆与边AC、AB的中垂线分别交于点X、Y,且X、Y在△ABC的内部,若直线MN与XY交于点K,证明：KA=KT．     

第51届IMO预选题（三）

几合部分 1．设锐角△ABC边BC、CA、AB上的高的垂足分别为D、E、F,直线EF与△ABC的外接圆的一个交点为P,直线BP与DF交于点Q．证明：AP=AQ．     

一道数学总赛的简证

题目 (2008年全国高中数学联赛江西省预赛)AD是直角三角形ABC斜BC上高(AB相似文献   

一道竞赛题的推广

第二十九届国际奥林匹克数学竞赛中有这样一道题:(3)当A>900时,2R万石. VS一T 在直角三角形ABC中,AD是斜边上的高,连接△ABD与△ACD的内心的真线,分别与边AB及Ac交于L、K两点,△ABC与△通KL的面积分别记为S、T,求证:S)ZT。 我国选手何宏宇同学给出了一个精彩的证明,简述如下。 证设△ADC户△ADB的内心分别为M、N, ,.’△ADBco△CDA,DN、DM是过D点的两条分角线(即两条对应线段), (ZR为△ABC外接圆直径) 证(1)的结论在原题证明中已经得出。 (2)如图,作A尸土AB交BC的延长线于P,交DN的延长线于Q,则匕DA尸的平分线与D…     

一道平面几何奥赛题的简证

题目如图1,在△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D、E、F分别是BC、CA、AB上的点,且AE=AF,△AEF的外接圆交线段AD于点P.若点P满足PD~2=PE·PF,证明:     

一道好题

<正> 题不在多而在精,一道好的数学题,往往能起到举一反三、触类旁通的作用. 题目过△ABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E,求证AE:ED=2AF:FB.(人教版初中《几何》第二册P255第17题)     

一道IMO平面几何题溯源

正原赛题如图1,△ABC为锐角三角形,AB≠AC.以BC为直径的圆分别交边AB和AC于点N和M.记BC的中点为O,∠BAC和∠MON的角平分线交于R.求证:△BNR的外接圆和△CMR的外接圆有一个公共点在BC边上.证明:如图1,连结MN、BM、CN,则∠BMC=∠CNB=90°.记BM与CN的交点为H(△ABC的垂心),即知A、M、H、N四点共圆(记为⊙O_3).设∠BAC的角平分线交BC于点W,则AW经过     

一道赛题引出的一个三点共线性质

题（第37届IMO中国选拔赛试题）：以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D、E．过D、E分别作BC的垂线,垂足分别为F和G,线段DG与EF交于点M,则AM⊥BC．     

一道几何题的引伸及应用

初中几何课本第二册第66页题9是:过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F及E,求证:AE:ED=2AF∶FB。不难将此题简单地引伸为:过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD所在直线分别交于点F及E,则AE∶ED=2AF∶FB,如图。     

两道国外竞赛题的几何证法

笔者在阅读文[1]、[2]时,看到有两道赛题的三角证法非常漂亮.本文介绍这两题的另一种证法——几何证法. 题1如图1,设AD是△ABC的高线,以BC为直径与点A同侧的半圆分别交AB、AC、AD于点F、E、X,△DEX的外接圆与BC交于点L(与点D不重合),△DFX韵外接圆与BC交于点N(与点D不重合).     

每期一题

题△ABC中,一个以O为圆心的圆经过顶点A及C,又和线段AB及线段BC分别交于点K及N,K与N不同。△ABC和△BNK的外接圆恰相交于B和另一点M。求证;∠BMO=90°。(第26届国际数学奥林匹克试题第七题。本刊1986年第3期载有吴雪庐同志用位似变换证明这题的两种方法,又《科学画报》1986年第1期上载有两种方法。这里再介绍与上述方法不同的八种方法,以供参考。编者) 证法一如图1,延长BM至H,连接     

2014年联赛加试平面几何题的证法探究

2014年全国高中数学联赛加试第二题为如图1，在锐角△ABC中，∠BAC≠60°，过点B、C分别作△ABC外接圆的切线BD、CE，且满足BD=CE=BC。直线DE与AB、AC的延长线分别交于点F、G。设CF与BD交于点M，BG与CE交于点N，证明：AM=AN。