线段和差问题三例(初二、初三)

例1如图1,已知八C// BD,Dl、丑B分别平分乙CAB、乙刀刀A,CD过点E. 求证仍刀二AC十刀D. 证明在乃刀上截取AFcA,连结EF,‘「 在△以E和△以它中, 以=八F,’ 乙O气E二乙E片FjE所以乙八汇D 匕丑MC二900, 乙滩丑刀二乙万外夕C,GE~6欲叮.又匕八CB一450,乙八CP一90。,所以乙刀C尸一450.在△叼FC和△尸FC中, 乙月MC二匕尸,一月E,乙八CB一匕尸CBJ℃~石℃,△MFC望△尸FC小留二FP.所以△CAE望△F八E,乙C~艺AFE.因为以//BD,‘一「所以匕C十之D一180“, 乙EF刀~180已一匕莎E二匕D.在△EF刀和△EDB中, 乙EF刀二匕D,所以…     

每期一题

卜题:在四边形ABcD中,己知刀B二1, BC=1+训丁,AD=、/万,乙刃BC=120。, 匕刀AB=75”,求CD。 解一:连结月C.由余弦定理: AC二了月BZ十BCZ乙巨刀介动小c石几功厂二了6十3召二- 由正弦定理:艺D月厂二45“,刃E二2只Beos30“=训丁, 在△A刀E中,由余弦定理:刀E=亿丁。 故△大厂D是等腰汽角一二角形。 .’.艺C厂D二尸C/’i-.一j考价一’sin乙C左B“l了Csin12O“ 月C告、/丁 1 80。又丫C厂一30“一90。=60“。二刀E,…△CD刀是正三角一‘1+侧了)。二了丁。 召6十3侧丁=士亿丁。形,故CD 解四:二A刀.’.乙C月B二45。,匕刀才C二30。…     

数学趣题

题:如图所示,八个边长相等的正方形相接,求证:a,+aZ+a。+a‘二45。。证明:如图,连接AB、AC-一又2训一B月B刀 艺月BC=匕AB刀 △BCA二△BAD 乙B月C=匕BDA二a,①同理有:△已理刀二△CF月②③④ 匕C刀D二二CFA二a3 △D月E。△D‘A 乙DA}-:二匕刀弓刃二a; 又匕E且月二乙且EB=aZ①+②+③+④得 a,一a,+(:_.+a。=匕BAH二45。数学趣题@徐国权$黑龙江柴河林业局第三中学 @陈荣$浙江省新昌工商行政管理局~~     

第31届IMO试题解答

1.解法一如图所示,作D至且,B,M的连线段.显然有 乙CEF=乙DE‘“乙EMD,匕E CF二乙MAD。 于是, △C刀F。△AMD.诊;宣二卫兰二=1一卜￡止J生创圣.5二、DM“吕户F沉、9 FE。51。:。、:刀刃五fD叮丑CEMD oM召尸E·C止=1 F石乃刀召五D石二1 BE·五f五A石BE·刀石_AM AES八八E二S么。Ec=1一S△G见A尽△“互‘:S△D:工:S△。:nE从而,C刃·MD二刀汀·刀厂.另一方面,又有乙石CG“乙M刀D,于二,谁普贪乞.MD·MEG刀·C刀是,匕CG五‘匕C五F一匕五CG =乙E河D一兰叮BD二乙BD汀故△CGE。△B DM.从而,G刀.MB=CE·叮D.于…     

看图填空20例

1.在凸四边形ABCD中,AB二BC二=C刀二BD,则匕月DC一一__一____。一~__一__一_一。一__,___~~_.0 2.△刀BC的BC二二6召丁,AC二2了万,AB二4了丁,则高A刀 乙。已知矩形AS汀万与矩形岌RPQ的周长都等于100 cm,则Bc一____D A压次 对P A匕五 D一_一一_______O 4。匕C刃B:匕ABC:匕BCA二=5:4:3,AD A ‘__价\ j杯_)\‘左应任玉 白C户都是高,BE是角平分线,若万B=2则AD+BE十CF= 5.血ABC中,EF是中位线,M汀了BC且通过重心G.则刀F:几丁厅二__ 13,由△刀左C的内乙2、乙3。若乙A:乙B:匕C=1:2:3,则乙1:乙2:乙3= 俨曰,声险︺. C厂曰…     

一道例题的推广及其应用

题目如图1,Rt△ABC中,匕八CB一’八刀一八B;(2)C〔)2=AD一BD;(3)政〕,刀D .AB. 证’:艺八CB~90。,〔刃土月刀, :’ Rt△ACD的Rt△(泪D的Rt△八刀C.900,CD土AB.求证:(1)月CZ=D一DB一C 一一.八C AD〔刃‘’丽一入乙’入万五〔刀DAB BCAD图1 :.八CZ一AD·八刀,CDZ~乃D·BD,孩二2~BD·八刀. 此题实际上是人教版《初中几何》第二册第226页例2的推广,旧教材把这个结论称为“射影定理”.近几年的中考题中,经常出现以本题结论为背景的题目,现举例如下. 例1如图2,BC是半圆O的直径,延长CB到尸,作尸A切半圆于A,AD上BC于D,…     

巧添辅助圆 妙证几何题(初三)

1.求角 例1如图1, 乙B的平分线交AC 匕A的度数. 所以作以A为圆心 C、D三点都在OA上, ,AB为半径的圆,使B、 在△ABC中,AB一AC, 于D汪〔二BD 八D,求 尹沪口一’、 所以乙DAC一2乙f址3C, 乙(姚B一2乙BDC, 解作△A刀D 交BC于E,连结DE. 的外接。了多气_ B~~一t一C 从而k- 匕且AC 艺(共B 2匕D扫C 2艺BDC 因为刀刀是艺八刀C的平分线,图1 所以J场一厉, 得AD一DE, 且艺EDC一/ABC一匕C, 所以石石一DE二AD, 乙DEB~2艺C. 由仪二一BD AD一BE 旦二,得 刀E一BD. 所以匕DEB一匕BDE一2艺C 在△BDE中 乙DBC 乙BDC’ I川…     

数学问题与解答

201.已知△通刀叮,万为△朋夕内的一点,△通丑灯、△刀已汀、△叮过刀、△ABo的外接圆均△ABO、△刀刀e的外接圆相等,. 刀Osin乙BA口相等,求证:刀为么通刀C的垂心. 证.如图1,先证之1是锐角.用反证法,假定乙1》9。。,则艺刀通口为钝角,乙丑双口也是钝角.’: BC二碗石之万丑口-,乙刀姓口=乙刀刀刃.此与乙BAJ<艺刀且刃矛盾.故乙1是锐角. 同理乙2、乙3、乙4、匕5、乙S均为锐角. 丫△“哎3J与△刃C汀的外接阿相等,刃少了是公共弦,乙1、乙4又均为锐角,…乙1二艺雄. 同理可证乙2二乙5,乙3=乙6.…乙l一卜乙2+艺3二乙钱十乙。+乙6. ’.’匕l十…     

每期一题

题:已知D是△ABC边AC上的一点,AD:刀C=2:1,乙C=45。,乙A刀B=600,求证:AB是△BC刀外接圆的切线。(1987年全国初中数学联赛第二试的第二题) 思路一,应用切线判定定理:经过外径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 证法一如图一,连OB、OC、OD,O刀交BC于E。 乙D CB== 450:.艺D OB二9护。 又乙D刀C =乙A刀B一乙f, CB =15。,…乙刀OC二30.:.乙DCA‘=90。从而刀E是O劝的直径。,.’匕B刀E二乙B CE=45.卜 二匕刀C刀二艺BED,…BD=刀万① 又艺EDA产二匕B刀A产一乙B刀E =150=乙D BC==乙D EA尹, A尸D=A户E,匆 由①、②…     

每期一题

题:锐角△ABC的外接圆过B、C的切线相交于N,M是BC的中点,求证:艺B摊M二乙CAN。(第26届IMO候选试题中一题的第(i)间) 为方便,设AN交△且BC外接圆于r).匕BAM二日,匕CAM二a。 当锐角△月BC的AB二AC时,八AB刃丝△且CN,从而知AM与AN重合,显然a二。p。以下均假定AB.寺AC。 证法一连结 匕CAM=乙DAB,:.a二日。 证法三作BF土AC于F,连结MF、对N,如图。则 NM_1_BC, /万C五f二厂理.’. Rt△ABF 。〕Rt△CNM 刁B_AF 万凡一乙兀了又B对=C刀 =MF,乙MFC二匕A CB,I曲﹀N\\、N︷NAB 一一BD、CD,如’到。 由托勒米定’里…     

1986年全国高中联赛第二试第二题必要性的几种证法

题:己知锐角三角形姓方口的外接圆半径是R,点D,E,F分别在边刀C,C月,AB上. 求证:AD,刀皿,口尸是△了飞刀c的三条高的充要条件是乙尸AB,乙A召刀.又B,c,刀,F四点共圆:.艺ACB,匕通F刀.乙尸AB,艺AF刃.:.p口//F刀,OA土FE.s二旦一(刃F、FD一{一。: 匕:.名四边形。E人r 1。二二:.~;犷嘴、声 匕生·刃F式中刀是△」BC的而积 证明:设刀四边形。创m_鱼一艺O刀。FDS四边形。DcE 1二~百()子少. 心D刃//"△AB口的外接圆的圆心为。,三个内角为J‘1、B、C,B口““,口_1二b,_注刀“c. 丫沙、一1刀C是锐角三角形, .’.点O在△」B口内.从…     

一道几何题的推广

〔题目如图,在锐角△.八刀Cll‘,ADk-:BC边上的高,尸为△ABC的垂心,B尸、CP的延长线分别交月C和A刀于刀、F。求证A刀平分乙EDF。证明丫O尸为△刁BC的垂心, .’.刀、刀、.尸、F四点共圆,则匕1,匕3, 同理刀、P、斤、C四点共网,则匕2=乙4, 又B、C、方、FI,中从)卜回,则乙3二乙4, :.乙1=2,即AD平分匕刃月夕。这道常见题可作如下的推广:当尸点是A刀上一道几何题的推广@程金保$安徽南陵东河中学~~     

平面几何中角的计算问题

一、选择题 1.如图1,在Rt△八2支二中,〔1〕是斜边AB上的高(E是匕ACB的平分线.若△CE〔)的△了牡义),则艺21王等于(). A .300 B.22.50 C.20o D.1800 6.如图6,在各边都相等的凸五边形八2义刀E中艺八扫C=2/D召E,那么艺A仪)的度数是(). A .720 B.680月 C .640 D.600 二、填空题 7.如图7,在凸六边形A及工吏万中,CL)//A石,,艺〔石五=艺召AF,八正弓土2支二,乙C=124“,匕E=80“,则艺F=B愈“ ~DED图6EB 一产、\一O八︸ 一\\/一图F尸\\\一|D|月 图1图2 2.如图2,在△川义二中,艺B=匕C,D是刀C边上一点,艺B八刀=50’.在AC边上取一点…     

一个定理的推导及其应用

一、L砂贬再主」已大,乙月刀七Ll刁。bl卫一点D,若乙BAD二a,乙CAD=刀,lli_匕几BD刀C ﹄,个卜︺叮忿巴︸七、口 工e︺.‘‘目L斗rl岁龟、沙、一内周 \沙井卜M厅?C心叮。一\l一劝创习 月CSinabsin刀(图1)灵证明:鲤AD攀华煞5111刀四DCsinC51二刀幼卫夕~夕月.妊旦~DC月D DC旦担黑SlnP创旦里5 in方CSinabsin刀A入刃B一2.又CM=MB罗丫块故在△ACN和△BMN中,乙CHN二乙B 月C田顶歹石=巡NB.2乃B(图!)(图之) 显然,这定理也可用面积的比获证、下面给出几个推论. 立 成 一cl乙 一一D﹂CB]D,存时〔推论一1:当a=刀时,〔推论二〕:当a …     

平角应用4例(初一)

乙4 C;O卜r" 月乃二一D3\f/厂4 B石 1.延长线段构造平角 例1如图1消丑// CD. 求证:艺CEA=/A 乙C. 证明延长CE交AB于点 F.因为八刀// CD, 所以乙C=乙CFA. 乃刀交AC于F. 因为DE// AC, 所以乙1=乙C,乙2= 因为DF// AB, 所以匕4~乙A, 所以艺2=艺A. 因为乙A 乙CFA 乙八EF~1800, 又‘乙CEA 乙八EF=1800, 所以乙CEA=乙A 乙C. 2.过某点作直线构造平角 例2如图2,已知△月刀C, 求证:匕A 乙B 乙C=1800. 证明过点A作DE// BC,则 匕1=/B,乙3=乙C. 又乙1 乙2 乙3=180。, 所以乙BAC 乙B 乙C=1800. 3.过直线上一点作射线构造平角 …     

一道初中数学联赛题的几种证法

l,,2年全国t]J‘{,数学联赛题: 如i冬}l,在乙娥一‘},,月矛‘二,丫一,z)点,刃是线段月刀士一点.且‘产认方二 求证:RI)一2口). 证法一:在刀召卜取一点F,使阶’=八召.连结办’,则有/扛、、。一匕、4刃一}一匕月B*,/,是底边理上一2艺厂盯)~匕沌 月刃一El.’二6F, 占乙。II,=万/研,, 泞八、,店一25叨, 兰业竺一兰卫:竺 泞八解I一s八从「雀’S八,。‘十.勺广、‘、I泞八,。‘斗一泞八、。S八‘、,,S广肋‘召八Kc廿、泞八解。_、广人加, 万乙‘。乙J一厂刀4刃一小一匕了、月六. 乙刀肋二‘击万J 了4刀}’二乙‘月八 △‘妨F里△‘方1刃. …     

数学问题与解答 1993年第一期问题解答

llx皿.J 一 一 一匕1993年第1期问题解答一一~一一一一一~一一一一一一一一一一—. ‘ .尸‘J.工j.人一一一一291.设a、b、c为△A方C三边,求证:BG AE CN石〕’丑C’刃刀a eosA beos方 ,、1CC(js好飞- 艺(a 乙一卜口刀刃2抒刘口M力l’万U’刃B 证:由正弦定理, 。。。sA 乙co5B=2五(sinAeosA six飞1了。、osB) 二R(51一、ZA十、ix、21了) 二2丑5 in(A 方)c此(性一B) =2儿、in吮05(A一刀) 《c.同理可得bco:B一卜eco、口簇a,eoo:C十acosA簇乙. 三式相加即可得又因尸B=尹C,故将上面四式相乘得CN八男C」夕匆B由此推出 293.刀刀二C…     

两道例题的巧解

西南师大出版社出版的九义六·三制初中几何(高层次)第三册中有两道例题可作如下巧解. 一复习课六中例4(91页) 如图1,△ABC中,艺、1一45“,D是AB上一点,且AB一ZAD.又匕CDB=600 求证:公ABC的△CBD 证明:过点B作B尤土CD于E,连结八E 则乙EBD一3犷,‘.,DB~ZED,又AB~3AD,…AD一DE,…匕EAD一乙EBD~3护,.’.艺C月刃一匕AC无~15a,:.AE~EB~EC,:.乙DCB~45。 ~艺A,故△A刀C的△CBD 此法同样从特殊角入手,充分利用特殊三角形(等腰、直角)的性质及判定,避免了教材中繁杂的计算,使学生接受更显自然、明快.。过A DB 图l一图2 …     

中考探索性问题一例

题目如图1,八BCD为正方形,石、F分别在BC、CD上,且△八EF为正三角形,四边形八,B,C‘D‘为△八五F的内接正方形,△八‘五,F,为正方形八’召,C’D‘的内接正三角形.(1)试猜想粤坦卿与 、夕止万协几1义门万八一;;万宁一日勺。乙t右F大小关系,并证明你的结论; ,S不卞报刃尸尸,l),_,,八_、、,、_,,.仁艺少水,成巍扁而一明值·、‘”洲千盯冲”’明市中考题) 解(1)猜想S正方形八尸口DS正方形dBcDS△刃刀尸S乙月开容易证明Rt亡八BE呈里Rt△八DF,:。匕B八E一艺D八尸.在正三角形八EF中,乙E八F一6。“,图1·,.二B二E一告(9护一60。)…     

一个假命题

现行初三儿何课本67页的17题是:已知△ABCAD是高,且A刀2=B_D .CD。求证:乙BAC习== 90“。DC=b。 (2)以BC为直径作圆,并过D八(作此 人民教育出版社出版的初中二册几何《教学参考书》给出了如上的图形和证明:;,月 / 、J分 、_涌述 、一一‘石““’“””·C”‘韶·互一召AD土BC今乙ADC=乙BDA=900 今△ADC”△BDA今乙1=乙B 乙B刀A=90“今乙B十乙2=90。}圆的切线刀E,切点为E。 (3)过D点作射线DF上B刀,并在BF上截取DA=DE。 (,1)连结江B、AC,得△ABC。法可知AD一LBC,在此三角形弓,,通过作}今乙1+乙2=90。,即乙BAC== …