一类最值问题的两种通用解法

<正>不等式中有两个不仅常见而且非常重要的不等式:均值不等式和柯西不等式.它们的具体公式如下:均值不等式已知a,b∈R+,a+b≥     

一道高考题的多种解法

2010年高考数学江苏卷理科第14题为:将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=     

一道2014年上海高考题的探究

<正>2014年上海高考理科第13题:某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分.若E(ξ)=4.2,则小白得5分的概率至少为.1解法探究解设小白得i分的概率为pi(i=1,2,3,4,5),因为E(ξ)=4.2,所以p1+2p2+3p3+4p4+5p5=4.2,又p1+p2+p3+p4+p5=1,代人得p2+2p3+3p4+4p5=     

一道加拿大《Curx》问题4624的探究

1问题呈现设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.2问题的证明与推广证明:由已知条件结合均值不等式可得√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b=√ab/3+a+√bc/3+b+√ca/3+c≤√ab/4⁴√ a+√bc/4⁴√ b+√ca/4⁴√c=⁸√a³b⁴/2+⁸√b³c⁴/2+⁸√c³a⁴/2≤1+3a+4b/16+1+3b+4c/16+1+3c+4a/16=3+7 (a+b+c)/16=3+7×3/16=3/2,当且仅当a=b=c=1时取等号,则√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.     

从一道竞赛题的解法谈起

一、题目展示（2012年高中数学联赛第5题）在△ABC中,AB·AC=7,|AB-AC|=6,求S_△ABC的最大值.点评:本题以向量形式呈现,融向量与三角于一体,考查的是三角形的面积最值.本题看起来很平常,实际上却丰富多彩,有很大的教学价值和研究空间.二、解法分析常规解法:如图1,由|ABAC|=6,得a=6,由AB·AC=7得     

柯西不等式的应用透视

柯西不等式:(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)(当且仅当b1/a1=b2/a2=b3/a3=…=bn/an时,等号成立)是一个重要的不等式,其结构和谐、形式优美、应用广泛,是高考考查的热点.本文举例说明柯西不等式在求值、求最值、证明不等式及求参数的范围等方面的应用.     

一道2013年波罗的海奥赛题的推广

（2013年波罗的海奥林匹克数学竟赛）已知x,y,z,是正数,求证（x³/y²+z²）+)（y³/z²+x²）+（z³/x²+y²）≥（x+y+z/2）。本文给出它的推广:已知n个正数:a₁,a₂,a₃…a_n,求证:(a₁ⁿ/a₂^n-1)+(a₂ⁿ/a₃^n-1+a₄^n-1+…a_n^n-1+a₁^n-1)+…+(a_n-1ⁿ/a_n^n-1)+(a₁^n-1+a₂^n-1)…+(a_nⁿ/a₁^n-1+a₂^n-1…a_n-1^n-1)≥（a₁+a₂+…+a_n/n-1）.     

一道不等式问题的解法探讨

问题已知a,b∈R~+,x,y∈R,且a+b=1,求证:ax~2+by~2≥(ax+by)~2.解法1作差比较简单明了ax~2+by~2-(ax+by)~2=ax~2+by~2-a~2x~2-b~2y~2-2abxy=a(1-a)x~2-2abxy+b(1-b)y~2=ab(x~2-2xy+y~2)=ab(x-y)~2≥0.解法2代换在前作差在后因为a+b=1,令T=(a+b)(ax~2+by~2)-(ax+by)~2=abx~2+aby~2-2abxy=ab(x-y)~2≥0.评析"作差法"是证明不等式的一种最基本的方法,巧用作差法是我们解决不等式证明问题的一种行之有效的途径,如果应用得恰当,能切中要害,问题     

一道不等式题的思考

华罗庚曾经说过:“善于退,足够地退,退到最原始而又不失去重要性的地方,是学好数学的一个重要的诀窍.”上面尝试一和尝试二未能顺利求解,于是将条件中的椭圆退化成圆,简化了思维,体现了数学之简、数学之美.对题目的解法探究、拓展、引申是一名高中数学教师必须拥有的专业素养,充分探索题目的根源,通过推广达到举一反三的目的,在面对学生时能高屋建领.教师平时的解题备课中,也应该不断发现问题、提出问题、探究问题,提升自己的数学核心素养.     

均值不等式求最值的常见误区探究

利用均值不等式求最值是最值法中常用而且非常重要的一种方法,但在解题时易入误区.下面就常见的几个误区加以剖析,希望对同学们有帮助。     

一道经典最值问题的解法探索

在高考复习课中,笔者选用了一道解析几何中的典型最值问题为例题,发动学生探求其解法.学生发言十分踊跃,提出了多种解法,有些解法我都没想到.尽管花费了一节课的时间,但学生和教师都收获颇丰.现把各种解法     

一道高考题的七种解法

多元函数的最值问题,在初、高中数学竞赛中占有十分重要的地位,近年来此类问题在高考中也逐渐出现,其涉及的知识面广,解法灵活多样,同学们要予以重视．本文以2011年高考浙江卷第16题为例,介绍求多元函数最值的常用方法：判别式法、配方法、消元法、构造法、不等式法、代换法等．     

一道不等式易错题的多解

<正>不等式是高中阶段的重要知识点之一,不等式的最值问题的解法为高中生思维方式的拓展提供一条训练捷径.本文介绍一道易错题的多条解题路径,供同学们参考.题目设a,b,x,y∈R,且满足a2+b2=p2,x2+y2=q2(p>0,q>0,p≠q),求ax+by的最大值.常见错误因为a2+b2=p2,x2+y2=q2(p>0,q>0),所以     

一道高考题的解法探讨及背景揭示

2014年全国高考辽宁卷理科第16题为:对于c>0,当非零实数a、b满足4a~2-2ab+4b~2-c=0,且使|2a+b|最大时,3/a-4/b+5/c的最小值为____.笔者对该题的解题方法及高等数学背景作了粗浅的研究,现概述如下,与同行交流.一、试题的多种思路与解法这是一道含多元变量的最值问题,具有一定的难度,解题关键是如何根据条件得出|2a+b|最大时a、b、c之间的相互关系.思路1:视c为常数,设法消元,转化为关     

一道高考题的一般情形解析

<正>一、试题与解答题目(2013年湖南高考题)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条"L路径".如图1所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的"L路径".某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.     

构造不等式求最值——从一道变式题的错误解法谈起

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