2013年湖南高考数学试题理科10题

题目 已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+ 4b2+ 9c2的最小值为____. 解法1 由柯西不等式得(a2 +4b2+ 9c2)(12+12+ 12)≥(a+2b+3c)2, 所以3(a2+ 4b2+ 9c2)≥36, 所以a2+ 4b2+ 9c2≥12,当a/1=2b/1=3c/1且a+2b+3c=6,即a=2,b=l,c=2/3时取得最小值.     

一道数学竞赛题的五种解法

<正> 题目已知a、b、c、d、e是满足a+b+c+d+e=8和a2+b2+c2+d2+e2=16的实数,试确定e的最大值. 这是美国第七届中学生数学奥式匹克竞赛的一道试题.下面,我给出这道题的五种解法,供各位同行和同学们参考. 解法1 用平均值换元法设a、b、c、d的平均数是k,又设     

一个不等式问题的多视角探究

题目:已知a＞0,b＞0,c＞0且a+b+c=6,求S=3√a2+b2+3√b2+2ca+ 3√c2+2ab的最大值. 这是2011年希腊奥林匹克数学竞赛的一道不等式试题.它是一个涉及到无理因式的多变量条件最值问题,此赛题结构形式简洁优美,题型常规中有特色,解法探寻耐人寻味,颇有研究价值.于此笔者从不同的视角入手给出这一问题的一些解法并得出原赛题的两个推广,供读者在学习和探究时参考.     

一道高考选择题的多种解法

题目(2006年重庆理科卷第10题):若a,b,c且a(a b c) bc=4-23,则2a b c的最小值为()(A)3-1.(B)3 1.(C)23 2.(D)23-2.这是一道最值问题,主要考查基本不等式的应用和代数式的变形.对复杂式子的辨别能力要求较高,学生难以下手,让现在高三的学生练习也如此,现经过探讨和共同研究得到多种解法,供大家参考.解法1:a(a b c) bc=4-23,即(a b)(a c)=(3-1)2,因为a,b,c>0,所以(a b)>0(a c)>0,故2a b c=(a b) (a c)≥2(a b)(a c)=2(3-1),当且仅当a b=a c时,即b=c时等号成立.所以2a b c的最小值为23-2,选(D).解法2:若a,b,c>0且a(a b c) bc=4-23,则a2 ab ac…     

一道奥赛题的另证及上确界

题目(第三届北方数学奥林匹克邀请赛)设△ABC的三边长分别为a、b、c,且a+b+c=3,求f(a,b,c)=a~2+b~2+c~2+4/3abc的最小值.文[2]给出三种均值不等式解法,经研究,笔者再给出一种恒等变形解法,顺便得到f(a,b,c)的上确界.     

做错题以后……

欢欢看着作业本上的红“”,心里不是滋味,于是她拿了作业本来到了乐乐老师的办公室,寻求帮助,以便解开心中的疑团.让我们先看一下,欢欢解的题及她的解法吧!题目已知△ABC中,三边分别为a、b、c,m是大于1的正整数.若a=m2+1,b=2m,c=m2-1,你能判断这个三角形的形状吗?为什么?解这个三角形不是直角三角形.理由∵a2+b2=(m2+1)2+(2m)2=m4+6m2+1,c2=(m2-1)2=m4-2m2+1,∴a2+b2≠c2.∴这个三角形不是直角三角形.欢欢:我不知道这题错在什么地方.书上说“如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形”,现在这个题目不满足a2+b2…     

应用生活常识解赛题

题目:已知a、b、c均为正整数,且28a+30b+31c=365.则2002(2b-a-c)~(1/2)=? 解析:这道竞赛题给出了一个关于a、b、c为未知数的三元一次方程,因此要确定a、b、c的解是很难的.为此,需要转化思维去寻找新的解法,仔细观     

一个最值问题的三个简解

本文给出文[1]问题的简解.题目设实数a,b,c,d∈[-2,2],且a+b+c+d=0,求z=a^3+b^3+c^3+d^3的最大值.解法1:z=(a+b)((a+b)^2-3ab)+(c+d)((c+d)^2-3cd)=(a+b)^3+(c+d)^3-3((a+b)ab+(c+d)cd)=-3((a+b)ab-(a+b)cd)=-3(a+b)(ab-cd)=-3(a+b)(ab+c(a+b+c))=-3(a+b)(b+c)(c+a).不妨设a+b=min{a+b,b+c,c+a}.     

一道高考试题的九种解法

题目 对于c〉0,当非零实数a,b满足4a^2-2ab＋4b^2-c=0且使｜2a＋b｜最大时,3/a-4/b＋5/c的最小值为____. 解法1 均值不等式法 因为 4a^2-2ab＋4b^2-c=（2a＋b）^2-6ab＋3b^2-c=0,     

2013年湖南卷理科第10题的多解及推广

1.问题试题(2013年湖南卷理科第10题)设a,b,c∈R,且满足a+2b+3c=6,则a^2+4b^2+9c^2的最小值为______.2.问题解决视角1柯西不等式法解法1:由柯西不等式得(a+2b+3c)^2=(1×a+1×2b+1×3c)^2≤(1^2+1^2+1^2)(a^2+4b^2+9c^2)=3(a^2+4b^2+9c^2),即a^2+4b^2+9c^2≥12,当且仅当a=2,b=1,c=2/3时等号成立.     

不胜惊奇

题目已知a,b,c是正数且a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥1/3.思路1根据观察我们知道,要证不等式是一个对称不等式,取等号的条件应为a=b=c=1/3.这是探求对称不等式证法的常用思路.     

与勾股定理相关的常见错误剖析

勾股定理及其逆定理是平面几何中的重要定理,其应用非常广泛.我们在应用这两个定理解题时,常常会出现错解,现将错误归纳剖析如下,以引起我们的重视.一、忽视题目中的隐含条件例1在Rt△ABC中,a、b、c分别为三条边,∠B=90°,如果a=3cm,b=4cm,求边c的长.误解:∵△ABC是直角三角形,∴a2+b2=c2,即32+42=c2,解得c=5(cm).剖析:上面的解法,忽视了题目中∠B=90°,b是斜边的隐含条件.正解:∵∠B=90°,∴a2+c2=b2,c=b2-a2!=42-32!=!7(cm).二、忽视定理成立的条件例2在边长都是整数的△ABC中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的长.误解:由“勾3股…     

一道题的解法赏评

题目二次函数 y=ax~2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线,抛物线的顶点是(-1,2),且抛物线还过点(-3,0),那么不等式 ax~2+bx+c>0的解是_____.思路1 由抛物线的顶点(-b/2a,4ac-b~2/4a)等条件,列出关于 a、b、c 的方程组,求出 a、b、c 的值,再解不等式.解法1(公式法)根据抛物线的顶点坐标公式,     

错在哪里

题目已知实数a,b,c满足a+b+c=1,a 2+b 2+c 2=3,则c的取值范围是.解答∵a+b+c=1,∴a+b=1-c,又∵a 2+b 2+c 2=3,∴a 2+b 2=3-c 2.根据均值不等式a+b 2≤a 2+b 22得1-c 2≤3-c 22,且该均值不等式成立的条件:a、b∈R,等号成立条件:a=0,b≥0或a≥0,b=0或a=b>0.解不等式1-c 2≤3-c 22得:1-c≤0,3-c 2≥0,或1-c>0,3-c 2≥0,()2≤3-c 22,∴1≤c≤3或-1≤c<1,综上可得:-1≤c≤3.     

一道中考求值题的几种解法

题目已知a+Zb十3c一20,a+3b+sc一31,则a+b+c的值为.(1998年陕西省中考题) 本题已知两个三元等式,求含这三元的多项式的值,这类题在近年竞赛题中也经常出现.为了开拓同学们的解题思路,总结这类题的解题规律,现介绍几种方法,供大家参考. 解法1设a十b十c一k,从而解以下方程组 !a十Zb十3c=20,① 找a+3b+sc=31,② Ja十b十c一k.移 ②一①,得b+2c一 1 1.④ ①一③,得b+2c一20一k.⑤ ①一⑤,得一9十k一o,…k一9,即a十b十‘一9. 解法2把已知等式中的a、b看做未知数,‘看做常数,用c分别来表示a,b,解由它们组成的方程组,得 a一c一2,b一11一Zc. :。以+…     

一道美国数奥题的六种解法

本文所研究的是一道美国第七届数学奥林匹克试题 ,它新颖、别致 ,是一道涉及五个变量的条件最值问题 .笔者研究后发现 ,它的解法相当多 ,不下于 1 6种 .现将其中 6种鲜为人知的新解法一一写出来 ,与大家交流 .问题 :已知a、b、c、d、e∈R ,a+b +c+d+e =8,a2 +b2 +c2 +d2 +e2 =1 6,试求e的最大值 (美国第七届数学奥林匹克试题 ) .解法 1 :(基本不等式法 )由基本不等式 2xy≤x2 +y2 (x、y∈R)得 (x+y) 2 ≤ 2 (x2 +y2 )　 ( 1 )令x =a+b ,y=c+d ,于是 ,由式( 1 )得[(a+b) +(c+d) ]2 ≤ 2 [(a+b) 2 +(c+d) 2 ]　 ( 2 )=2 (a2 +b2 +c2 +d2 +2ab…     

2021年浙江卷第17题的解法探究

<正>一、试题呈现已知平面向量a,b,c(c≠0)满足|a|=1,|b|=2,a·b=0,(a-b)·c=0,记平面向量d在a,b方向上的投影分别为x,y,d-a在c方向上的投影为z,则x²+y2+y²+z2+z²的最小值是___.二、解法探究解法1几何法     

与条件A+C=2B及a+c=2b有关的三角题

一般地,我们用a、b、c表示ABC中相应于角A、B、C的三条边,条件A C=2B与a c=2b是三角函数题中经常出现的条件,条件看似简单与普遍,然而只要稍稍加上其他条件,则一些三角问题从题目本身到解法都会显得令人赏心悦目.此类问题在高考中也常有出现.本文试举数例,与同学们一起欣赏这类     

对一道作业题的探究

在学习三角函数的内容中,笔者布置了一道数学作业题,题目如下:在△ABC中,对应三边长分别为a,b,c,D是边BC上一点,AD⊥BC,垂足为D,且AD=BC=a,求b/c+c/b的最大值.学生作业交上来,方法很多,展示如下:解法一:由于AD=a≥BD,AD≥CD,∴0相似文献   

一道初赛题的解法探索

题目(2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题)已知a、b、c是整数,且a-2b=4,ab+c2-1=0,求a+b+c的值·该题文字简明扼要,题目的载体是学生十分熟悉的二元一次和三元二次方程·因此,解题的入口宽,给各个层次的考生创造了广阔的探究和解题平台,是一道考查学生探索能力、创新能力的好题·现从已知条件和所求结论出发,对具体的解法作一些探索,供读者参考·要求a+b+c的值,只要求出a、b、c的值即可·而已知的仅是关于a、b、c的两个方程,通常用两个方程求出三个未知数的值是不可能的·因此,必须挖掘题目的隐含条件,采用一些特殊的方法来求解·因为a…