导数的三个基本关系

一、三大关系 1．函数的导数与单调性的关系。 函数y=f（x）在某个区间内可导，则： （1）若f＇（x）〉0，则f（x）在这个区间内单调递增；     

振荡积分的数值计算与Matlab实现

本文提出利用样条函数计算 f（x）sintxdx及 f（x）costxdx类型的振荡积分,在每个比较小的子区间采用分部积分法,避免了整体利用分部积分需要计算函数在区间端点处的高阶导数．能提高计算的精确度．     

初等函数不等式的一种解法

我们把f（x）＜0（或）称为函数不等式。本文中出现的函数f（X）都是指初等函数。初等函数不等式的解法很多．下面我们介绍一种新的解法——零点法。由于初等函数的连续性．我们很容易得到：命题1函数f（x）在其定义域内的某区间（a．b）上,对任意x都有f（x）一0．那么,在区间（a．b）上二对任意x都有f（X）＜0或f（X）＞人函数f（X）在其定义域内有fi个零点．设为：XI．XZ,……Xu。把定义战用这些零点划分成X个连续的小区间．记为：UI．U…··Un。称为定义域的一个分划。那么,命题1就是说,在每个小区间上,对任意的X都有f（）…     

上凸函数的连续性、有界性和可积性

本文根据上凸函数的定义,证明了若f（x）是区间I内的上凸函数,则f（x）在区间I内连续,从而进一步得出结论：若f（x）是区间I内的上凸函数,则对任意的[a,b]奂I,f（x）在区间[a,b]上有界、可积.并说明了上凸函数的连续性、有界性和可积性.     

函数组合型不等式的导数证法

欲证给定区间内不等式f（x）≥g（x）恒成立,常规方法有3种;①通过作差构造函数h（x）=f（x）-g（x）,然后利用导数求出h（x）在给定区间上的最小值;     

单调函数的连续性问题

一元函数f（x）在区间（a,b）内是单调的,函数f（x）在区间（a,b）内未必连续,但是f（x）在区间（a,b）内的不连续点皆为第一类不连续点。为了证明这个结论,首先引入一个引理。 为了确定计,我们以单调增加为例。 引理 若函数f（x）在（a,b）内有定义,且单调增加,则对任意x_0 e（a,b）,极限f（x_0-0）与f（x_0+0）皆存在,且f（x_0-0）≤f（x_0）≤f（x_0+0）     

求极限的七种策略

1．直接代值法 若函数f（x）在某个开区间内连续,x0是这个区间内的一个值,则limf x→x0（x）=f（x0）．     

用分区间验证法解不等式

<正>根据连续函数的性质,在函数f(x)的连续区间内,f(x)=0的点必将区间分成若干小区间,在每个小区间内,f(x)都有固定的符号,那么只需在每个区间内选点验证,就能得出相应不等式的解集.一、有理不等式的解法解有理不等式通常采用数轴标根法.具体步骤如下:1将不等式右边化为零,左边分解为若干个未知数系数为正数的一次因式或二次式的乘积(其中二次式必须无实根);2将各因式的根分别标在数轴上,将数轴分成若干区间,有重根,应     

一类面积最小值问题的解法

针对一类面积最小值问题，利用方程f（x）-f（b）＋（x-a）f（x）=0的解以及函数在[a，b]区间内的上凸函数的概念，给出了这类问题的求解方法。     

一道数学高考错题的深度分析

以下是2005年福建省高考试卷理科12题： 题目：f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内的解的个数的最小值是（ ）．[第一段]     

一个十分有用的结论——函数的导数与函数图象凹凸性的关系

一、结论关于函数导数的正负与函数的单调性的关系,有如下结论：设函数y=f（x）在某区间内可导,如果f’（x）〉0,则f（x）为增函数;如果f’（x）〈0,则f（x）为减函数;如果恒有f’（x）=0,则f（x）为常值函数．     

关于新教材中一个习题答案的商榷

人教社出版的《全日制普通高中教科书》试验修订本，数学第一册（上），对原高中数学教材中内容进行了调整，增加了阅读内容，也引进了一些新的表示方法，但有一习题的答案令笔者不解，该书６４页习题２．３第２题，在教师用书给出的答案中，出现了概念性和知识性的问题。原题和答案如下：在教材中，增函数的定义：设f（x）的定义域为I，如果对于属于定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x１，x２，当x１＜x２时，都有f（x１）＜f（x２），那么就说f（x）在这个区间上是增函数．减函数定义：设函数f（x）的定义域为I，如果对于属于定义…     

培养解题能力——探索函数的单调性

一、利用零点法判定函数的单调性 在函数f（x）的定义域内（或指定区间上）任取x1〈x2,作差f（x1）-f（x2）并因式分解变形,记其中关于x1,x2且不能确定符号的式子为g（x1,x2）,然后令g（x1,x2）=0,且x1=x2=x0,从中解出x0,x0是函数f（x）的单调区间的端点,然后就可以利用单调性的定义确定函数的单调区间及单调性,下面举例说明。     

对2008年浙江省数学高考理科试题第21题的评析

题目 已知a是实数，函数f（x）=√x（x—a）． （1）求函数f（x）的单调区间． （2）设g（a）为f（x）在区间[0，2]上的最小值 ①写出g（a）的表达式； ②求n的取值范围，使得-6≤g（0）≤-2．     

函数单调区间及凹凸区间的简捷确定的方法──根轴法

高等数学中函数的单调区间及曲线凹凸区间确定是数学中的难点之一。观介绍一种较为简捷易懂、易掌握的方法，供学习参考。一、理论基础设函数R且，显然方程f（x）=0有n个根，即f（x）与x轴有n个交点，这n个交点将x轴分成（n 1）个区间。又因为在上连续，故f（x）的图象在这n＋1     

江苏卷第19（2）题

题目 已知a,b是实数,函数f（x）=x^3＋ax,g（x）=x^2＋bx,f＇（x）和g’（x）是f（x）和g（x）的导函数,若f＇（x）g’（x）≥0在区间I上恒成立,则称f（z）和g（x）在区间I上单调性一致．     

再论奇偶性、对称性、周期性三者的关系

2005年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）选择题第12题（理）：f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0．则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（A）2 （B）3 （C）4 （D）5     

构造函数利用单调性解题

由函数单调性的定义容易知道：（1）若函数f（x）在区间I上单调递增，且x1，x2∈I，则，（x1）〈f（x2）←→x1〈x2；     

利用导数解题应注意的几个问题

一、利用导数求函数的单调区间应注意单调区间的写法 例1 求函数f（x）=x^4-2x^2＋3的单调区间. 解f′（x）=4x^3-4x=4x（x＋1）（x-1）． 由f′（x）〉0,可得x〉1或-1〈x〈0; 由f′（x）〈0,可得x〈-1或0〈x〈1． ∴f（x）的增区间为[-1,0],[1,＋∞）;减区间为（-∞,-1],[0,1]．     

一道高考题解法引发的思考

题目（2005年,辽宁,理科第22题）函数y=f（x）在区间（O,＋∞）内可导,导函数f＇（x）是减函数,且f＇（x）〉O．设x0∈（0,＋∞）,y=kx＋m是曲线y=f（z）在点（x0,f（x0））处的切线的方程,并设函数g（x）=kz＋m。