一个不等式推广问题的再研讨

文〔1」将一个不等式推广为:定理1设ai>0(i=1,2,…,n),n弟“,m任N’,且“二谷ai,则有 .一刀名,._.竺,肠亡I,址气_- 、,__~_、’~,,‘一J‘J“‘石一二弓,‘J“i云留l口一“i林一11吕l本文中“〕”的等号成立均当且仅当al二‘”二a。·以下略,(1)=口2 记“‘“二愈a‘:,文〔“〕又给出了不等式(l)的一个指数推广: 定理2设al,aZ,…,a。(n办2),尸皆为正实数,则对任意非负实数q,有S(。)占a产宁q宁q)ZJ二万.下一~-甲罗仑一月一~一万‘=进万‘F,一alJ,一n一l 文〔3〕将不等式(l)推广为: 定理3设ai>o(i=1,2,…2,m、keN书,且m·>k,L ‘54, (2)…     

反三角函数的统一表达式

设x,a为实数,〔妇表示不超过a的最大整数.则有 a r e 5 in(5 1 nx)=‘一‘,〔,(一〔令合〕·),a r eeos(eo sx)=‘一‘,〔a(x一印一羞一)‘r。七;(t、二,二一〔万‘合〕·‘x“‘ 号,‘任z,,ar。c。‘(c t gx)=x一〔器〕‘(x今k爪证令一k任Z)。k,‘粤(无任z) 乙则i一2李、k落: 石兀取‘=〔聋·扫X一汀.1、\十丁J兀少X一兀尹Ik 一 X声‘、 n .‘1 S则凳 韵为偶),产.、/饭、nX5 InX十合)为奇)X一才尹..叹户了、s一/!lj、;一(一1)〔盖 告〕5 1 nX-:a re sin(sinx)=(一l)〔七.全〕a r C 51·{(一i)〔乞 5 in(一〔器 扫二)}:一〔穿 合〕今.…     

《普通高级中学实验教科书(信息技术整合本)·数学》第一册(下)统一测试题

本试卷共100分。考试时间100分。,考公式三角函数的积化和差公式:8。·a一。=合〔S‘·(a+。)+·‘·‘a一。,,一。·‘·压令〔·‘·(a+。卜S‘·‘a一。,〕。。sa一,合〔一‘a+。,+一‘a一。,“·‘n as‘·份一合〔一‘a+“,一‘。一。,“ 第I卷(选择题共40分) 一、选择肠:本大肠共10,】、题,每小趣4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母坡在题后的括号内。 _~.‘Ik,1.匕知A二{x lx二下 t}‘+万k Ez},B二,x阮二45k+oo,k“Z,,贝lJA二B已知x￡ B .A〕B 有n\一可’u),”,nx二C .A C B…     

每期一题

题:设z〔R,:/(l+22)〔R。则12卜1。 证法一:利用复数的代数式。设之二a+b云(今今0,a,乙〔R),有z八1+‘2) 、_a+a乙“+as+吞(1一aZ一西2)玄 一_一「而卜--一 丫!1+:名I’>o,由已知得:b(l一a,一bZ)=O,又b斗O, .’.砂十b,二1,故}川=侧妥‘不丢三二1, ·证法二;利用复数的三角式。 设之二犷(coso+isino)·(了)o,‘ino钾0), 有:八1+:’)=下(。050+1 sino).=2,z:=1,故}:卜1。 汀法五:利用二共扼复数的积为一实数 48(1+,·“广。”20一下’sinZ。)小+“’[,由分子的虚部了(x一:“)sino=o,故,=1。 证法三:利用一个实数的共辘复数仍是这个数。 由…     

数学问题与解答 1988年第6期问题解答

171.如图,凸四边形AB口D的乙BAD=60.,匕通丑口二匕通刀口=90。,它的面积为召,以AB、刀口为边长的两个正三角形AB刀、C刀尸的面积为凡、风,求证3粼月瓦砚瓦.=3,矛盾里故二,、气、二。两负一正. 不妨设刀,>o,气<。,二.<0,则‘:=1 (一苗,) (一二。)》3岁不又汀乌万二3岁二=3去,劣:》。· 、、l 、、工 、、、、产‘、、、口二、性、、.泞=2(夕:一从)证:设AB二a,口刀=西,则 习.二亚,.。。_交I乙,. 4’口4延长刀C、通刀,并设它们的交点为a.题设可知乙注刀口二匕通刀C二90。,乙刀C口二乙BAa=60。,即△ABa与△〔功G都是有一个锐角为60。的…     

第二试解答

第一题〔证法一1由题设条件可知 a‘一。卜1=a‘ ,一。‘(‘=!,2,3,…).这说明a0,。1,匀,…是等差数列,设公差d=Ql一口0,则。‘=a。 id(云=0,1,2,…).于是P(二)=aoC且(1一二), (a。 d)C盖x(1一二)卜1 (a。 Zd)C盖二2(l一二)卜2 … (a。 ”d)C:劣” ,ao〔C三(1一二), C二x(1一二)卜, … C:,“〕 d二〔C几(1一二)卜1 ZC盖二(一二)卜2 … nC:x”]. 根据二项式定理及关系式kc之=。亡之认得 P(二)=a。[(一x) 二1” 。d二[(1一二) 劣〕”“ ”Q0 ”d“. 故当d尹o时,尸(二)是劣的一次多项式. 注:当d=。时,即。。,a:,。,,…是常数列,尸(…     

浙江省1989年高中证书会考数学试题(B)

第一卷 1.设全集I二考非负整数卜,N={自然数},则N二 (A){o少(B”.(C)0.(D)于负整数}. 2.函数g=姓cos(。x+沪)(其中A,“,沪为常数,且月护。:。>。戏R)的周期T”10.巳知sin(兀+a)二 3~J-卜二.IUll 5‘(人)。osa一音·(。)seoa一号.‘B,,‘n(“一a)二鲁.‘D,,ga一备.(A)去.(B)答.(C)粤·‘D)等.s二已知a(R+,则arga+arg(一a)二(A)。.‘B)晋‘(C,二。‘D),二.‘.经过点““,一2),斜率为合的直线方程是(A)。+2一音二一,.(B)u一2一音二+,.(c)。+2一奋〔二一1).(D),一2一合(二+1).:,,函数。一Zarc。:n奋(城一:)的值域是(A)卜李司·(B)〔…     

数学(文史类)

第I卷(选择题共6。分)S台侧一合(一+·),其中“、‘分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母参考公式: 三角函数的积化和差公式 ·‘na·o·,一合仁。‘n(·十夕)+·‘n(a一月)〕 co一‘n,一合〔s‘n(a+,)一in(a一,)〕 。o一08,一告仁co·(a+,)+。o·(a一,)〕 ·‘na·‘n夕一告「。o·(a+夕卜一〔a一,)〕 正棱台、圆台的侧面积公式线长球的体积公式 4~,F挂~~二厂炭式 j 其中R表示球的半径一、选择翻:本大题共12小题,每小题5分,共‘0分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线y~Zx关于x轴对称的直线方程为(A),一令二 …     

一个不等式的推广

_~‘___.2匕知a、O、‘夕U,则下〔万二~十 口,~‘ 2c+Q.三卜a+b气击、.这是一个常见的不等式·本文将证明它的推广形式‘’‘· 引理设a‘>o(s二1,2,…,n),二(N,S二ai+a:+…+a.,则有不等式(”一1)s用》(s一a1)m十O一aZ).+…+(s一a。)二 证:对。用数学归纳法.当。=1时,左边二(ft一1)s,右边=(s一a,)+(卜aZ)+…十(卜a.)二(移一1):.命题成立.假设二=权>1)时命题戍立,即(。一1)s‘)(s一a,)‘+(:一a:)‘+…+(S‘u。)“.那么(。一1)s为+i=[(:一a:)而+…+(s一a.)‘]·,‘》(s一a,)寿+,+(S一a:)人+‘+…+(卜a,)k+1.故命题对任意自然数。都成立. …     

关于形如arcsin(sinx)的求值

、关于aresin(sinx)的求位2.当:〔〔一要, 乙晋〕时,a‘c,‘n(,‘nx)=X。证明:’.‘sinx〔〔一1,1〕 。rcs;n(s;。劣)。〔一号,二、2,月.sin〔aresin(sin二)〕二sinx又:〔〔一要, ‘二2而正弦函数在〔一要 石创上是增函执.’.ar“s恤(51”‘)·‘·证毕 ,.推论:当“〔一备,蛋,时,如,有了一“,二〔一二,吞〕,l!.厂”‘忍寻公、丈价有51;、x~:in。,),!{laresin(sinx)~a。 仁”,:求a rcs‘n〔,‘n(一梦,〕的值. 川‘:原式-一‘·〔S‘n(一二一誓)〕 一。rcs;n〔一in(二+誓,, 一ar。5 in(s‘n誓, .丝 7 二、类似地,当x在其它反三角丙数的值域中…     

不等式a~2+b~2≥2ab的又一推广

(理若a,b任六’,。、k任N,且正<刀,则a”十b”乡a丙b“一‘+a”一‘b“当且仅当a=b时等式成立. 例1.若p、q任R气p3十q“=2求证P+q气2. 证:由定理, (,+叮)3二刀“+口3+3(尹’,+尹叮’) 百尹3+夕3+3(,3+夕3)=8, .’.p+q毛2. 枉·{2 .a,b,c任R十, 则a“+乙“+。“升3ab。. 泣:事实上,a3+b3+。一(a‘+b3+b“+c吕十c,+a吕)1,(a’乙‘一“/)“卜今哭。卜b(+e Za十。a“)=音一〔。‘“2+·”+“·’十·”干·(。:+“·,〕、3。“二(竹者单位:江苏建湖一县芦沟中学)不等式a~2+b~2≥2ab的又一推广@肖秉林$江苏建湖县芦沟中学 @沈文兆$江苏建湖县…     

数学问题与解答

又设AD=劣,B刀二夕,DC=a一夕,则1984年第3期问题解答n。,,,~二,1,口,L,,=J’l,=丈‘L,+刀l’,百L劣+,一。,+音‘二+a一,一“) 41.已知函数f(幻=a公十b,且加,十6醉=3,证明:对于任意:任〔一1,1],!f(:)}镇粼百. 1,。=甲二~(之汤+a一O一C) 艺、证明:~:·6b2一3,...(得)’·(、。)z=‘·代入前式得三竺互互=三(勘+a一b一c),化简为丫哥一i·一滤· 犷,rl二—Lp一劣) 肠①,(p表示△ABC的半周)召万乙=eo,夕,in夕,b=COS夕 另一方面,2(S。,,。+S。,。,)=犷:(c+工+夕)+犷2(b+劣+a一今)=,,(a+乙+e+器)=价i〔p+劣)…②,2S“eo=Zp犷…于是,(·。=…     

数学问题与解答 1989年第1期问题

176.△ABC中,a b e=,(定值),匕A=0(定值),试求△ABC面积的最大值. (四川周余孝供题) 177.若三角形三边成等比数列,求证:以这三角形三条高为边的三角形相似于原三角形.(湖南高成香、陈万龙供题) 178.设A B C二二,二笋>O,求证:‘。。S’普 ,一粤 二。。,誓 (工刀 嘴 z劣)2咬一. 4劣夕z (浙江李世杰供题)‘79·△ABC中,求证:以。。:普、·。一粤、·。二号(”<俨<2,为三边长亦能构成一个三角形.(江苏罗纬供题) 180.设△ABC的内心I到顶点A、B、C的距离分别为二、夕、:,△ABC、△ABI、△刀口了、△〔少月I的外接圆面积分别是S、S:、…     

一九八四年省市自治区联合数学竞赛试题参考解答与评分标准

第一试 一选择题(每小题答对得5分,答错得O分,不答得1分.) 1.集合s二(牙,!argz一。,。为常数}在复平面的图形是 (A)射线argZ=2“.(B)射线argZ=一Za. (C)射线argZ‘一a.(D)上述答案都不对. 〔答〕(D)(命题组供题) 2.下列四个图的阴影部分(不包括边界)满足不等式 109二(109洲,)>0的是(A)15.(B)10.(C)7.(D)6. 〔答〕(D)(命题组供题)4.方程sinx二lgX的实根个数是(A)1.(B)2.(C)3.(D)大于3. 〔答〕(C)(河南供题)5.若a>o,a钾1,F(x)是一奇函数,则G(x,一尸(‘,.〔示纷+合」是(A)奇函数(B)偶函数(C)不是奇函数也不是偶函数.(D)奇偶性与a的…     

一道题的错误解答的改正

本刊89一9期《高中代数系列复习训练题》一文中有这样一道题: 设数列{a,}中,a,=3,a。十,=25。+Zn+1(n任N),S。二a,+aZ+…十a,求该数列的通项公式. 该文给出的简解如下: 解:,.’a,+:=25。+Zn+z, .’.a、=25。一i+2(n一1)+1, .,.a。+:一a。二Za。+2, …a”+:+1二3(a。+1), …a。+i=3钻(3+1)一1…。。一4·3。一‘一1.气 事实上,由a:=s,a,十;=25。+Zn+1(:任N)可得 a,=9, a3“29, 而由a、二4x3’‘一工一1,则得a,=11,a、=35,·…显然,a?‘=4 x3”一1一1不是原题的正确答案. 现笔者作如下解答: 解:,.’a。+,=25二+2,:+1 (刀〔N)。 (下转第27…     

sin~kα与cos~kα的降幂公式

本文推广定理1角降幂公式设k任N,k)2,〔尝〕‘;f导列有艺曰Cos口1Zk一1a(、k)eos(左十2一2,)。.()gOl午第六明27n勺﹄系数a(气、i两足a‘扩,=z,Jl.(a”)=“、从+a(梦.,、〔宁〕)一卉〔·:n’一‘二,,一弓,_磅l‘,)。。、(,卜:一21,‘了i一(2)+(夕忆,11n︸,‘(k一卜1)吃k) ~(n〕‘+切,1,cOS“·若k为偶数,“梦1二 (取)Zak二+a2咔记a‘丫+,)=a{’=1,口(飞川=。}少二一2若k为奇数,则a (玉)口k+1 2‘““‘晋,,飞+‘+a;n,知)证应用归纳法。e 05忍a(eosZa+1),定理结论成立. 对奇数,,有eos”’卜’a绝2c 05’a=专‘a‘;,cosZa+a(梦,cosa,其中…     

数学练习题(十四)解答

润.设a与夕为尸一8x+1一。的二根,习之初;a“十声‘(儿为自然数)为一不能被7整除的整数. 证由根与系数白;关系知:a十刀一8,a·夕~1.当:二二1,2,3时,a+口一sa卫+夕“一(。一考一夕)“一Za·刀一64一2二62 。乙+‘月一‘己,尽,3一3·“,岁·(a十尽)一8:一犷_一逃88,命题显然成立.没当:<左时命题成立,则当九二k时十尸一2)二8(a七一‘十少“‘)一(a“一2+刀‘“2)…a充+夕‘=(a+夕)(a“一‘+夕是一‘)一a月(a‘一’+①以介一1易k有:护一’+尸一’一创砂一“十歹‘一“)一(砂一3十尸““)…②以②代入价担:、乏一L尸一63(a‘一2十尸““)一8(a走…     

1991年沈阳市数学奥林匹克学校高一年级培训班入学试题及解答

一、填空题1.设集合A二{夕ly二2x2一2‘一3},3xJ一14x3+10x2+14x+3二0.设a:,aZ,…,a。,…〔N.称+一一一工一一一一是无穷连分数.例如,口z+ 1“吕十—a‘+.”订丁=1+(训丁一1)=1十二1+ 12+(记丁一1)=1+2+ 1训丁+1 1 1。,i‘个-一一-2+,·,其中a;,a:,a3,一分别是1,2,2,·… 试将侧了也写成无限连分数,并写出ax一口2一aa- 四、边长为a,b,动勺三角形的三个顶点的坐标值都是整数,R是三角形外接圆半径.求证:abc》ZR. 五、在△ABC中,乙C=3乙A,BC=9,AB二16.求AC的长. 六、圆内接四边形ABC刀的内切圆的圆心是O‘求证: 1OD2.1一OBz 一一1一…     

国外数学竞赛题集锦

〔代数〕 1.(第16届全俄数学竞赛)试求这样的常数‘,使函数 “x,二a rc,g一;宗 tg〔一八一x)〕二‘g〔一‘92一ar·‘g;一土2多飞一4X-=一Zx。于是tgf(x)=tg〔一f(一x)〕。在区间 解(一告,奋,上是奇函数·设所求的常数:存在,使厂(x)在又f‘x),一f‘一x)均在(一号所以厂(x)=一八一x).即厂(x)为奇函数.冬)i一41了(一)上是奇函数,则f(0)=a retgZ ‘=0.于是‘为唯一可能的值是一arCtg2. 2.(第3届拉丁美洲数学竞赛)a,b,c,d,P,叮为自然数,且适合 一一1一bd 下面我们证明,在区间(一音上,函数 “x,=a rc“圣诺釜一ar·‘92 L__;a、P、cU“一U‘…     

每期一题

题:已知0(。提2,。>。,求 T=(:一)’十(侧万万沪一9/的’的最小值。 解法一:设“=Zeoso,0〔〔0、专派〕则T=(Zeoso一u)2+(Zsino一9/”)2=‘一‘”一“。一‘·号。,n。+。2+黔一4一4·护小丁喜:COS(e一甲)+一+影》‘一4扣不一纂=(2一了于漂)’于点A尸, OA+AB)OB二OA‘+A’B,.’. AB)A产B,因此,只要求OB的最小值。设点B(a户),则OBZ=、a’+西’)Za乙二15,只有在a=b时最小,即 a=b二3。 T。‘。=(3了万一2)’。 解法三:将T看作二复数差的模的平方:=一(:‘+、蔚‘)一(。+子‘)12”日l )}!·+、、·‘,一,·】2一训石2~而户.!’+全f2…