用增元法巧解分式方程

对于一些看起来较复杂的分式方程,我们可应用增元法(即增设一个未知数)巧妙求解.现举例说明如下:例1解方程:x2 81x2(9 x)2=40.分析本题如去分母求解,将会得到一个较复杂的一元四次方程,显然对初中学生来说有一定难度.因此,需要寻求一定的技巧.注意到81x2(9 x)2=99 xx2,所以若增     

巧用增元技巧 妙解代数方程

在数学竞赛中,有些复杂的或具有某种特殊结构的方程用常规方法求解较繁难,但运用增元法可达到化繁为简,快速求解的目的.本文略举几例予以说明.1解整式方程例1解方程x=(x2+3x-2)2+3(x2+3x-2)-2.(1996年四川省初中数学竞赛试题)分析若去括号,会得到一元四次方程,对初中学生来说求解实非容易,故不可取.若注意到括号内整体特征,设y=x2+3x-2,从而将一元方程转化为二元二次方程组,易解.解设y=x2+3x-2,则有x=y2+3y-2,(1)y=x2+3x-2.(2)(1)-(2)得(x-y)(x+y+4)=0.当x=y时,由(2)解得x1,2=-1±3;当x+y+4=0时,将y=-(x+4)代入(2),解得x3,4=-2±2.2解分式方…     

用增元法解方程

对于一些看起来较复杂的方程,我们可应用增元法(即:增设一个未知数)将原方程转化为方程组,以实现问题的顺利求解.现举例说明如下.例1解方程:x=(x~2-2)~2-2.(01年云南省竞赛题)     

去括号时要小心

在解某些含括号的高次方程时 ,有的同学常常见到括号就去掉 ,总习惯于将方程中的多项式按降幂排好后再设法求解 .岂不知 ,这样的“习惯”处理有时易造成简题繁解 .例　解方程 :(x2 -x -3 ) 2 -(x2 -x -3 ) =x +3 .解法 1:由原方程得(x4+x2 +9-2x3 -6x2 +6x) -(x2 -x -3 )=x +3 .去括号 ,整理得x4-2x3 -6x2 +6x +9=0 .拆项为x4-2x3 -3x2 -3x2 +6x +9=0 .则 (x2 -2x -3 ) (x2 -3 ) =0 .解得x1 =-1,x2 =3 ,x3 =3 ,x4=-3 .小结 :解法 1及其结果无疑都是正确的 ,但其求解过程较繁琐 ,尤其是其求解过程中的“拆项”有一定的难度 ,一些同学往往不能…     

构造数学模型巧解方程(组)

构造数学模型解题 ,就是根据题目的特征 ,构造相应的数学模型 ,把陌生的问题转化为熟悉的问题 ,把复杂的问题转化为简单的问题的一种化归方法 .通过构造数学模型解题不仅构思巧妙 ,见解独到 ,而且极富思维的创造性 .本文结合非常规方程 (组 )问题的求解 ,介绍构造数学模型解题的几种方法 .1　构造方程模型根据方程 (组 )中所给的数量关系 ,构造一个新的方程 ,通过对新方程的求解而达到解题的目的 .例 1　解方程组x + y + 9x + 4y =1 0(x2 + 9) (y2 + 4 ) =2 4xy解 :原方程组可化为(x + 9x) + (y + 4y) =1 0(x + 9x) (y + 4y) =2 4于是 x + 9…     

条件二次根式值的求法

一、利用对称式求解例 1 .已知 :a=15- 2 ,b=15 2 ,求a2 b2 7的值。解 :由题设可得 a b=2 5,ab=1。∴原式 =( a b) 2 - 2 ab 7=( 2 5) 2 - 2 7=2 5=5。二、定义法求解例 2 .已知 y=x- 8 8- x 1 8,求代数式 x yx - y- 2 xyx y - y x的值。解 :依据二次根式的定义 ,知 x- 8≥ 0 ,且 8- x≥ 0 ,∴ x=8,从而 y=1 8。∴原式 =x yx - y- 2 ( xy) 2xy( x - y )=( x - y ) 2x - y =x - y=8- 1 8=- 2 。三、用非负数性质求解例 3.如果 a b | c- 1 - 1 | =4a- 2 2 b 1 - 4,那么 a 2 b- 3c=。解 :将原条件式配方 ,得 ( a- 2 - 2 ) …     

构造函数 运用等价关系解题

<正>在函数f(x)的一个单调区间内,f(x1)=f(x2)与x1=x2是等价的.对于某些问题,如果能够根据其特征构造出一个单调函数来,然后运用这种等价关系进行求解,可使求解问题的思路较为明晰,而且求解问题的过程也会大大简化.本文举例说明,f(x1)=f(x2)与x1=x2的等价关系在解方程和求函数值两方面中的一些应用.     

利用均值不等式求最值的技巧

均值不等式a2 b≥ab(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值问题.对于有些题目,可以直接利用公式求解.但是,有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解.下面是一些常用的变形技巧.一、配凑1、凑系数例1当00,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子的积的形式,但其和不是定值.注意到2x (8-2x)=8为定值,故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可.解y=x(8-2x)=21[2x·(8-2x)]≤212x 82-2x2=8,当且仅当2x=8-2x即x=2时取等号.∴当x=2时…     

利用f^—[f（x）]=x解决反函数问题

若函数 y=f ( x)存在反函数 y=f-1( x) ,则对于定义域中的任何一个 x都有 f-1[f( x) ]=x成立 .同样 f[f-1( x) ]=x也成立 .这种性质在处理反函数的有关问题中有着很多应用 .1　求值例 1、方程 log2 x x=3的根为 x1,方程 2 x x=3的根为 x2 ,求 x1 x2 的值 .分析 :直接求解比较困难 .由题可知 ,其中 y=log2 x 与y =2 x 互为反函数 ,利用反函数性质来处理 ,令 f ( x) =log2 x,则 f-1( x) =2 x.解 :f( x1) =3 -x1,1 f-1( x2 ) =3 -x2 2由 2两边同取 f ,得 f ( 3 -x2 ) =x2 .3另一方面 y=f ( x)是单调递增的 .比较 1 3当 x1>3 -x2 ,即 x1 x2 >3时…     

一种和式极限的简化求法

利用定积分定义求一些较复杂的和式极限时,常常需要先将和式变形、简化。本文介绍一种较简单的转换方法,可使某些和式极限的求解得以简化。命题设函数 f(x),g(x)皆在 x=0处连续,且(f(x))/(g(x))=a(有限数)。若无穷三角阵(x_(ni)),(y_(ni))(1≤i≤n)的元素满足条件:     

零点分段法在数学解题中的应用

在代数式的恒等变形及不等式的求解等诸问题中 ,适当运用“零点分段法” ,将使解题思路清晰 ,方法简易 所谓零点分段法 ,就是先分别求出习题中每一个绝对值内的代数式 ,或将原代数式 (不等式 )因式分解 ,使每一个一次因式等于零的x的值 ,并把这些x的值 ,按从小到大的顺序排列 ,以它们为端点将全体实数划分成各个区间 ;然后分别在各区间内 ,依次考虑绝对值内的代数式 (或一次因式 )的符号 ,进行相应的分析、化简、求解 现举数例 :例 1:化简 :| 2x + 1| - |x - 5 |解 :解方程　 2x + 1=0　得x1=- 1/ 2解方程　x - 5 =0　得x2 =5x的这些值把…     

数学填空题的几种快速解法

一、打破常规、直观求解例 1　若 x 1x=c 1c,则 x=(　　 )。分析 :条件化简之后 ,是一个一元二次方程 ,故 x的值有两个。由观察可知 x1 =c与 x2 =1c满足原方程。故 x=c或 1c。说明 :要提高解题速度 ,有时必须打破常规 ,不要被基本的运算顺序所束缚。二、整体把握 ,巧妙求解例 2　若 x2 x- 1 =0 ,则 x3 2 x2 1 999=(　　 )。分析 :若先求 x2 x- 1 =0的根。再代入计算则十分繁杂。通过变形 ,运用整体代换 ,能化难为易。解 :∵ x2 x- 1 =0 ,∴ x2 x=1。∴ x3 2 x2 1 999=x3 x2 (x2 x) - x 1 999=x(x2 x- 1 ) (x2 x) 1 999=2 0 0 0。…     

二次根式化简中的"换元法"

1 设元代数,化已知为未知 例1 若x=1/2[(2002)-1/(2002)],求(x2 1) x的值. 分析2002是一个较大、带根号的无理数,直接代入较复杂,尝试用字母换元代入.     

利用三角函数的图象特征解题

在求解三角函数有关问题时,如果能利用三角函数的图象特征解题,将起到事半功倍的作用.下面举例说明.例1如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=π8对称,那么a=.解析:利用正弦余弦函数的图象当自变量取对称轴时函数值取得最大或最小值这一特征得:|sin2.π8+acos2.π8|=a2+1=|22+22a|,解得a=1.例2已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R)(A>0,ω>0,-π<φ≤π)的图象在y轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22),与x轴在原点左侧第一个交点为N(-1,0),求函数f(x)的解析式.图1解析:由y=sinx的图象可知,从图象与x轴的交点到达图象最高点(在同…     

从一道高考题谈一类分段函数题的求解方法

20 0 2年全国高考数学理科卷中有这样一道题 :第 ( 2 1 )题 :设 a是实数 ,函数 f ( x) =x2+ | x- a| + 1 ,x∈ R,( 1 )讨论 f ( x)的奇偶性 ;( 2 )求 f ( x)的最小值 .此题中的函数实质是一个分段函数f( x) =x2 + x- a+ 1 ,x≥ a,x2 - x+ a+ 1 ,x相似文献   

巧用函数奇偶性解题

奇偶性是函数的一个重要性质,有些问题若能利用函数奇偶性建立关系求解将收到意想不到的效果.一、求值【例1】已知函数f(x)=42xx- 11-2x 1,且f(m)=2,求f(-m)的值.分析:若直接由42xx- 11-2x 1=2解此方程非常困难,但看到f(m)与f(-m),易猜想到函数的奇偶性.解:∵f(x)=21(2x-2-x)-2     

求代数式值的常用方法

正求代数式的值是初中代数的重要题型,是常考的知识点.对于较简单的问题,直接代入计算,对于较复杂的代数式,需要根据代数式的特点,选用适当的方法才能简捷求解.一、直接代入求值例1(2011年株洲卷)当x=10,y=9时,代数式x~2-y~2的值     

一类二元函数条件最小值的求法及其推广

1　问题提出我们经常看到这样一道题:已知a >0 ,b >0 ,且a b =1 ,求(a 1a) 2 (b 1b) 2 的最小值.该题通常这样求解:(a 1a) 2 (b 1b) 2 =a2 b2 1a2 1b2 4=(a b) 2 -2ab 1a2 1b2 4=5 -2ab 1a2 1b2 ≥5 -2 ( a b2 ) 2 2ab=92 2ab≥92 2( a b2 ) 2=2 52 .当且仅当a =b时取等号.作为上题的推广,我们自然会想到问题1 :已知x >0 ,y >0 ,且x y =1 ,求函数f1(x ,y) =(x 1x) 3 ( y 1y) 3的最小值.对于问题1 ,我们同样可以如下求解:由题设条件可求得0 相似文献   

“分李”问题的推广

古代欧洲曾有这样一道数学趣题 ,有一篮李子不知其数 ,分给甲一半又一个 ,分给乙剩下的一半又一个 ,分给丙剩下的一半又 3个 ,李子刚好分完 ,问原有李子多少个 ?分析　此题在今天看来比较简单 ,可用列方程的方法求解 .设原有李子x个 ,由题意分给甲 (x2 1)个 ,这时剩下x-(x2 1) =(x2 -1)个 ,分给乙x2 -12 1个 ,再由题意丙分得 6个 ,所以 (x2 1) x2 -12 1 6=x解之得x =3 0此题也可以直接用倒推法求解 .由题意 ,丙分得 6个 ,往上推 ,乙分得 6 1 1=8个 ,甲分得 6 8 1 1=16个 ,所以原有李子 6 8 16=3 0个 .把此题推广 :1 有一…     

解析几何问题综合分析

一、将平面向量融入解析几何【例1】(2004年山东卷)设双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)与直线l∶x y=1相交于两个不同的点A、B.(I)求双曲线C的离心率e的取值范围;(II)设直线l与y轴的交点为P,且P A=512P B,求a的值.分析:本小题主要考查直线、双曲线的概念和性质,平面向量的运算等知识.解题时先将直线方程代入曲线方程中,整理一下,变成一个关于x的一元二次方程,再使用韦达定理,写出两根之和与之积,最后再根据题目的要求求解.解:(I)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组x2y2-y2=1x y=1有两个不同的实数解.消去y并整理得(1-a2)x2 2a2x-2a2=0.①所以…