单位分数的分拆

将一个单位分数1/n(n是正整数)拆成两个不相等单位分数之和是常见的竞赛题．比如，由常见的裂项公式1/n(n 1)=1/n-1/n 1，即1/n=1/n 1 1/n(n 1)，知     

数列

试题 1（湖北卷，理科第15题）将杨辉三角中的每一个数C′n都换成1/（n＋1）C′n，就得到一个如图1所示的分数三角形，成为莱布尼兹三角形，从莱布尼兹三角形可看出1/（n＋1）C′n＋1/（n＋1）C′n=1/nC′n-1，其中x=_____，令an=1/3＋1/12＋1/30＋1/60＋…＋1/nC^2 n-1＋1/（n＋1）Cn^2,则liman（n→∞）=_____.     

一类方程组的求解方法及其应用

早在上个世纪八十年代初，笔者就在文献[1]中看到过形如 ｛1/x＋1/y＋z=1/a,（1） 1/y＋1/x＋z=1/b,（2） 1/z＋1/x＋y=1/c,（3） （abc≠0，且a＋b-c≠0，b＋c-a≠0，c＋a-b≠0）的方程组，可惜该书没有提供这道题的参考答案，当时笔者也未能求解出结果，然而，事隔十几年之后，在2000年的理科综合的压卷题求解过程中，又碰到了这种方程组，但同样地，参考答案也仅给出最后结果，     

对一道高考选择题的思考

题目设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1=S△PBC/S△ABC，λ2=S△PCA/S△ABC，λ3=S△PAB/S△ABC，定义f（P）=（λ1，λ2，λ3），若G是△ABC的重心，f（Q）=（1/2，1/3，1/6），则（）     

巧设单位“1”解行程问题

例1摇某人从甲地步行到乙地，往时每小时行3千米，返时每小时行5千米，往返共需8小时，求甲乙两地的距离是多少?解：设甲乙两地的距离是“1”，则往时共用时间为1/3，返时共用时间为1/5，往返共需(1/3+1/5)的时间，这与“8小时”对应。于是甲乙两地的距离是：8÷(1/3+1/5)＝15(千米)。例2甲乙两辆汽车由梅州开往广州，甲车每小时行60千米，乙车每小时行50千米。已知甲车比乙车少用1710小时，求梅州到广州的距离。解：设梅州到广州的距离为“1”，则甲车共需时间为1/60，乙车共需时间为1/50，甲车比乙车少用的时间对应(1/50-1/60)，于是，所…     

方程1/(x a) 1/(x b)=0的启示

众所周知，分式方程的解是均数的相反数．显然，如果c d=a b，那的解也是从而可推知的解也为因此得如下命题1如果a b=c d，且a、b、c、d互不相等，那么分式方程1/x a-1/x d=1/x c-1/x b的解是x=-a b c d/4.证明由1/x a-1/x d=1/x c-1/x b可得（若不然，则有与已知条件矛盾）利用这个结论，可简洁地解一些分式方程例1解方程解这个方程满足命题1的条件，所以方程的解是注利用命题1解分式方程不会产生增根，故验根这一步骤可略去．例2解方程：解原方程可变形为：由命题1，原方程的解为命题1中的x换成关于x的整式、分式、根式，也有类似结论．命…     

分割三角形的一个面积公式

问题 如图，△ABC的面积为△，AF/AC=1/b，CE/CB=1/a，BD/BA=1/c(a、b、c为正实数)．求ΔGHM的面积S．     

数值分析方法与不等式的证明

利用连续函数图象的一些局部性质，结合数值分析方法给出二个不等式的证明：(1)当s∈(0，1]时，成立不等式：(1/4 4^1/s-1/4)^ss≤1．(2)当s∈(0，log54]时，成立不等式：(4^1/s-2)^1-ss≥1．     

两道竞赛题的统一推广

1．2005年中国数学奥林匹克国家集训队测验（一）第6题：设a，b，f，d〉0，且abcd=1，求证：1/（1＋a）^2＋1/（1＋b）^2＋1/（1＋c）^2＋1/（1＋d）^2≥1.[编者按]     

2022年全国联赛A2卷第6题解法赏析

<正>2022年全国高中数学联赛A2卷第6题为一道立体几何题．试题以正方体为载体，以面面相交为命题背景，设计求解相交直线的夹角余弦值．试题在常规解答之外留给竞赛生较大的发挥空间，以供学生展示学科综合能力．笔者提供多种解答，以求抛砖引玉．题目如图1，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M,N分别为棱A₁B₁,BB₁的中点，过D,M,N三点作该正方体的截面，     

2005年全国初中数学竞赛天津赛区初赛

1．若x=a-b/a＋b，且a≠0，则b/a等于（ ）．（A）1-x/1＋x（B）1＋x/1-x（C）x-1/x＋1（D）x＋1/x-1     

巧解一元一次方程

分析：因为x 2/4=x/4 1/2,-2x-3/6=-x/3 1/2，所以，将原方程左边每一项拆开，移项合并，能化繁为简。     

解一元一次方程中的创新思维

解一元一次方程要根据方程特点，大胆创新，巧妙解题，简化计算，提高能力．通过对方程：1.3（x＋1）-1/3（x-1）=2（x-1）-1/2（x＋1）;2.3/2[2/3（1/4x＋7）＋2]＋2=x;3.x＋4/0.2-x-3/0.5=-1.6;4.4-6x/0.01-6.5=0.02-2x/0.02-7.5的例题分析...     

一道双变量“存在性或任意性”问题的深层次探究

<正>问题已知函数f(x)=x+4/x,g(x)=2x+a．若?x₁∈[1/2,1]，?x₂∈[2,3]，使f(x₁)≥g(x₂)恒成立，求实数a的取值范围．解当x∈[1/2,]1时，f’(x)=1-4/x²<0,f(x)单调减，可得f(x)在[1/2,1]的最小值f(x)_min=f(1)=5．又g(x)=2^x+a单调增，故g(x)在[2,3]的最大值g(x)_max=g(3)=8+a．     

递推数列求通项 活化思维有保障

<正>若数列连续若干项之间满足等量关系a_n+k=f (a_n+k-1,a_n+k-2,…,a_n),则称其为数列的递推关系.由递推关系和k个初始值可以确定一个数列，称数列{a_n}是递推数列.例1数列{a_n}中a₁=1, a_n=a_n-1+2n-3，求该数列的通项.解析:由a_n=a_n-1+2n-3，得a_n-a_n-1=2n-3，因此有a₂-a₁=1, a₃-a₂=3, a₄-a₃=5,     

对两个猜想的解答

猜想1若a，b，x，y∈R^＋，λ∈R^＋，则 a^λ＋1/x^λ＋b^λ＋1/y^λ≥（a＋b）^λ＋1/（x＋y）^λ＋1     

利用三点共线巧解等差数列问题

我们知道，等差数列{an]通项公式为：an=a1＋（n-1）d=dn＋（a1-d），前n项和公式为：Sn=na1＋n（n-1）/2d=d/2n^2＋（a1-d/2）n，因而Sn/n=d/2n＋（a1-d/2）。由解析几何知识可知，点（n,an）在斜率为d的直线上，点（n,Sn/n）都在斜率为d/2的直线上，利用好这一结论就能给解题带来极大的方便。     

Schroedinger方程的一个高精度差分格式

用含参数的差分方程逼近微分方程的方法，构造了Schroedinger方程的一个三层高精度隐式差分格式：1/12τ(3/2uj 1^n 1-2uj 1^n 1/2uj 1^n-1) 5/6τ(3/2uj^n 1-2uj^n 1/2uj^n-1) 1/12τ(3/2u(j-1)^(n 1)-2u(j-1)^n 1/2u(j-1)^(n-1)=i[u(j 1)^(n 1)-2uj^(n 1)- u(j-1)^(n 1)]/h^2，其截断误差阶可达到O（τ^2 h^4)，并用Miller定理证明了其稳定性，数值例子表明该格式是有效的。     

一个不等式的新证及推广

题目 已知a，b，c∈R ，求证：(a 1)^3/b (b 1)^3/c (c 1)^3/a≥81/4．(1)、当且仅当a=b=c=2/1时，(1)式等号成立．(《中等数学》2000年第4期数学奥林匹克问题高91)     

一类几何题的证明技巧

对结论以“1/a 1/b=1/c”形式出现的几何证明题，许多初学几何的同学感到困难，其实，只要掌握了它的证明技巧，问题就容易了。