低次多行式函数方程xf~2（x）＋xg~2（x）=h~2（x）解的讨论

讨论复数域上多项式函数方程xf2（x）＋xg2（x）=h2（x）,得到这个函数方程的一些基本性质,以及当f（x）,g（x）,h（x）的次数都不超过2时,该函数方程的所有解。其解的情况如下：在复数域上,如果上述三个多项式的次数都不超过2,那么该函数方程有解当且仅当下列3个条件之一成立：（1）h（x）是零多项式;（2）f（x）,g（x）,h（x）都是1次多项式;（3）f（x）,g（x）,h（x）都是2次多项式。更进一步地,满足条件（1）的解只有1组;满足条件（2）的解一共有4组;满足条件（3）的解一共有16组。     

关于最大公因式的一个注记

对多项式 f(x),g(x),把用辗转除法求出的使u(x)f(x) υ(x)g(x)=f(x),g(x))(※)成立的多项式 u(x),υ(x)称为基元多项式。指出基元多项式是使(※)式成立的唯一的次数最低的一对多项式;用基元多项式给出了所有使(※)成立的多项式 u(x),υ(x)的表达式。     

Selmer多项式不可约性的一个新证明

由n次多项式f(x)的全部根α1,α2…,αn ,构造一个关于根的对称多项式S(f)=n∑i=1(αi-1/αi) ,如果多项式f(x)在(◎)[x]可以分解为多项式g(x)h(x) ,利用恒等式S(f)=S(g)+S(h) ,得出多项式g(x)的可能形式,并利用上述方法给出Selmer多项式不可约性的一个统一证明.     

Eisenstein判别法的推广

Eisenstein判别法的功效在于能简便有力地判别一类多项式能否在Q[x]中可约,如多项式x^2＋2x＋2在Q[x]中不可约（取p=2即可）．但Eisenstein判别法却不能直接判别类似的多项式,如2x^2＋2x＋1．能否在Q[x]中可约．     

N oerland Eerler与Bernoulli 多项式的一个恒等式

定义了Noerland Bernoulli多项式和Noerland Eurler多项式，证明了恒等式：Bm1,m2,…,mp^(k)(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yk)=1/2^∑i^pmi∑s1=0^m1∑s2=0^m2…∑sp=0^mp(s1^m1)…(sp^mp)Es1,s2,…,sp^(k)(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yi)Bm1-s1,m2-s2,…,mp-sp^(k)(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yk)     

Nǒrland Eerler与Bernoulli多项式的一个恒等式

定义了Nǒrland Bernoulli多项式和Nǒrland Eurler多项式,证明了恒等式:B(k)m1.m2,…,mp(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yx)=1/2∑(p)I∑m1s1=0 ∑m2s2=0…∑mpsp=0 ∑mpsp=0(m1/s1)…(mp/sp) E(k)s1,s2,…sp(x1,x2,…,xp,y1,y2,…yk)B(k)m1-s1,m2-s2,…mp-sp(x1,x2,…,xp,y1,y2,…yk)     

矩阵初等变换的一个应用

在整数环Z及多项式环P[x]里，利用矩阵的初等变换求出整数a1，a2，…，an的最大公因数及最大公因数由整数a1，a2，…，an表示的表达式以及多项式f1(x)，f2(x)，…，fn(x)表示的表达式．     

正确理解因式分解

课本中明确指出:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,本文试从因式分解的对象、过程、结果以及与整式乘法的关系等几个方面认真解读,希望能对同学们有所帮助. 1.因式分解的对象是整式.并且是整式中的多项式,不是多项式就谈不上因式分解,如x2yz=x·x·y·z不是因式分解,因为x2yz是单项式.它本身就是整式的积的形式.又如m-(1/n)=1/n(mn-1)也不是因式分解,因为m-(1/n)不是多项式. 2.因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.如x+1=x(1+(1/x))和x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x都不是因式分解.因为1-(1/x)不是整式,(x+2)(x-2)+3x是和的形式.而不是积的形式. 3.因式分解的结果中的每一个因式必须是不能再分解的因式,因式分解的结果与多项式所在的数集有关,我们现在的分解是在有理数范围内进行的.因此,要求必须分解到每一个因式在有理数范围内不能再分解为止.如:     

浅析一类恒等多项式

这类多项式展开后,等式两边分别是(1+x)和x的多项式,但其对应次幂的系数绝对值却对应相等,十分对称。     

含积多项式的因式分解

含积多项式是指多项式中含有几个整式的积的多项式。它可分为两类 : 类是形如(x+ A) (x+ B) + P(A、B、P均可为整式 )的多项式 ; 类是形如 (x+ a)· (a+ b)· (x+c)· (x+ d) + P(a、b、c、d均为整数 ,P为整式 )的多项式。不同类型有不同的方法 ,同一类型有着不同的技巧 ,要使学生达到见题变招、灵活运用的目的 ,就必须掌握两种不同类型的方法和技巧。一、 类多项式需要“重组”1.展合重组例 1.分解因式 :(x+ y) (x- y) + 4 (y- 1)。解 :原式 =x2 - y2 + 4 y- 4=x2 - (y2 - 4 y+ 4 )=x2 - (y- 2 ) 2=(x+ y- 2 ) (x- y+ 2 )。2 .配方重组…     

矩阵初等变换的一个应用

在整数环Z及多项式环P[x]里,利用矩阵的初等变换求出整数a1,a2,…,an的最大公因数及最大公因数 由整数a1,a2,…,an表示的表达式以及多项式f1(x),f2(x),…,fn(x)表示的表达式.     

整式加减的错解笔记

一、多项式的次数数不准引发的错误 例1写出下列多项式的次数：6x2y3-3x4,2^4x＋46＋7,-7uv^2＋u＋v. 错解：它们的次数依次是4次、5次、2次．     

运用对称式智取二次根式的求值问题

在含有两个字母x、y的多项式中,如果同时以x代替y,y代替x后,得到的多项式与原来的多项式完全相同,那么称这个多项式是关于x、y的对称多项式.容易发现关于x、y的对称多项式都可以表示成关于x+y和xy的式子,如x2+y2=(x+y)2-2xy、y x+x y=x2+y2xy=(x+y)2-2xy xy等等,利用对称多项式这一性质,我们可以智取二次根式的有关求值问题.例1.已知x=3姨+1、y=姨3-1,求x2+2xy+y2的值.分析:如果直接将x、y的值代入计算     

有理数域上n次多项式不可约的一个充要条件在GF(2)中的推广

n次多项式f(x)在Q上不可约的一个充要条件是多项式xnf(1x)在Q上不可约.本文利用反证法对这个充要条件在GF(2)中做了一个推广,并进一步证明了f(x)在GF(2)中本原当且仅当xnf(1x)在GF(2)本原.     

2个Chebyshev多项式恒等变换

设Tn(x)、Un(x)是Chebyshev多项式,利用发生函数generating function方法给出2个Chebyshev多项式乘积和高次恒等变换。     

（3,n）型多项式函数方程xf^2（x）＋xg^2（x）=h^2（x）的解

讨论在复数域上,当f（x）与g（x）的次数都等于3,并且g（x）的次数不超过3时,多项式函数方程xf（x）＋xg^2（x）=h^2（x）的解的情况,得到部分结果.主要结果为：如果h（x）的次数等于1,那么这个函数方程无解;如果h（x）的次数等于2,那么这个函数方程一共有8组解;如果h（x）的次数等于3,那么h（x）的1次项系数等于零时,这个函数方程一共有24组解;当h（x）的2次项系数等于零时,但1次项系数不等于零时,这个函数方程一共有36组解.     

二元二次因式分解的简便方法

给出二元二次多项式F(x,y)=ax^2 bxy cy^2 dx ey f在实数范围内因式分解的一种简便方法。利用这种方法，还可以简便地分解多元二次多项式。     

有关一个整系数多项式环定理的矩阵证明

本文旨在 :(1)用有理数域多项式矩阵证明以下定理 :设Z代表整数环 ,Z[　 ]代表整数系数多项式环 (我们简称整系数多项式环 ) ,定理 :设f1;f2 ;…fn 是Z[x]中一组 (n个 )元素 ,d是它们的最大公因式 ,则Z[x]中一定有一组相应的元素q1;q2 ;…qn,使得 :d =f1·q1 f2 ·q2 … fn·qn.(2 )用矩阵来计算若干个整系数多项式的最大公因式 .     

单纯形上的多元函数BERNSTEIN多项式

构造了单纯形V={m∑i=1xi≤1,xi≥0,i=1,2,……,m}上多元函数f（x1,x2,……,xm）的Bernstein多项式Bn（x1,x2,……,xm）,且证明了Bn（x1,x2,……,xm）一致收敛于f（x1,x2,……xm）.     

竞赛中的二次根式问题

例1 当x=1＋√1994/2时,计算多项式（4x3-1997x-1994）^2013的值．