从(a+b)~n展开式中有多少项说起

我们由二项式定理(a+b)n=C0nan+c1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn,可以知道(a+b)n展开式中有n+1项.那么,(a+b+c)n展开式中有多少个不同的项呢? 先从简单的情况入手,记(a+b+c)n的展开式的项数为un.显然,n=1时,u1=3=(2·3)/2;n=2时,u2=6=(3·4)/2;     

复杂问题简单化

有些数学题,用一般方法直接求解比较麻烦,我们可先研究它的简单情况或部分情况,从中受到启发,发现规律,进而找到解题方法。例12003个连续奇数的和与2003×2003的积相等,这2003个连续奇数中最大的一个是多少?分析与解:根据题意,连续奇数的个数与积中任何一个因数正好相同,而这2003个连续奇数太多了,我们不妨将“复杂的问题简单化”,尝试一下,从中发现规律:3个连续奇数:3×3=9=1+3+5,最大数3×2-1=5。5个连续奇数:5×5=25=1+3+5+7+9,最大数5×2-1=9。7个连续奇数:7×7=49=1+3+5+7+9+11+13,最大数7×2-1=13。……从上面三个算式的结果,我们不难…     

《图·说数学》征稿啦!

<正>万物皆可数,你心中有"数"吗?一张图加一段话,把数学"拓"下来!积木叠叠乐如上图这样搭积木,每一层比上一层多1块,可以用梯形面积公式计算所用积木的块数。已知梯形面积公式为(上底+下底)×高÷2,那么图①中,(1+2)×2÷2=3 (块)。图②中,(1+3)×2÷2=6 (块)。图③中,(1+4)×2÷2=10 (块)。按照这样的规律搭下去,如果最下层放21块,你知道一共需要多少块积木吗?     

从运算意义来理解应用问题 提倡开放性的问题解决活动

出示例1的图(苏教版第三册): 师:谁来编一道应用题求一共有多少苹果,并列式解答。 生:有4盘苹果,前面3盘每盘是4个,最后一盘是2个,求一共有多少个,用连加:4+4+4+2=14。 生:我的方法比他的简单:4×3+2=14。     

函数中“1”的妙用

<正>在三角函数中,"sin² A+cos2 A+cos² A=1"是一重要的常见考点,在近几年高考或各地模拟试题中出现的频率逐年增高。当看到"1"时就想到是否把它转换为"sin2 A=1"是一重要的常见考点,在近几年高考或各地模拟试题中出现的频率逐年增高。当看到"1"时就想到是否把它转换为"sin² A+cos2 A+cos² A"来进行配方等其他变形。当看到"sin2 A"来进行配方等其他变形。当看到"sin² A+cos2 A+cos² A"时就立马想到把它换为"1"来进行简单运算。     

换个角度看图形与化繁为简

请同学们观察下图:你能很快计算出上图中一共有多少个五角星吗?有的同学可能根据由上到下的排列这样计算:1+2+3+4+5+4+3+2+1=25(个)。有的同学可能根据上下对应的个数这样计算:1×2+2×2+3×2+4×2+5=25(个)。其实,上面的计算都复杂了。如果我们换个角度看图形,也就是斜着看,每行有5个五角星,一共有5行,所以一共有5×5=25(个)五角星。这样,问题就更简单。     

数学归纳法应用指南

我们知道,数学中有很多与正整数有关的命题.数学归纳法就是为了证明与正整数有关的命题而产生的.但在教学中发现,很多学生在运用该法时不得要领,现作梳理如下: 一、运用数学归纳法的注意事项 1.验证n取第一个值时,如何找左端有多少项参与运算 如用数学归纳法证明恒等式1+a+a2+…+an+1=1-an+2/1-a(a≠1),在验证n=1时,左端计算所得项为____ 分析:首先观察左端共有多少项,用n表示出来,再将n值代入确定多少项参与运算.本题共有n+2项,当n=1时,故共有3项.所以应填1+a+a2.     

由按比例分配问题方法的争论引发的思考

<正>"比的实际应用——按比例分配的简单实际问题"中有一道例题:给30个方格分别涂上红色和黄色,使红色和黄色方格数的比是3∶2。两种颜色各应涂多少格?学生给出了两种方法。方法一:3+2=5,30÷5×3=18(格)……红色,30÷5×2=12(格)……黄色。方法二:30×3=18(格)……红色,30×3=12(格)……黄色。3+23+2A教师认为,方法一更容易被学生理解和接受,而     

网格不反向路径走法的简单计算

关于网格不反路径走法问题 ,文 ( 1)中给出了一个公式 ,但过程太繁 ,本文给出一种简单的方法 .例　某城市道路均为横纵方向的 ,如图 ,从M处到N处 ,只能向东或向北 ,共有多少种走法 ?解　标 1处的结点有一种走法 ,标 2处的结点有 2种走法 ,即 1+ 1=2 ,标 3处的结点有三种走法 ,即 1+ 2 =3,… ,标 10处的结点有 4 + 6 =10种走法 ,这个过程很象杨辉三角的构成规律 ,N处结点的走法有 15+ 2 0 =35种走法 .利用这种填法 ,很繁多的格也会很快填完网格不反向路径走法的简单计算$上海市奉贤中学!201400@王志和[1]　王彤、赵常红.网格不反向路径种数…     

求和模型的构建与应用

同学们知道,从自然数1开始逐个相加,一直加到n,把它们的和记为S,则有S=1+2+3+……+n=n(n2+1)·由这个公式,可得:1+2+3+……+(n-1)=n(n2-1).这个式子的意义是:从1开始的连续(n-1)个自然数的和等于n(n2-1),S=n(n2-1)是一个重要的数学模型,它的应用很广泛,许多看似复杂难解的问题,一旦用上了这个模型,将变得十分简单易求。一、在几何图形中的应用例1如图1,在直线l上有n个A1、A2、A3、……An,求直线l上共有多少条线段?图1分析:直线l有两个点A1、A2时,有一条线段,即S=当增加一个点A3时,就会增加2条线段(A3AA3A2),此时,S=1+2=3;当再增加一…     

与“量”有关的离子方程式书写解析

近几年来,离子方程式的考查从定性到定量成为高考的热点.然而许多考生对离子方程式的书写或判断正误问题感到困难,特别是遇到"少量"、"适量"、"足量"问题的离子反应方程式的书写或判断的题目时,更是束手无策.下面介绍一种简单可行的书写这类离子方程式的方法. 一、酸性氧化物与碱溶液(或盐溶液) 例1 向NaOH溶液中通入CO2气体至过量,其离子反应分步写: (1)2OH-+CO2=CO32-+H2O. (2)CO32-+CO2+H2O=2HCO3-. 若向NaOH溶液中通入过量CO2气体,其离子反应一步完成:OH-+CO2=HCO3-. 若向足量NaOH溶液中通入少量CO2气体,其离子方程式为2OH +CO2=CO32-+H2O.     

斐波那契

有个人想知道,一年之内一对兔子能繁殖多少对?于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面.已知一对兔子每个月可以生一对小兔子,而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如一年内没有发生死亡现象,那么,一对兔子一年内能繁殖成多少对?”在第一月,兔子的对数为1+1=2,第二月是2+1=3,接着是3+2=5,5+3=8,8+5=13,13+8=21,……人们把1,1,2,3,5,8…这组数列被称为斐波那契数列,因该数列为一个意大利数学家斐波那契发现而得名.欧洲中世纪对科学的摧残极深,以至很长一段时间科学几乎停滞不前.所幸斐波那契出生在中世纪晚期,黑暗即将过去,光明即将来…     

活用补集巧解题

解决数学问题时,大多是从条件出发,借助于一些具体的模式和方法,进行正面的顺向的思考,这种思考在思维方向上具有定向性、层次性和聚合性,在思维内容上具有求同性和专注性。但事物具有双向性和可逆性的特征。如果正向思维受阻,那就只能“顺难则逆,直难则曲,正难则反”,补集的解题思想正是符合这一理念应运而生的,下面通过例题与读者共赏其优势。例1.已知三个方程x2-mx+4=0,x2+(m-1)x+16=0,x2+2mx+3m+10=0中至少有一个方程有实根,求实数m的范围。分析:本题若从正面思考涉及情况较多,若从反面“三个方程都无实根”考虑,则较简单,然后求其补集,…     

构造新数列,求一类递推数列{a_n}通项

在数列 {an}中 ,已知 a1,且 an+ 1=qan + bn( n∈N+ ) ,求通项 .这类问题我们经常遇到 ,下面我们就其中一些常见简单的类型分别研究 .类型一 :当 an+ 1=qan+ bn中 ,q为非零非 1的常数 ,bn = d ( d为非零常数 ) ,这时可以通过待定系数法构造一个公比为 q的等比数列 {an + c}求解 .例 1　数列 {an}中 ,a1=3,an+ 1=2 an+ 5,求数列{an}的通项公式 .解 :∵ an+ 1=2 an + 5,设 an+ 1+ c=2 ( an + c) ,即 an+ 1=2 an + c,∴ c=5.∴ an+ 1+ 5=2 ( an + 5) ,∴ {an+ 5}是首项为 a1+ 5=8,公比为 2的等比数列 ,∴ an + 5=8× 2 n- 1,∴ an =2 n+ 2 - 5…     

如何进行综合评课与问题讨论(二)

(上接第1期第45页) 案例4 [课题]5的乘法口诀 [片段] (一)复习导入.复习和背诵1～4的乘法口诀,并用乘法口诀求积. 注意运用题组"2×3+2=2×4=8,2×3+3=3×3=9"复习乘法的意义及其灵活运用. (二)编制5的乘法口诀. 师:一些小朋友乘船游湖.每只船上坐了多少人?2只船(3只船、4只船、5只船)总共坐了多少人?(把学生的正确答案填入5的乘法表内,并在表下板书计算过程)     

关于代数方程和方程组的解和讨论的题目

1.方程组{ax+y=a~2 x+ay=1 有多少解? 2.方程组{ax+y+z=1 x+ay+z=a x+y+az=a~2 有多少解?3.解方程|x-1|+|x-2|+|x-3|=x。 4.解方程(x+3-4(x-1)~(1/2)~(1/2)+(x+8-6(x-1)~(1/2))~(1/2)=1。5.下列方程是否有实根?     

数学课要“两线”并行——对一节数学课的研究与思考

<正>一、课堂简介(一)复习:9+4=9+3=8+5=7+4=6+5=8+9=5+7=(二)新课:1.打出有两排学生的幻灯片,问:一共有多少人?生1:前排7人加上后排8人,7+8=15人。生2:也可以把后排的8人当作第一个加数。师:不管谁在前,都要把7分成2和5,把8凑成10。生:谁在前在后不管事,结果都一样。2.师:大家看第97页,就"前排加后排"一种方法吗?生3:男生有9人,女生有6人,加起来也是15人。     

好丰富的早饭

今天早上,我们去买早饭。妈妈买了八个荞麦馒头,一个要5角,八个荞麦馒头要多少元？算式：0.5×8=4（元）。妈妈又去买了2个粽子和2只荷包蛋。一个粽子要1元5角,2个粽子要2×1.5=3（元）。一只荷包蛋比荞麦馒头多5角,2只荷包蛋要几元？5+5=10（角）,即1元,1+1=2（元）,两个荷包蛋要2元。一盒牛奶要3元5角。今天早上妈妈买早餐一共花了多少元？4+3+2+3.5=12.5（元）。     

利用“正难则反”策略解二次函数问题

所谓“正难则反”策略,就是在解题时,如果用常规方法不易得解,则考虑从问题的反面入手. 例1 已知:三条抛物线y=x~2-x+m,y=x~2+2mx+4,y=mx~2+mx+m-1中至少有一条与x轴相交,试求实数m的取值范围.     

利用三角换元求解一类取值范围问题

文[1],文[2],文[3]研究了"实数x,y满足Ax2+ Bxy+Cy2=D时,求S=ux2 +vxy+wy2的取值范围"给出了处理的一些方法,但比较复杂,不容易掌握.受其启发,本文使用三角换元思想给出解决这类问题的一种简单解法,供同行参考.