二次方程及其相关问题的逼近求解策略

逼近是一种基本且重要的解题思想 ,伴随逼近思想并由此而产生的数学解题方法称之为逼近法 .多年来 ,在各级各类初中数学竞赛中 ,经常遇到用逼近法求解二次方程及其相关问题 .本文拟对其常见题型及解题策略做一浅略介绍 ,以飨读者 .1　利用判别式逼近 ,出奇制胜例 1　当a、b为何值时 ,方程x2 2 ( 1 a)x ( 3a2 4ab 4b2 2 ) =0有实数根 ?( 1 987年全国初中数学联赛试题 )解　因为方程有实数根 ,所以判别式Δ =4 [( 1 a) 2 - ( 3a2 4ab 4b2 2 ) ]=4 ( - 1 2a- 4ab - 4b2 ) =- 4[( 1 -2a a2 ) (a2 4ab 4b2 ) ]=- 4[( 1 -a)…     

勤于思考 求得真知

<正>数学问题中往往会有一些隐含的条件,如果在解题时考虑不周,就可能出现错误.这里举一例说明解题中勤于思考的重要性.题目已知关于x的方程(a~2-1)(x/x-1)~2-(2a+7 )-(x/x-1)+1=0有实数根,求a的取值范围.本题意图是考察一元二次方程的定义、判别式和整体换元的思想.部分学生因为是关于x的     

一元二次方程根的判别式应用四注意

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac是初中数学的一个重要知识点,本文结合例题,说说应用一元二次方程根的判别式(以下简称判别式)解题时需注意的几点.一、使用判别式的条件方程ax2+bx+c=0(a≠0)的a≠0是使用判别式的前提条件.例1 关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个实数根,求k的取值范围.分析:根据题设条件,可知Δ=[-(2k+1)]2-4k2≥0且k2≠0,解得k≥-14且k≠0. 二、方程有两个实数根与方程有实数根区别方程ax2+bx+c=0有两个实数根,则必有≠0;但方程ax2+bx+c=0有实数根,则它可有两个实数根,也可能有一个实数根,…     

巧用判别式求解高考题

<正>判别式法是数学解题中的一种常用方法,它不仅能直接用于判定一元二次方程的根的情况,而且还可以根据一元二次方程根的情况确定方程中参数的取值范围或参数间的关系.另外,判别式法作为一种数学解题方法,在解题过程中若能正确巧妙地运用,就能给人们一种简单明快、耳目一新的感觉.近几年高考中的一些选择、填空题若能采用判别式法进行求解,则可以达到化难为易,化繁为简的效果.一、以函数为背景例1(2011年浙江)设a,b,c为实数,     

判别式与求值域和极值的可靠性

一、方法与疑虑将实数集上的有理分函数y=ax~2+bx+c/a′x~2+b′x+c′①(其中分子、分母是非零多项式,且a与a′不全为零),化为关于x的方程(a-a′y)x~2+(b-b′y)x+(c-c′y)=0对于该方程,可以考虑运用根的判别式,研究函数①的值域和极值,通常称这种方法为判别式法,然而在具体解题时,经常会出现一些错误或疑虑,如     

构建一元二次方程解题

<正> 构造法是数学竞赛中常用的解题方法.本文举例说明,如何构造与一元二次方程有关的教学模型解答相关教学问题. 一、构建一元二次方程根的判别式模型例1 已知实数a、b满足a2+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2,那么t的取值范围是__.(2001年TI杯初中数学竞赛题)     

九年级“判别式和根与系数的关系”知识点解答

<正>中考数学试卷中,判别式和根与系数的关系是常考题．对于此类问题,同学们要先掌握一元二次方程综合性问题的解题思路,然后再正确使用数学思想解答问题．下面分析“判别式和根与系数的关系”知识点,并以此讲解几道解答题,希望可以帮助同学们熟练利用判别式和根与系数的关系知识点解答问题．一、一元二次方程判别式和根与系数的关系知识分析(一)一元二次方程根的判别式一元二次方程的一般式为ax²+bx+c=0(a≠0),判别式Δ=b²-4ac,当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根．     

利用一元二次方程根的判别式解题

一元二次方程根的判别式是初中数学中的一个重要内容,应用其解题是初中数学中的一种重要方法.在近年来全国各省市数学竞赛中屡见不鲜,本文举例说明其广泛应用,供参考.一、求参数值例1(2003年全国初中数学竞赛天津赛区初赛)已知二次函数y=ax2+bx+c,一次函数y=k(x-1)-k24,若它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点,则二次函数的解析式为.解:由题意得y2=ax+bx+cy=k(x-1)-k24整理得:ax2+(b-k)x+(c+k+k24)=0.又由根的判别式Δ=(b-k)2-4a(c+k+k24)=0,即(1-a)k2-2(b+2a)k+(b2-4ac)=0.(1)由于(1)中对任意的实数k均成立,故解得a=1,b=-2,c=1.二、…     

解一元二次方程的错误例析

下面收集的是同学们在解答一元二次方程问题中的典型错误,你出现过类似的错误吗? 一、忽视二次项系数不能为零 例1 (2010年荆门卷)如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根,则实数a的取值范围是____. 错解:因为方程有两个不等实根,判别式△=4-4a＞0,所以实数a的取值范围是a＜1.     

条件a+1/a=1剖析

条件式的证明和计算是初中数学中常见的习题,但由于编题者未注意到初中阶段只能在实数集中解题,以致出现超出实数集条件的题目,使学生造成不应有的错误概念。条件a+1/a就是其中之一,现以以下两个问题为例进行剖析。问题1     

用判别式法解题的注意点

判别式Δ=ｂ2 -4ａｃ的代数涵义是判别一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ =0有无实根 .随着对二次函数 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ的图象和性质研究 ,判别式的几何涵义表现为判断抛物线与ｘ轴有无交点 .作为一种重要的数学方法 ,若能正确巧妙地运用判别式法 ,就能给人们一种简单明快、耳目一新的感觉 ,但是 ,若不能正确地把握好使用判别式法解题的条件和本质特征 ,就会造成错误 .因此 ,对如何使用判别式法解题的有关问题 ,必须引起我们注意 .一、注意使用判别式法解题的条件例 1　当实数ｔ为何值时 ,方程ｘ2 + (ｔ+2ｉ)ｘ+ (2 +ｔｉ) =0至少有一个实根 ?…     

应用“■”解题的复习

已知实系数一元二次方程 ax~2 bx c=0,(a≠0)记■=b~2-4ac。当■>0时,方程有两个不相等的实数根;当■=0时,有两个相等的实数根;当■<0时,没有实数根。 上述命题中的条件对于结论既是充分的,也是必要的。■叫做一元二次方程根的判别式,它在数学解题中有广泛的应用。现举例如下:     

判别式法求参数值方法的说明

徐鸿迟老师在《数学通报》写了二文,分别纠正了用判别式法求参数值出现的错误.下面就此类错误根源作一剖析,从方法上进一步消除此类问题的误区.例1m为何值时,函数y=xx22 -22xx--3m的值域为全体实数?王和气老师在文[1]中用判别式法作了详细解答,大意是:将函数变形为:(y-1)x2 (2y     

解题分析与方法提炼——演算两次

笔者的解题分析文章 ,大多是结合现实情景 ,从“怎样学会解题”(从而怎样学会数学 )的角度谈解题思路的探求、解题过程的改进、解题成果的扩大 ,注重心路的历程和数学的特征 .本文将通过柯西不等式经典证明的分析 ,提炼出一个数量关系证明的程序———演算两次 .1　案例分析———柯西不等式证明的理解1.1　柯西不等式证明的传统认识———判别式法例 1　 (柯西不等式 )设a1、a2 、…、an,b1、b2 、…、bn 为两组实数 ,则有不等式∑ni =1 ai2 ∑ni=1 bi2 ≥∑ni=1 aibi 2 .①等号成立当且仅当已知两组数成比例a1b1=a2b2=… =anbn.②(此处约…     

怎样防范由隐含条件造成的解题错误

许多数学习题,它不是把所有的条件都直接明了地告诉学生,而是把某些条件隐含在习题的其它条件、结论或数学式子当中,学生在解题过程中,往往容易忽视这些隐含条件,而导致解题错误,造成学生错误的原因主要有以下三方面,一是分析条件不够仔细缜密,二是解题过程不够规范完备,三是解得结果不作任何检验,所以要使学生避免由隐含条件造成的解题错误,可在这三方面加以防范.1分析条件要仔细缜密由于隐含条件隐蔽性强,不易察觉,所以在分析条件时必须仔细缜密.例1已知a为实数,化简-a3-a-1a.误解-a3-a-1a=a-a-a×1a-a=(a-1)-a.剖析本题错误的原因在于忽…     

例析判别式在解题中的应用

一元二次方程根的判别式虽是初中数学学习的重点,但也是高中数学解题的重要工具,利用判别式解题在高考试题中频频出现。本文列举高考涉及到的常见题型及解法献给读者,供学习参考。1、利用判别式证明方程有实根【例1】设f(x)=3ax~2+2bx+c,若a+6+c=0     

判别式在高中数学中的应用

实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac≥0,在初中数学的学习中,学生已经掌握.但是,在高中数学中应用判别式的等价性解决问题仍是高中数学中的难点之一,不少学生在学习中可能产生障碍,甚至出现一些错误.因此,判别式应用中的等价性问题,应引起师生的充分重视.1 使用判别式求函数的值域(最值)     

一道例题的正确解法

本刊86-1期解题方法技巧专栏里刊登了解启发《抓住结构特点灵活解题》一文,文中有这样一道例题:例5 在实数范围内解方程原文解答有错误,解答中令由f(x)与g(x)互为反函数,从而两个函数的图象关于直线y=x对称,因此两图象的交点必在直线y=x上,于是令     

对任意实数恒成立的不等式中 求参数值的方法和技巧

含参数的不等式中常常出现对任意实数恒成立,求此参数之值。这类题涉及知识面广,技巧较高,学生解题颇感棘手,下面略谈几种常用方法和技巧。一判别式法例1 若f(x)=x~2+(2+1ga)x+1gb,且f(-1)=-2,又对任x∈R,f(x)≥2x恒成立。求a+b(1990年北京市高一数学竞赛复赛试题)。     

根的判别式的应用

正一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式是b2-4ac,通常用符号"Δ"来表示.当Δ0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ0时,方程没有实数根;反之也成立.判别式不仅用来判断一元二次方程根的情况,也可以解决其他数学问题.