几何不等式

平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系，由于这些不等关系出现在几何问题中，故称之为几何不等式。     

几何不等式

高中课外讲座,竹者刘玉翘。在各级数学竞赛中,常常出现有关几何不等式的题目。解答几何不等式的问题,既可用几何方法,又可用三角方法和代数方法。本文结合国内外数学竞赛,介绍了以上方法,分析了解题思路,并对三种解题方法进行了比较。关心这个问题的读者,将从本文得到启发。     

几何不等式

涉及到几何量的不等式称为几何不等式,几何不等式的内容极为丰富,本文只拟就初中范围内讲一些证明几何不等式的方法。证明几何不等式除了应用不等式的基本性质和已经证明过的不等式外,还要注意几何图形的特点,尤其是一些其本的几何不等关系,如连接A、B两点的最短线是线段AB,特别地是三角形两边之和大于第三边;在三角中大角对大边;在直角三角形中斜边大于直角边;在同一圆中,两条劣弧中较大的所对的弦也较大,反过来也对,等等。一、利用基本的几何不等关系证题     

几何不等式

平面图形中的几何量 ,包含线段的长度、角的大小以及图形的面积 .每类几何量之间均存在许多的相等关系和不等关系 .研究这些不等关系就构成了几何不等式的内容 .一、基础知识1 .线段不等式( 1 )如果Ａ、Ｂ、Ｃ为任意三点 ,则ＡＢ≤ＡＣ ＢＣ .并且仅当Ｃ点位于ＡＢ线段上时等号成立 .这样就有三角形两边之和大于第三边 ,任两边之差的绝对值小于第三边 .( 2 )三角形中 ,大角 (边 )对大边 (角 ) .( 3)两组对边对应相等的两个三角形中 ,夹角 (第三边 )大的第三边 (夹角 )也大 .( 4)三角形一边上的中线小于另外两边之和的一半 .2 .角的不等式( …     

几何不等式

几何不等式的证明较之等式证明,对于中学生来说是比较困难的课题。其所以感到困难,就是因为证这类题时不仅要求学生对一些几何不等量的性质能牢固掌握,还要求学生有较强的综合运用数学中各方面的知识解决问题的能力。证这类题时涉及到的知识面广,灵活性大。例1 设ABCD为任意给定的四边形,边AB、BC、CD、DA的中心分别为E、F、G、H,证明:四边形ABCD的面积     

几何不等式

几何问题中除了相等关系之外，还有大量不等关系的问题，我们把几何问题中出现的不等式称为几何不等式，在平面图形中，几何不等式主要包括长度、角度、面积三个方面，本节重点是长度、角度方面的不等式。由于几何中最大（小）值与几何不等式密切相关，因此也放在这节中一起讨论。     

几何不等式初步

几何中表示量的不等关系的式子叫做几何不等式，几何不等式就其形式来说分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类．下面给出一些基本的几何不等式性质．     

几何不等式初步

几何中表示量的不等关系的式子叫做几何不等式。几何不等式就其形式来说分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类．下面给出一些基本的几何不等式性质．     

一类几何不等式

自《几何不等式》(O.Bottema等著,单壿译,北京大学出版社1993年版)出版以来,几何不等式研究异常活跃。在研究中,我们经常会遇一类带参数的不等式,如Oppenheim不等式,它们的证明并不是太容易。本文试图从实二次型的角度提供一个新的处理方法。     

一个几何不等式

定理 设r_a、r_b、r_c、t_a、t_b、t_c分别为△ABC的旁切圆半径和角平分线长,则     

一个新几何不等式

定理　设Ｐ是△ＡＢＣ平面一动点 ,ＢＣ=ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ.则有ＰＡａ ＰＢｂ ＰＣｃ ≥ ∑ａ2∑ｂ2 ｃ2 . ( 1 )为证式 ( 1 ) ,先给出两个引理 .引理 1 [1] 　设ｘ、ｙ、ｚ∈Ｒ .在△ＡＢＣ中 ,有(ｘ ｙ ｚ) (ｘＰＡ2 ｙＰＢ2 ｚＰＣ2 )≥ａ2 ｙｚ ｂ2 ｚｘ ｃ2 ｘｙ . ( 2 )引理 2 [2 ] 　在△ＡＢＣ中 ,有ＰＢ·ＰＣｂｃ ＰＣ·ＰＡｃａ ＰＡ·ＰＢａｂ ≥ 1 . ( 3 )式 ( 2 )即著名的Ｋｌａｍｋｉｎ不等式 ,式 ( 3 )是我们熟知的Ｈａｙａｓｈｉ不等式 .定理证明 :在式 ( 2 )中 ,令ｘ =1ａ2 ,ｙ =1ｂ2 ,ｚ =1ｃ2 ,得　 Ｐ…     

介绍一个几何不等式

1.问题的提出 Walther Janous 1986年在Crux Mathen(?)aicorum,Vol.12,No.4上提出一个几何不等式: 命题一设三角形的三边为a,b,c,S=(a b c)/2,中线为m_a,m_b,m_c,则 1/m_a 1/m_b 1/m_c≥(3(3~(1/2)))/S. (1) 这样的不等式并不难构造,实际上,只要取一个关于a,b,c,对称的零次齐次函数F(a,b,c),算出它在a=b=c(即三角形     

几何不等式及其应用

我们知道，对于任意实数a、b，都有a^2 b^2≥2ab.     

一个新的几何不等式

本文先给出三角形的外接圆半径、内切圆半径与面积之间的一个不等式 .定理 1　若三角形的外接圆半径为Ｒ ,内切圆半径为ｒ,面积为Ｓ ,则Ｒｒ≥2 39Ｓ .证　设△ＡＢＣ的三边长为ａ、ｂ、ｃ,由Ｓ =ａｂｃ4Ｒ ,得　 1ａｂ 1ｂｃ 1ｃａ=ｃ4ＲＳ ａ4ＲＳ ｂ4ＲＳ=ａ ｂ ｃ4ＲＳ =ａ ｂ ｃ4Ｒ·12 (ａ ｂ ｃ)ｒ=12Ｒｒ,即　 1ａｂ 1ｂｃ 1ｃａ=12Ｒｒ. ( 1)∵　Ｓ =12 ａｂｓｉｎＣ =12 ｂｃｓｉｎＡ =12 ｃａｓｉｎＢ ,∴　 1ａｂ 1ｂｃ 1ｃａ=ｓｉｎＣ2Ｓ ｓｉｎＡ2Ｓ ｓｉｎＢ2Ｓ　　 =ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ2Ｓ .又易证　ｓｉ…     

一个新的几何不等式

定理 在四边形ABCD中,对x,y,z,w∈R~ ,则 xsinA ysinB zcosC wcosD     

一个几何不等式链

文[1]证明了如下不等式：     

一类线性几何不等式

应用Fermat问题的结论，证明平面上一动点到三角形三顶点距离之和的一个线性不等式，并给出几个推论．     

证一个几何不等式

文[1]指出:设△ABC的角平分线长和旁切圆半径分别为t_a、t_b、t_c,r_a、r_b、r_c,且当λ>0时有 本文将证明以下一个不等式,来得出(1)在λ=-1时也能成立.     

一个高维几何不等式

本文将关于三角形几何不等式的一个猜想推广到n维欧氏空间E^n中的n维单形，从而建立了一个高维几何不等式，并推广了Gerber不等式。     

一个新的几何不等式

定理在△ABC中,角A、B、C所对的边为a、b、c,△为其面积,且x,y,z是任意实数,则 x^2＋y^2＋z^2≥4△√x^2y^2＋a^2b^2＋y^2z^2/b^2c^2＋z^2z^2＋c^2a^2