零与除法

零和被除数、除数以及商的概念非常重要,而学生往往难于理解和掌握。教师必须根据零和乘法、除法的意义列举一些实际例子帮助同学分析和推理。零与被除数。在乘法里已知0乘以任何数都得0,如0×4=0。这个乘法算式中:积是0,两个因数分别是0和4。如果反过来要求0这个因数呢?根据除法的意义,已知积和其中一个因数,求另一个因数,而积是被除数,就得到0÷4=0。通过此例可以说明:零是可以做被除数的,零除以一个任何不等于0的数结果都得0。     

高中数学新教材第五章教学问答(二)

10 5.在教学平面向量的数量积及其运算律时 ,要注意些什么 ?答 :( 1 )向量的数量积是向量之间的一种乘法运算 .它是向量与向量的运算 ,结果却是一个数量 .( 2 )当ａ≠ 0时 ,ａ·ｂ =0不能推出ｂ =0 ,因为ａ·ｂ=0的充要条件是ａ⊥ｂ .( 3)由ａ·ｂ =ｂ·ｃ不能推出ａ =ｃ.例如 ,当ａ =0 ,ｂ⊥ｃ时 ,ａ·ｂ =ｂ·ｃ=0 ,但推不出ｃ=0 .( 4) (ａ·ｂ)ｃ不一定等于ａ(ｂ·ｃ) ,因为前者与ｃ共线 ,后者与ａ共线 ,而ｃ、ａ不一定共线 .( 5)由 |ａ|=ａ·ａ ,ｃｏｓθ =ａ·ｂ|ａ|·|ｂ|,以及ａ·ｂ =0 ａ⊥ｂ ,可知平面向量的数量积可用来处理有关…     

一类不等式的推广及应用

高中课本以例、习题的形式给出了下列不等式 :已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,并且ａ≠ｂ ,求证 :ａ5 ｂ5>ａ3 ｂ2 ａ2 ｂ3 ;ａ4 ｂ4 >ａ3 ｂ ａｂ3 ;ａ3 ｂ3 >ａ2 ｂ ａｂ2 .其实 ,这一类不等式有如下更一般的形式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ ,ｐ·ｑ∈Ｒ ,则　　ａｐ ｑ ｂｐ ｑ ≥ａｐｂｑ ａｑｂｐ,(1)其中等号当且仅当ａ=ｂ时取得 .证明　由 ｐ·ｑ∈Ｒ ,知幂函数 ｙ =ｘｐ 和ｙ =ｘｑ 在 (0 , ∞ )上同为增函数或同为减函数 ,则当ａ ,ｂ∈Ｒ 时 ,ａｐ-ｂｐ 与ａｑ -ｂｑ 总是同号或同时为零(当且仅当ａ=ｂ时 ,ａｐ-ｂｐ =0 ,ａｑ-ｂｑ =0 ) ,从而(ａｐ-…     

“商不变性质”教学设计

商不变性质是小学数学中一个重要性质,主要教学过程可分为以下三步.首先,教师给每个学生发大小方格纸各一张,大纸12格,小纸4格.指导学生按以下顺序边折边算,初步理解"扩大"缩小"的含义.1.大纸方格数除以小纸方格数,商是多少?(12÷4=3)2.大小纸同时对折,大纸上的方格数除以小纸上的方格数,商是多少?(6÷2=3)3.大小纸再同时对折,大纸上的方格数除以小纸上的方格数,商是多少?(3÷1=3)4.大小纸上的方格数分别乘以2再相除,商是多少?(24÷8=3)     

应用除法性质巧算小数乘除算式

问题:计算5795.5795÷5.795×579.5。(小学数学奥林匹克总决赛题)这是一道小数乘除混合运算的巧算题。解题关键是弄清乘除混合运算添括号的性质和分数与除法的关系。性质:二数的商乘以某数,等于某数除以除数的商乘被除数。即:a÷b×c=a×(c÷b)。关系:被除数÷除数=被除数除数解题方法:方法一应用乘法分配律。方法二应用上面性质。方法三化成分数计算。解题:方法一原式=5795579.5÷5795×579.5=1000.1×579.5=(1000+0.1)×579.5=579500+57.95=579557.95方法二原式=5795.5795×(579.5÷5.795)=5795.5795×100=579557.95方法三原式=5795.57955…     

高中数学新教材第五章教学问答(二)

(续上期 )1 0 5　在教学平面向量的数量积及其运算律时 ,要注意些什么 ?(注 :本章均用黑体字母表示向量 ,如ａ即ａ ,ＡＢ即ＡＢ 。)答 :(1 )向量的数量积是向量之间的一种乘法运算。它是向量与向量的运算 ,结果却是一个数量。(2 )当ａ≠ 0时 ,ａ·ｂ =0不能推出ｂ =0 ,因为ａ·ｂ=0的充要条件是ａ⊥ｂ。(3 )由ａ·ｂ =ｂ·ｃ不能推出ａ =ｃ。例如 ,当ａ =0 ,ｂ⊥ｃ时 ,ａ·ｂ =ｂ·ｃ=0 ,但推不出ｃ=0。(4 ) (ａ·ｂ)ｃ不一定等于ａ(ｂ·ｃ) ,因为前者与ｃ共线 ,后者与ａ共线 ,而ｃ、ａ不一定共线。(5 )由 |ａ|=ａ·ａ ,ｃｏｓθ =ａ·ｂ|ａ…     

平面向量学习纲要

一、向量的概念向量是既有大小又有方向的量 .向量不同于数量 ,向量运算法则与数量运算法则既有相似的地方 ,也有不同的地方 .我们要特别重视向量运算法则与数的运算法则的差别 .这些差别概括如下 :(1 )数可以比较大小 ,向量因为有方向不能比较大小 .(2 )向量运算中没有定义除法 ,故ａ·ｂ=ａ·ｃ(ａ≠ 0 )不一定有ｂ=ｃ.(3 )向量的数量积不满足结合律 ,即 (ａ·ｂ)·ｃ≠ａ· (ｂ·ｃ) ,因此 (ａ·ｂ) 2 ≠ａ2 ·ｂ2 .(4)向量平行与直线平行是两个不同的概念 .向量平行时其中之一可以是 0向量 ,或表示两向量的有向线段可以平移到同一条直线…     

鼓励算法多样化——《一个数除以分数》教学片断赏析

犤案例犦人教版九年义务教育六年制小学数学第十一册“一个数除以分数”教学片断。……在课末小结时,教师问:“哪位学生能帮老师总结出一个数除以分数的法则?”话音刚落———生1:“一个数除以分数”等于这个数乘以分数的倒数。如,1415÷310=1415×103=289。师:前面讲的分数除以整数和一个数除以分数的计算法则,可以概括成一个统一的分数除法的计算法则吗?生2:前面讲的分数除以整数和一个数除以分数的法则,可以统一概括成分数除法的法则,即甲数除以乙数(0除外)等于甲数乘以乙数的倒数。师:讲得很好,请同学们再想一想,还有什么计算方法?学生…     

“有关0的除法”教学案例及分析

案例:教师出示0×8、100×0、0×0三道算式,让学生根据这些乘法算式,说出每题相对应的两道除法算式。然后把学生的回答板书在黑板上,让学生观察。师:写出了这么多的算式,怎样分类呢?生:分两类,0÷8和0÷100是一类,其余的是一类。板书:0×8=00÷8=00÷0=8100×0=00÷100=00÷0=1000×0=00÷0=01.师:让我们先来研究研究0÷8和0÷100这两题。谁知道0÷8、0÷100为什么都等于0吗?(生马上举起了小手)生:因为0和8、0和100相乘都等于0,所以0除以它们都等于0。师:噢,你是通过想乘法得到答案的,你真善于思考!大家还能像他这样举出其他的例子吗?生:因…     

0为什么不能作除数

0不能作除数,这是为什么呢？假设0能作除数,则由m÷0有商为n及乘除法的逆运算关系有：0×n＝m．（*）对于m来说,它只可能是0或者是不为0的数,于是有如下两种情况：（1）当m＝0时,（*）式变为0×n＝0．因为0乘以任何数都得0,所以n可以为任意数,即0＋0的商可以是任意数,即0＋0的答案不确定;（2）当m≠0时,比如取m＝3,（*）式变为0×n＝3,因为0乘以任何数都得0,不会得3,也就是找不到这样的数n,便0×n＝3成立,或者说3÷0的商不存在．综合（1）、（2）两种情况可知,任何数除以比其答案或不确定,或不存在．因此,0不能作除数．0…     

谈谈零指数和负整数指数幂的学习

同底数幂相除,当被除式的指数等于或小于除式的指数时,仿照同底数幂的除法性质,出现了零指数和负整数指数,教科书对零指数和负整数指数幂的意义作了如下规定: (1)任何不等于0的数的0次幂都等于1,即a~0=1(a≠0); (2)任何不等于0的数的-P(P是正整数)次幂等于这个数     

一道题解的正误辨析

不难看出,A教师是根据学生的知识水平,采用课本上的方法,利用除法运算中被除数、除数和商三者之间的关系求解的。即先把方程中的2x看成一个数(除数)根据除数等于被除数除以商的关系,将等式变形为2x=3÷6,再由因数乘以因数等于积的关系,最后求出未知数x的值。     

两种探究的对比与反思

案例一:在教学“数的整除”一课时,有位老师设计了这样一个小组探究活动。上课一开始,老师问学生:“同学们,你能写出一个除法算式吗?”学生纷纷举手回答,老师挑了10÷5=2,20÷3=6…2,1.2÷3=0.4,0.6÷0.2=3,6÷5=1.2,250÷5=50,13÷6=2…1,0.16÷0.8=0.2这样八道除法式子写在黑板上。然后以小组为单位,让学生进行自由分类。学生讨论得很热烈,大多数学生根据商是小数还是整数把除法式子分成两类,有的根据有没有余数分成两类,有的根据小数除法、整数除法和有余数的除法分成三类……真是议论纷纷,答案五花八门。案例二:以下是一例教学“圆的认…     

“0”为什么不能做除数?

在数学教学中,讲到除法时,常说“零做除数没有意义”或“规定零不能做除数”。究竟“零为什么不能做除数”呢?这可从两个方面谈起: 一、当被除数是零,除数也是零时,我们可写成0÷0=x的形式,看商x是什么?根据乘法与除法互为逆运算的关系有: 被除数=除数×商。这里除数己为零,商x无论是什么数(是正数、负数、零等)、与零相乘都等     

奇妙的循环数(初一)

问题的发现 1÷99一O.010101… 2÷99—0.020202… 1 6÷99一O.16161 6… 17÷99—0.171717… 55÷-_99—0.555555… 98÷99一O.989898… 循环规律 当1、2、3、…、9除以99时。循环节分别是01、02、…、09.即在数字前面加一个O; 当两位数除以99时,循环节就是这个两位数。如67÷99时,结果为0.676767… 问题的拓展因为 100÷99=1……l,所以 1()()÷99:1.010101…因为所以因为所以 101÷99101÷99=256÷99256÷99==1……2.1.020202…=2……58.2.585858… 当大于99的数除以99时。余数就是它的循环节,比如125除以99的商是1,余数是26.所以结果是…     

平面向量教学中的两点浅见

平面向量是高一数学试验教材中的新增内容 ,怎样教好这章内容 ?大家都在摸索 .笔者根据自己的课堂教学实践 ,浅谈两点体会 .1　深入挖掘数学思想1 .1　数形结合思想向量是数形交融的典型知识 ,数形结合思想在本章中体现得淋漓尽致 .例 1　平面向量数量积的分配律 ( ａ+ ｂ)· ｃ= ａ· ｃ+ ｂ· ｃ ,教材是用图形证明的 .为什么要构造图形 ?怎样构造图形 ?笔者作如下分析 .要证 ( ａ+ ｂ)· ｃ= ａ· ｃ+ ｂ· ｃ ,即要证｜ ａ + ｂ｜｜ ｃ｜ｃｏｓθ =｜ ａ｜｜ ｃ｜ｃｏｓθ1+ ｜ ｂ｜｜ ｃ｜ｃｏｓθ2 ,其中θ、θ1、θ2 分别是 ａ…     

分式的运算中考题精选

一、填空题1 化简 (ａｂ -ｂ2 )÷ａ2 -ｂ2ａ +ｂ 的结果是 . (2 0 0 1年湖北省黄冈市中考题 )2 计算 1+ 1ｘ - 1÷ ｘｘ2 - 1=. (2 0 0 1年湖北省十堰市中考题 )3 已知实数ｘ满足ｘ2 + 1ｘ2 +ｘ + 1ｘ=0 ,那么ｘ + 1ｘ的值为 .(2 0 0 1年浙江省金华市衢州市中考题 )二、单项选择题1 计算 2ｘｘ2 - 1+ 11-ｘ的结果正确的是 (　　 ) .(Ａ) 1ｘ + 1　　　　 (Ｂ) 3ｘｘ2 - 1　　　　 (Ｃ) 1　　　　　 (Ｄ) 3ｘ (2 0 0 1年北京市崇文区中考题 )2 下列计算正确的是 (　　 ) .(Ａ) ａａ -ｂ=- ａａ +ｂ (Ｂ) 2ｘ÷4ｘ=12(Ｃ) ａ2ｂ2 =ａｂ (Ｄ…     

数字游戏三则

奇妙的“9” “9”这个数,特别奇妙,它与任何数相乘所得积的各位数字之和,必定等于9。 例:9×2=18 1+8=9 9×5=45 4+5=9 9×3=27 2+7=9 9×6=54 5+4=9 9×4=36 3+6=9 9×7=63 6+3=9 它并非仅限于1——9的数相乘。它与任何数相乘,所得积的各位数字之和都等于9。(如果积的各位数字相加之和不等于9,而是两位烽或多位数,可     

进行有理数乘、除运算的几个策略

一、先定符号,再相乘例1计算:-116×-115×-114×-113×-112.分析几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定:负因数有奇数个,积为负;负因数有偶数个,积为正.积的符号确定之后,其余运算与小学的求积方法相同.原式=-76×65×54×43×32=-72=-312.二、将乘除混合运算统一化成乘法例2计算:178÷(-10)×-313÷-334.分析将乘除混合运算中的除法转化为乘法,难度下降,不易出错.原式=158×-110×-103×-415=-158×110×103×415=-16.说明本题第一步除法转化为乘法,第二步定积的符号.如果熟练的话,还可将这二步并成一步同时完成,使运算更简捷!…     

初二代数期末测试题

一、判断题 (10分 )1 只有正数才有算术平方根 (　　 )2 若ｘ2 =ａ(ａ≥ 0 ) ,则ｘ是ａ的平方根 (　　 )3 ａ(ａ≥ 0 )是二次根式 (　　 )4 任何实数都能在数轴上找到一个点和它相对应 (　　 )5 任何一个数ａ的平方根都可表示为±ａ(　　 )6 若实数ａ和ｂ互为相反数 ,则ａ ｂ =0 (　　 )7 ａ·ｂ =ａｂ(　　 )8 ａｂ =ａｂ(　　 )9 一定要将所给各二次根式化为最简二次根式后才能判定它们是不是同类二次根式 (　　 )10 有理数是整数、分数和零的总称 (　　 )二、填空题 (2 0分 )1 已知 :ｘ2 =0 .0 2 ,ｘ =。2 下列各数 :5,3 4 ,2 07,- …