文理兼容 和谐共进——一道哲学诡辩题的数理分析

芝诺是古希腊一个极善于诡辩的哲学家。他有一个众人皆知的阿基里斯永远追不上乌龟的诡辩。内容是这样的:阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。假设乌龟先爬一段路,然后阿基里斯去追它。芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟。因为,前者在追上后者之前必须先到达后者的出发点,可是,这时后者又向前爬了一段路了。于是前者又必须赶上这段路,可后者又向前爬了。由于阿基里斯和乌龟之间的距离可依次分成无数小段,因此阿基里斯虽然越追越近,但永远追不上乌龟。     

一个数学悖论的极限处理

古希腊埃利亚派哲学家艺话提出过这样一个著名的数学掉论：阿基里斯追不上一只乌龟。又称之为芝诺诡辩。此数学悻论的大意是：阿基里斯是一个非常能走的神仙,他走路的速度要比乌龟快得多,尽管如此,但艺诺断言,在一定条件下,阿基里斯永远也追不上一只乌龟。条件是,起初同基里斯与乌龟相距一定的距离,然后同时向同一方向行走。当阿基里斯走到乌龟的出发点时,乌龟又向前走了一段路程,到了新的出发点。当阿基里斯走到乌龟的新出发点时,虽然乌龟的速度很慢,乌龟还是又向前爬行了一段路程。依此类推,每当阿基里斯走完他和乌龟之间的相…     

数列极限“ε—N”定义的教学设计

本文通过以下环节的教学设计,帮助学生理解数列极限“ε-N”定义。 1巧设引例,激发学生的兴趣 引例 阿基里斯追龟说 阿基里斯是《史诗》中的英雄,以善跑著称,希腊的芝诺说阿基里斯追乌龟,永远追不上．比方说,阿基里斯的速度是龟的10倍,     

长跑冠军赶不上乌龟

在古希腊的哲学家中,有一他特别擅长诡辩的怪才,名叫芝诺,仅仅凭着几个小故事,他既说明了深奥的哲学问题,又为自己在哲学史上留下了特别的地位。故事之一:阿基里斯赶不上乌龟。阿基里斯是古希腊的长跑名将,曾经在西伯罗奔尼撒举行的奥林匹克竞技中赢得桂冠,在崇尚体育的古希腊,他是位大名鼎鼎的英雄。可是,芝诺却说,阿基里斯不管跑得有多快,他都赶不上一只乌龟。芝诺假定乌龟沿着跑道先爬出一百米,然后让阿基里斯起跑。当然,神速的阿基里斯用不了多久就会赶到乌龟起跑的地方,可是,这时乌龟已经又向前爬出了一段距离,     

找准对应分率亦可解此题

贵刊2006年第4期刊登了黄熠华老师的《用算术方法解世界名题》一文,笔者拜读后,受益匪浅。文中的例3黄老师是用“无限循环小数化分数”的知识解答,其实该题只要找准对应分率亦可解答,并且小学生容易理解。题目:阿基里斯(古希腊神话中跑得最快的人)追赶一只乌龟,他的速度是乌龟速度的10倍。乌龟在阿基里斯前1里处,当他追到此处时,乌龟向前爬了110里;当他追了110里时,乌龟仍向前爬了1100里……这样下去,阿基里斯永远也追不上乌龟。这种说法对吗?为什么?分析与解答:这是一道追及问题的应用题,阿基里斯一定能追上乌龟。根据题意,画出线段图:1里…     

阿溪里追龟说

古希腊埃利亚学派的芝诺(公元前490～公元前430)是一位诡辩学家,他曾提出“阿溪里追龟说”,企图证明运动是假的. 传说阿溪里是神话中善走如飞的人,然而芝诺却说,他永远也追不上步履迟缓的乌龟.为了表明芝诺的意见,不妨假设阿溪里的速度十倍于龟.现在让龟先走100米,阿溪里开始追逐,当阿氏行了100米时,龟已前进10米,     

探究芝诺悖论——阿喀琉斯能否追上乌龟

在人教版高中数学标准实验教材中,介绍了古希腊数学家芝诺提出的一个悖论:阿喀琉斯追不上乌龟(阿喀琉斯是希腊传说中的擅于跑步者).芝诺提出,如果让乌龟先跑一段路程,阿喀琉斯将永远追不上乌龟.这是因为,阿喀琉斯要想追上乌龟,就必须先跑到乌龟开始起跑所在的位置,无论阿喀琉斯跑得多快,当他追到乌龟起跑的位置     

长跑健将追不上乌龟

龟兔赛跑的故事,儿童时代就听说过了。 骄傲的兔子由于在中途睡了一觉,结果被乌龟 超过。谁都知道,假如兔子不睡觉,那一定会追 上乌龟取得第一名的。然而,古希腊哲学家芝 诺(约前490-约前436),却出人意料地提出 这样一种观点:乌龟爬得再慢,阿基里斯(古希 腊联军中的猛将,跑得很快)也永远追不上它。     

动脑筋

免子永远追不上乌龟吗?兔龟赛跑,假定兔子在乌龟之后100米,它们同时出发.兔子的速度是乌龟速度的一百倍.有人说,兔子永远追不上乌龟,理由如下:因为兔子的速度百倍于龟,所以当兔子跑了100米,乌龟也爬了一米.兔子再跑一米时,乌龟又爬了1/100米.兔子赶上1/100米时,乌龟又爬了万分之一米.这样追下去,乌龟永远在兔子前面,即兔子永远追不上乌龟.请你想一想错在哪里?     

无穷之旅

1．几则悖论 数学与无穷有着不解之缘,早在古希腊时期人们就开始关注无穷,而谈到无穷,不能不提到古希腊哲学家芝诺的阿基里斯与乌龟的悖论．     

假如时间倒流

据说,下面是一道“既繁又难”的问题:在同一条公路上有两辆汽车同向而行.开始时甲车在乙车前4千米,甲车以每小时45千米的速度前进,乙车以每小时60千米的速度前进.问乙车赶上甲车的前1分钟两车相距多远.这是一道追及问题,习惯思路是先考虑两辆汽车的开始位置,然后再顺着时间推算才能解出.也就是说,先求出追及所需要的时间:4000÷(60000÷60-45000÷60)=4000÷250=16(分),然后再算出追及前1分(即追了15分)时乙车已追赶的距离:(见图1)(60000÷60-45000÷60)×(16-1)图1=250×15=3750(米).因此,在追及前1分钟,两车相距4000-3750=250(米).以上是…     

学数学要做到一丝不苟(2)

追龟记责任编辑/沈红艳bbshy@e172.com兔子跑得快,而乌龟却步履迟缓.一天,乌龟对兔子说:“你让我先走一段,然后再起步追我.不过,你是永远也追不上我的.”兔子很生气:“那我们就试试吧!”一位年老的智者在一旁却说:“不要试了,兔子的确是永远也追不上乌龟的.”下面就是这位智者的理由(如右图):先让乌龟从起点走完一段路,到达甲地,然后兔子从起点追赶乌龟.当兔子跑到甲地时,乌龟已经走到乙地,因此,兔子在甲地是追不上乌龟的.于是,龟、兔在各自的起点又向前跑,当兔子跑到乙地时,也赶不上乌龟,因为这时乌龟又向前走了一段路,到达丙地.兔子又向前…     

追龟记

兔子跑得快,而乌龟却步履迟缓.一天,乌龟对兔子说:“你让我先走一段,然后再起步追我,不过,你是永远也追不上我的.”兔子很生气:“那我们就试试吧!”一位年老的智者在一旁却说:“不要试了,兔子的确是永远也追不上乌龟的.”下面就是这位智者的理由:图1如图1,先让乌龟从起点走完一段路,到达甲地,然后兔子从起点追赶乌龟.当兔子跑到甲地时,乌龟已经走到乙地,因此,兔子在甲地是追不上乌龟的.于是,龟、兔在各自的起点又向前跑.当兔子跑到乙地时,也赶不上乌龟,因为这时乌龟又向前走了一段路,到丙地.兔子又向前追赶.当兔子赶到丙地时,乌龟又向前走了…     

聪明泉

古希腊哲学家芝诺(公元前490-前430年)曾提出了一个“阿西里追乌龟”的有趣问题。阿西里是希腊神话中一个善走的神,可是芝诺却说,虽然阿西里行走的速度百倍     

芝诺的圆圈与朗道的图形

古希腊哲学家芝诺,其学术水平、论辩技术均名扬四方。他著名的悖论“追赶者”命题曾难住了后世无数学者．即因为追赶者必须先跑到被追者的出发点．但到达被追者的出发点,又有新的出发点以及无限个这样的出发点在前面,所以“阿喀琉斯永远赶不上乌龟”。     

简单的难题

[ 例题] 孟浩家离学校300 米，他每分钟 走50 米。一天上学时走了100 米，忽然想起 忘了带劳动工具。便仍按原来的速度回家拿 工具。请问：这次上学，孟浩共用了多少分 钟？ [ 分析] 因为孟浩走到中途又返回一次， 许多人在这个关键的地方往往搞错，所以， 有的说他多走100 米，算成共用8 分钟，有 的说他多走300 米，算成共用12 分钟。其实， 他只多走了两个100 米，因为每次上学都得 从家里出发呀。 [ 解法1] 300 ÷50+100 ×2 ÷50=10（分） [ 解法2] 〔（300-100）+100 ×3 〕÷50 =（200+300）÷50 =10（…     

关于“3x+1”猜想的一点思考

“3x +1猜想”大约诞生在 2 0世纪 30年代 ,发现者已难考证 ,题目是 :“任取一个非零自然数 ,如果它是偶数 ,则除以 2 ;如果它是奇数 ,则将它乘以 3加 1 ,这样反复运算 ,最后结果必然是 1”.如取 x =5,则5→ 5× 3 +1 =1 6→ 1 6÷ 2 =8→ 8÷ 2 =4→ 4÷ 2 =2→ 2÷ 2 =1 .再如取 x =6,则6→ 6÷ 2 =3→ 3× 3 +1 =1 0→ 1 0÷ 2 =5→ 5× 3 +1 =1 6→ 1 6÷ 2 =8→ 8÷ 2 =4→ 4÷ 2 =2→ 2÷ 2 =1 .不管你取什么非零自然数 ,依照上面规则 ,最后都得到 1 ,这个猜想让世界上许多数学家着迷 ,日本东京大学米田信夫用计算机验算 x =2 40 (大…     

逻辑思维与直觉思维解题举隅

1.父子二人都是工人,从家到工厂父行全程要40分钟,子行全程要30分钟。如果父先离家5分钟,儿子再出发要走几分钟才能追上父?逻辑思维方法:本题属行程追及问题,追及距离是父先走5分钟所行路程。5÷40=1/8,速度差是1/30-1/40=1/120。所以追及所需时间列式是5÷40÷(1/30-1/40)=1/8÷1/120=15(分钟)。直觉思维方法:因为父先行5分钟,则比子晚到5分钟,追及时应是子行途中的中点。所以列式30÷2=15(分钟)。 2.某工厂生产一批零件,原计划每天生产400个,18天完成。现工作效率提高了20％,实际需要几天完成?逻辑思维方法:先求计划零件总数,再求实际每     

书的故事:《荷马史诗》(三) 阿基里斯参加战斗

阿基里斯是英雄珀琉斯和海洋女神忒提斯生的儿子。在他刚出生时，母亲就倒提着他，把他浸在阴间的冥河里。别担心，母亲不是要淹死他，而是浸了冥河的水，就可以刀枪不入，比现在的防弹衣还要管用。可是，当母亲抓住他的脚时，他的脚跟没有浸到水。这是个秘密，这个秘密现在只有我们知道。阿基里斯是英雄和女神的后代，当然很英勇。他小时候又拜吉隆为师，学习骑马和射箭。吉隆可不是一般人，他的上半身是人，下半身是马，人们管他叫人马怪。希腊的主帅是阿伽门农，他在出征前请预言家预言。预言家说，特洛伊一定会被攻下，但要有勇…     

例谈“旧题新做”与“新题旧做”的作用

所谓“旧题新做” ,就是充分运用所学的新知识 ,去思考探索以前的例题和习题的新解法。例 1　有 60 0 0块砖用小卡车运 ,要运 1 5次。如果改用大卡车运 ,可以少运 5次。大卡车比小卡车每次多装多少块 ?(第九册Ｐ66第 9题 )当时教学一般复合应用题时是这样解的 :60 0 0÷ ( 1 5-5) -60 0 0÷ 1 5当教学列方程解应用题时 ,可引导学生用方程法解答 :设大卡车比小卡车每次多装ｘ块。可列出以下几个方程 :( 1 ) 60 0 0÷ 1 5 ｘ =60 0 0÷ ( 1 5-5)( 2 ) 60 0 0÷ ( 1 5-5) -ｘ=60 0 0÷ 1 5( 3 ) ( 60 0 0÷ 1 5 ｘ)× ( 1 5-5) =60 0 0当教学分…