实数连续性的若干个等价命题

归纳罗列了反映实数连续性的十二个命题,并对其逻辑等价性给出一种比较简洁的证明。而且不加证明地给出了另外四个等价命题。这样我们就可以将十六个命题中的任一个命题作为实数的连续性公理(完备性公理),建立实数的公理体系。     

一个小型公理系统的例子及中学几何公理系统的水平

几何学的对象是对物质世界的对象加以理想化、抽象化而得出的。几何学作为一种逻辑的演绎结构的组织,是以一组不加以证明的公理,即基本对象和关系的最初假定为基础的。而公理是几何对象在客观世界具体对象的性质的一种抽象表达。因此公理系统作为逻辑推理的基础,不能随心所欲地构筑,公理化不是搞无意义的游戏。关于公理系统的基本问题,就是一个完善的公理系统应该满足的条件。 希尔伯特认为:公理的选取要符合三条要求。即①相容性。②独立性。③完备性。相容性是指公理的集合应是无矛盾的,独立性是指公理之间不能互相推出,完备性是指对这个系统不能再增加独立的新公理。 希尔伯特给出的欧氏几何公理系统是相容的、独立的、完备的。但要具体证明欧氏几何     

谈谈循环论证

中学平面几何采用的是欧几里得公理系统.这个公理系统,从一些基本概念和公理出发,推出了一系列的定理.其中每一个定理,都是依据基本概念、公理、定义,或者前面已经证明过的定理来证明的.     

第四讲 几何学中的辩证法

几何学是研究物体的形状、大小和相互位置的科学。几何学是以现实世界中的空间形式为其研究对象的。在几何学中处处都有辩证法。下而就几个有代表性的问题论述一下。公理恩格斯指出:“数学上的所谓公理,是数学需要用作自己的出发点的少数思想上的规定。”而旧的数学课本给公理下的定义是:“不加证明而采用的真理。”我认为后一个公理的定义欠妥。     

几何证明方法举隅

直接证明法 这是指从题目的已知条件出发,直接证明终结为正确的方法。它又可分两种: 1.重叠法:指将一个图形与另一个图形重合,然后比较相关部分,证明某结论成立的方法。此法适合原始定理的初步证明,常用以证明基础命题。 2.综合法:指由已知出发,引用定理、公理,或作必     

关于公理教学的探讨

恩格斯指出:"数学上的所谓公理,是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定."公理是数学证明的最初依据,是证明其他定理的基础,它的真实性不能由其他已知真实的命题来证明,而是人们由长期的生产实践中总结出来的.因此,数学公理就是一些不用证明而采纳为证明其他命题的命题.而选择公理时的主要标准是便于用来推导其他命题.一、初中数学的公理体系在初中数学中,建立严格的公理化体系是不适合的,能够实现的只限于有实际内容的公理体系,而且只选择几何学科作     

协调、一致与一阶公理系统的强完全性

在公理系统中演绎定理是连接一致性和协调性的桥梁.对于带演绎定理的公理系统,可以证明公式集的一致性和协调性是等价的.在不带演绎定理的一阶公理系统中,一致性和协调性的差异集中体现在强完全性证明过程中.基于一致性的证明不依赖演绎定理,但基于协调性的强完全性证明多处受演绎定理束缚.文中将给出一个松绑方案,基于协调性上证明一阶公理系统QC1的强完全性.     

数学公理的哲学思考

对于数学公理存在着两种看法。恩格斯指出:“数学上的所谓公理,是数学需要用作自己的出发点的少数思想上的规定。旧的数学课本说:所谓公理就是指不加证明而采用的真理。我们认为前者正确,后者欠妥。数学是以客观世界的空间形式和数量关系作为自己研究的对象,并从量的概念开始进而探讨全部量的关系。特别是几何学,还运用形式逻辑推理的演绎方法来阐述这些量的概念和     

怎样学好几何证明

学习几何离不开证明.证明是研究几何的重要手段.怎样才能学好几何证明呢? 一、切实学好几何基础知识这是学好几何证明的前提条件.定义、公理、定理等几何基础知识是进行几何证明的理论依据,必须切实学好.对概念要深刻理解其含义、对定理、公理要彻底弄清其题设与结论.只有这样,才能正确运用它们进行     

再谈三角形全等的条件

人教版《数学》(八年级上册)第十三章《全等三角形》在全套教科书中占有重要地位.从这一章开始,比较正规的数学证明成为数学学习的重要内容.什么是数学证明呢?简单地说,数学证明指的是这样的过程:从一定条件出发,以已有的真命题(公理、定义、定理等)     

论证的本质

近年来，我国逻辑学界部分同志对论证的定义，特别是论证是否要求认真论据推出真论题展开了讨论。笔者认为，结论证下定义必须考虑到如下几点：第一，必须考虑到几千年来人类思维史，特别是人类进行论证的历史；第二，必须考虑到逻辑学的研究对象和学科性质，不能脱离和超出逻辑学的研究对象和学科性质而把逻辑学不应承担且无力承担的任务赋予它；第三，可以参考现代逻辑和数学研究中被广泛采用的公理化方法给证明下的定义。公理化方法给证明下的定义是“应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明”。问这里的公理是不加证明而被引用者…     

共点·共线·共面

共点、共线、共面的证明是立体几何中的难点之一,有的学生感到无从下手.本文介绍比较常规又容易操作的证明共点、共线、共面的方法,供读者参考.一共面的证明用平面吸附法要证明若干条直线共面,可先根据公理3及其推论确定一个基本平面,再根据公理1证明其它直线也在这个平面内,即把其它直线吸附到这个基本平面上.当用公     

“命题、定理、证明”学习指导

L什么是命题 命题通常指判断一件事情的完整的语句.如,“鲸是哺乳类动物”,“乙八口召是锐角”等.要明确两点:第一,命题是句子,像“平行线”、“顶点”、“相等”等都是词语,不是句子,故不是命题;第二/.命题必须作出判断,凡不表达判断的句子都不是命题,像“臭氧层出现空洞了吗?”“画乙八口B的平分线”等句子都没有表达判断,故都不能称做命题.判断有真有假,但判断的真假与是不是命题无关.如“等角的余角不相等”显然是错误判断的句子,但它仍是一个命题. 2.公理与定理 公理—在一个理论中已反复为实践所证实而被公认为不需证明的命题.公理可…     

学好证明七注意

初学几何证明时,同学们往往找不到正确的思路,甚至无从入手,那么怎样才能学好几何证明呢? 一、掌握基础知识定义、定理、公理、性质等是进行几何证明的基础,也是几何证明的依据.换句话说,只有熟练掌握这些基础知识,才能进行几何证明.     

正弦定理与一条定直线的垂线和斜线一定相交的等价性

在结合公理Ι1-8,顺序公理Ⅱ1-4,合同公理Ⅲ1-5和连续公理Ⅴ1-2(这里采用希尔伯特的公理体系)的基础上证明了正弦定理、一条定直线的垂线和斜线一定相交与欧氏平行公理是等价的,进一步证明论题。     

(高层次)初中几何第一册第三章教材简评

本章是全册中的最后一章。主要介绍了概念、命题、公理、定理和证明等逻辑初步知识,编者分成四小节来写,即:第一小节概念、第二小节命题、第三小节公理和定理、第四小节证明。整章教材从概念、命题到公理、定理的编写都体现了教材十分注重基础。在证明和例题选讲中体现对能力的培养。教材中还编入了一些智力     

警惕梯形证明中的常见错误

几何证明是由已知条件出发,经过一步一步的严格推理,最后推出结论的过程.证明的依据必须是真实可靠的,如定义、定理、公理等.在证明梯形的有关问题时,常常出现一些错误,下面列举几例分析如下.     

让数学中的“规定”开口说几句

<正>一、问题的提出中学数学是一门较成熟的公理化了的学科.它的内容抽象、逻辑严谨,创造过程中的面貌往往不易察见,教材结构呈演绎特征,其突出表现在其中一系列的"规定".数学中的所有定义是规定的,数学符号是前人制定的,数学名词是约定俗成的,数学公理是规定的,不加证明的,甚至许多数学法则、书写格式等也是有相应的规定.研究表明:数学中这一系列的规定是学生感到数学抽象难懂的原因之一;再加上一些教师教学时处理不得法,认为     

怎样学好几何证明题

初一下学期开始学习平面几何,知道单凭观察得出的结论,往往是不严格的,甚至是错误的.要说明结论正确就要证明,什么是证明?证明就是推理,即根据题设和已经学过的定义、定理、公理,说明结论为什么正确的过程.     

如何学好几何证明

学习几何离不开证明,对于初学几何的同学来说,往往有上课能听懂、自己做题难下笔的感觉.因此,本文仅就几何证明的问题谈以下几点,以供参考. 学好几何基础知识是学好几何证明的前提条件,定义、性质、公理、定理等几何基础知识是进行几何证明的理论依据,必须切实学好.对几