2013年高考数学安徽理科卷第18题的拓广探究

题目（2013年高考安徽卷·理18）已知椭圆E:x²/a²+y²/1-a²=1的焦点在x轴上.（1）若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;（Ⅱ）设F₁,F₂分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F₂P交y轴于点Q,并且F₁P⊥F₁Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.该题立意朴实,耐人寻味,着重考查学生解决解析几何问题的基本思维方法.通过仔细研究,我们发现该题有"潜力可挖",为了能更清楚地理解问题     

例析有关焦点三角形问题的求解策略

例1双曲线x²/9-y²/16=1的两个焦点为F₁、F₂,点P在双曲线上.若PF₁⊥PF₂,则点P到x轴的距离是_<sub><sub><sub>.这是一道典型的与焦点三角形有关的问题,焦点三角形是指以椭圆（或双曲线）的焦距F₁F₂为底边,顶点P在椭圆（或双曲线）上的三角形.解法1:（辅助圆法）以O为圆心,OF₁=5为半径作圆z²+y`2=25,与双曲线x²/9-y²/16=1联立,解得两曲线的交点即为题意中的点P（x₀,y₀）,消去x²,得|y₀|=|y|=     

椭圆焦点三角形中的几个结论及应用

<正> 设 F₁,F₂是椭圆（x²/a²）+（y²/b²）=1（a>b>0）的焦点,过 F₁,F₂的弦交椭圆于 P 点,称∠F₁PF₂为椭圆的弦焦角,△F₁PF₂为椭圆中的焦点三角形。如图1所示,在△F₁PF₂中,P 与 A₁,A₂不重合,设∠F₁PF₂=2α,则有下列三个结论。一、|PF₁|·|PF₂|·cos²α=b²证明在△F₁PF₂中,设|PF₁|=m,|PF₂|=n,|F₁F₂|=2c。由余弦定理得:m²+n²-2mncos2α=4c²①,又 m+n=2a,     

对一道数学高考题的研究

2010年全国高考安徽卷文科第17题（理科第19题）是:椭圆E经过点A（2,3）,对称轴为坐标轴,焦点F₁、F₂在x轴上,离心率e=1/2.（1）求椭圆E的方程;（2）求∠F₁AF₂的平分线所在直线的方程（以下简称问题）.该问题是以椭圆焦点三角形内心为背景进行命制的,笔者认为它是一个很好的研究性学习问题.1.问题的推广定理1设点P是椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）上除去四个顶点外的一点,点E、F分     

对一道高考题的探究、引申

题目已知椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的离心率为(2^1/2)/2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4(2^1/2+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程;（Ⅱ）设直线PF₁和PF₂的斜率分别为k₁、k₂.证明:k₁k₂=1;     

圆的妙用

1.求长度例1在平面直角坐标系中,已知点A（cos80°,sin80°）和点B（cos20°,sin20°）,求|AB|的值.解由题设条件知道点A、B是单位圆x² +y²=1位于第一象限的两个点,则∠AOB=80°-20°=60°,故△AOB是边长为1的正三角形,因此|AB|=1.2.求范围例2 F₁和F₂是椭圆C:x²/9+y²/4=1的焦     

一道苏州大学预测题的来源与解法探究

引例1设F₁,F₂是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左右焦点,A,B分别为其左顶点和上顶点,△BF₁F₂是面积为3^1/3的正三角形,（1）求椭圆C的方程;（2）过右焦点F₂的直线l交椭圆于M,N两点,直线AM,AN分别与已知直线x=4交于P,Q两点,试探究以线段PQ为直径的圆与直线l的位置关系,     

一道波兰平面几何赛题的多种证法

<正>2022年波兰数学奥林匹克竞赛中的平面几何题为:给定圆内接四边形ABCD,其外接圆圆心在四边形ABCD的内部,对角线AC与BD交于点S,边AD,BC的中点分别为P,Q,过点P作与AC垂直的直线l_P,过点Q作与BD垂直的直线l_Q,过点S作与CD垂直的直线l_s,求证:l_P,l_Q,l_S三线共点。证法1:如图1,设l_P与AC,AB分别交于点E,G,l_Q与BD交于点F,l_P与l_Q交于点M。联结EF,联结MS并延长交CD于点N。     

一道高考试题推广的类比

引题（2012年高考福建卷·理19）如图,椭圆E:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左焦点为F₁,右焦点为F₂,离心率e=1/2·过F₁的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF₂的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E的方程;（Ⅱ）设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且仅有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出M的坐标;若不存在,     

析真题 引教学 育素养——以2023年全国甲卷理科第12题为例

<正>1.真题呈现(2023·全国甲卷·理12)已知椭圆■1,F₁、F₂为两个焦点,O为原点,P为椭圆上一点,cos∠F₁PF₂=3/5,则|OP|=()■2.解法探究根据题意知a=3,b=■,c=■,焦点在x轴,设PF₁=r₁,PF₂=r₂,P(x₁,y₁),不妨设x₁>0,y₁>0,则r₁+r₂=6.     

圆锥曲线上一类定值问题的再推广

1问题提出文[1]中给出了圆锥曲线焦点弦引起的所分线段比值之和为定值的若干结论.比如以下两个结论:命题1已知弦AB,AC分别过椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右焦点F₁.     

对一道高考试题的火热思考

好的高考试题总能给我们带来无限的遐想与火热的思考,2012年安徽高考解析几何试题便是成功的一例.题目（2012年安徽高考理科第20题）如图1,F₁（-c,0）,F₂（c,0）分别是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左、右焦点,过点F₁作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F₂作直线PF₂的垂线交直线x=a²/c于点Q;（Ⅰ）略;（Ⅱ）证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.思考1:结论能否推广到一般情况呢?     

一道北大保送生考题的再探究

一、试题再现及评析2011年北大保送生考试第一题为:点P为双曲线上任一点,PQ为双曲线在点P处的切线,F₁、F₂为双曲线的焦点.求证:PQ平分∠F₁PF₂.     

探究解析几何解题思维方法

一、求解范围问题向量的夹角公式、向量的各种运算的坐标表示都可以产生范围.根据题目的不同条件,灵活地用向量求解解析几何中的范围问题,可以使我们从原始的、复杂的传统解析几何运算中解放出来,我们的解题状态才可能达到"既钻到题内,又站在题外".例1椭圆x²/9+y²/4=1的左、右焦点为F₁、F₁,P为其上一点,当∠F₁PF₂为钝角时,点P横坐标的取值范围是     

圆锥曲线问题的“误区”

误区1概念不清,盲目解答例1到A（2,0）,B（-2,0）的距离和为4的点的轨迹是（ ） （A）抛物线.（B）椭圆.（C）线段.（D）直线.分析易错选（B）.由椭圆的定义知,常数大于|F₁F₂|,避免动点轨迹是线段或不存在的情况,本题|AB|=4,所以点的轨迹为线段     

对一道江苏高考题的思维历程

考题（2012年全国高考江苏卷理科第19题）:如图1,在平面直角坐标系xOy中,椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的左、右焦点分别为点F₁（-c,0）、F₂（c,0）.已知（1,e）和(e,(3^1/2)/2)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.     

平面几何用于圆锥曲线五例

1.三角形中位线例1已知点Q是双曲线（x²/a²）-（y²/b²）=1（a,b>0）上异于顶点的一个动点,左右焦点分别为F₁、F₂,从F₂向∠F₁QF₂的角平分线作垂线F₂P,求垂足P的轨迹方程.     

圆锥曲线与中点弦有关的一个性质

本文介绍圆锥曲线与中点弦有关的一个性质.性质1如图1,已知点P是椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的弦MN的中点,与MN平行的直线交椭圆于A,B两点,AP与椭圆交于点C,BP与椭圆交于点D,则CD∥AB.证明:设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,C（x₃,y₃）,D(x₄,     

一个二面角公式的推导与应用

立体几何教材中有这样一道习题:如图1,AB和平面α所成的角为θ₁,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′所成的角为θ₂,设∠BAC=θ,则有cosθ₁ cosθ₂=cosθ.将其引申,得如下结论:命题AB和平面所成的角是θ₁,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′所成的角为θ₂,设二面角B-AC-B′为ψ,     

巧用圆锥曲线弦中点性质解题

直线与圆锥曲线问题,一直是高中数学研究的重点所在,而作为直线与圆锥曲线中特殊的点——弦中点问题,更是为我们平常之所见.一、椭圆与双曲线的弦中点性质设AB为圆锥曲线x²/m+y²/n=1的一条不垂直于坐标轴的弦,异于原点的点P（x₀,y₀）为AB中点,则k_AB·k_OP=-n/m.证明（点差法）如图1,设A(x₁,