三角形旋转存在性的判定与性质

如图1,△ACM与△BCN是具有一个公共顶点的两个正三角形,令△ACM绕顶点C旋转不同的角度,可以得到下列图形（图2-图5）,许多文章对该图形进行了研究和推广,如将正三角形推广到正方形、正n边形,将两个正三角形改为两个等腰三角形、两个相似三角形等等．本文将从另一个角度研究该组图形,看看究竟是哪个三角形旋转更具本质特点．     

在质疑与探究中培养学生解决问题的能力

正教师在平时的教学中,要有意识地培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力。我在进行"轴对称"一章中的一道习题的处理中,深刻地感受到学生的思维具有创造性和严密性。这道题是"拓广探索"中的第13题:在纸上画五个点,使任意三个点组成的三角形都是等腰三角形,这五个点应怎样画?我问:"谁来画一下图形?"黄新浩同学(一个学习中的佼佼者)到黑板上画出五角星的图样,他说:"五角星的五个顶点中的任意三个顶点为顶点的三角形都是等腰三角形。"(同时他用粉笔画出图形中所有的等腰三角形)(如图1)     

三角形的最小内接正三角形

1　问题的提出若△DEF的三个顶点分别在△ABC的三边上 ,图 1称△DEF是△ABC的内接三角形。如图 1 ,△DEF是△ABC的内接三角形。文 [1 ]讨论了三角形的内接正三角形的存在性问题 ,指出三角形的内接正三角形是存在的 ,并给出了一种作图方法。文 [2 ]指出任意三角形都存在无数个内接正三角形 ,给出了另一种作图方法。那么 ,一个给定的三角形的无数个内接正三角形中 ,有无边长最小的三角形 (最小内接正三角形 )呢 ?本文研究这一问题 ,给出最小内接正三角形的边长和位置。2　最小内接正三角形的边长设在△ABC中 ,∠C是最大角 ,△DEF是…     

对一道数学探究题的发散思维

<正>七年级数学《整式的加减》中有这样一道探究题:如图1所示,用若干火柴棒拼成一排由三角形组成的图形,如果图形中有2,3或4个三角形时,分别需要多少根火柴棒?如果图形中有n(n≥2)个三角形,需要多少根火柴棒?本文就图形中有n(n≥2)个三角形进行发散思维,以求深刻理解这类问题的本质.一、总结数字规律,得出结论在上列表格中,由三角形的个数与火柴棒根数的规律比较发现:三角形的个数从1增加到n(n≥2)时,火柴棒的根数是从3开始的奇数间隔增加的,即三角形每增加一个,火柴棒的根数就增加2.这样,就不难发现,当有n(n≥2)个三角形时,火柴棒的根数是2n+1(n≥2).     

关于内接于三角形的正三角形问题

定义　若正三角形的三个顶点分别在已知三角形的三条边上 ,则称这个正三角形为(已知三角形的 )内接正三角形 .对于任意给定的一个三角形 ,它是否存在内接正三角形 ?若存在 ,有多少个 ?本文回答了这些问题 ,同时还给出了内接正三角形的边长公式等重要结论 .定理　任意三角形都存在内接正三角形 .已知 :△ABC是任意三角形 .求作 :正三角形 EFG.其中 E,F,G分别在三边 BC,CA,AB上 .图 1分析　假设正三角形 EFG已经作出 (如图 1) ,则由正弦定理知BEsin y=EGsin B,ECsin x=EFsin C,由此得 BEEC=sin Csin ysin Bsin x. (* )可见△ E…     

观察与归纳

北师大版七年级数学第一章第5节《生活中的平面图形》中,有这样一段话:“如图,从一个多边形的同一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,可以把这个多边形分割成若干个三角形.你能看出什么规律吗?”思路一:1.观察:四边形可分为2个三角形,即4-2=2;五边形可分为3个三角形,即5-2=3;六边形可分为4个三角形,即6-2=4;……2.归纳:由上述观察可发现,所得三角形的个数等于多边形的边数减去2,由此得到n边形可分割成(n-2)个三角形.思路二:1.观察:过多边形某一顶点与不相邻的顶点的连线条数:四边形可引1条,即4-3=1;五边形可引2条,即5-3=2;六边形可引…     

三角阵中格点多边形的面积公式

定义 三角阵：由若干个边长都为1的正三角形组成的图形（如图1）． 格点：三角阵中任意一个三角形的顶点． 格点多边形：各顶点均为格点的多边形．     

巧数线段 妙解习题(初一、初二、初三)

有一类数学问题,需要数一数某种图形(如线段、角、三角形、长方形……)的个数.怎样才能做到即快又准计数呢?下面先提出一个问题:如图1,直线l上有n个点P1、P2、…、Pn,这n个点可以确定多少条线段?解直线上两个点可以唯一确定一条线段,所以     

求阴影部分的面积技巧

一、利用叠合法求解例1 如图1,分别以边长为a的三角形顶点为圆心,a为半径的三段圆弧所围成图形(即阴影部分)的面积为________________________. 解:因为三个相同的扇形都覆盖了三角形,所以阴影部分的面积等于一个扇形面积的三倍减去正三角形面积的2倍.     

一个三角形的计数问题

[1]完美地解决了以正n(n≥3)边形的顶点作为顶点的三角形中，直角三角形、钝角三角形、锐角三角形的个数问题．那么，在这些三角形中，两两不全等的三角形又有多少个呢?     

由内接三角形引发的思考

1.问题的源头 如果一个三角形的三个顶点在一个封闭图形的边界上,那么我们把这个三角形叫做这个封闭图形的内接三角形.例如正方形有内接正三角形,直角梯形有内接等腰直角三角形.笔者对直角梯形中的内接等腰直角三角形（如图1）产生了兴趣，     

类比设问 合情求解 引导教学——对一道中考题的分析

正题目:(2013年常州)用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子,小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的多边形称为格点多边形.设格点多边形的面积为S,该多边形各边上的格点个数和为a,内部的格点个数为b,则S=1/2a+b-1(史称"皮克公式").小明认真研究了"皮克公式",并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究:正三角形网格中每个小正三角形面积为1,小正三角形的顶点为格点,以格点为顶点的多边形称为格点多边形,下图是该正三角形格点中的两个多边     

找规律,列一元二次方程

例1(四川绵阳)观察图1,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第()个图形共有120个.解析:第1个图形的个数为1;第2个图形的个数为1+2;第3个图形的个数为1+2+3;第4个图形的个数为1+2+3+4;….第n个图形的个数为1+2+3+…+(n-2)     

图形推理——图形的计数

图3图形的计数是指计算图形的个数。计算时必须从简单的图形再到复杂的图形进行推理,找出规律,采用简便的方法来计算图形的个数。例1图1中有多少个三角形?分析与解:根据图形进行分析,其中大三角形有1个;由4个小三角形组成的三角形有2个;由3个小三角形组成的三角形有3个;由2个小三角形组成的三角形有4个;还有5个小三角形,因此图1中有三角形1+2+3+4+5=15(个)。根据上面的分析,我们得到了一个计算规律,即只要在三角形底边,从左至右依次写上0、1、2、3、4、5,如图2,就可以简便计算图中共有小三角形的个数是0+1+2+3+4+5=15(个)。例2计算图3中有多…     

图表形式的数列题分类解析

一、三角形式的图表例1图1是一个类似“杨辉三角”的图形,第n行共有n个数,且该行的第一个数和最后一个数都是n,中间任意一个数都等于第n-1行与之相邻的两个数的和.an,1,an,2,…,an,n(n=1,2,3,…)分别表示第n行的第一个数,第二个数,…,第n个数.求an,2(n≥2且n!N)的通项公式.解由     

观察实验探索规律

如图，顺次连接正三角形的各边中点得一个新的正三角形，再顺次连接新的正三角形各边中点，又可以得到另一个新正三角形……如此下去．我们可以得到很多新的正三角形．不难发现，由外向里连成第2个正三角形时，图中共有5个正三角形，连成第3个正三角形时．图中共有9个正三角形……，如此下去，     

1991年全国高中数学联赛试题及解答

今年联赛第一试题难度较合适,第二试题难度大,我省得分率很低,这里对一些大题给出不同于命题组提供的参考解答。 第一试选择肠(本题满分30分,每小题5分)由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为(A)4.(B)5.(C)x2.(D)24答三角形。个顶点, 中学数学教学199[一午一第6期卜.公有·个顶点的止个两两相,〔垂直的血上、汗丫f一条对角线Jlj同组成唯一的正因此,在正三角形集与顶点集之lTil可以建立“-一对应”:炎系,·个正方体共有8因此恰有8个正三角形。2。设a、(,、)1.l)、·均为牌复数,‘且艺一务乡 (l;)兰一(。.((二)[,。“,‘,”乙…     

正n边形内接三角形的个数

定义　平面上 ,以凸n边形Q的顶点作为顶点的凸r边形 (3 ≤r≤n)称为Q的内接r边形 .命题 1　正n边形有16n(n - 1 ) (n - 2 )个内接三角形 ,其中互不全等的内接三角形有 n2 +31 2 个 ,亦即〈n21 2 〉个 .([x]表示不大于x的最大整数 ,x∈R ;〈x〉表示最接近x的整数 ,x∈R ,x≠n +12 ,n∈Z)证明 :正n边形Q的内接三角形一一对应于Q的顶点集S的三元子集 ,由相等原理[1] 知Q的内接三角形个数M =C3n=16n(n - 1 ) (n - 2 ) .如图 1 ,设△ABC为Q的内接三角形 ,A、图 1B、C按逆时针方向排列 ,设其外接圆周长为n ,依逆时针方向的弧长AB =n1,BC …     

若隐若现的三角形

图中隐藏着多个正三角形。你看看,到底有几个呢?解答这是利用图形的心理测试。来测一测你的注意力和观察力,看看你能否能看穿表面上无法辨别的事物的问题。如果你专注地观察这个图,在图形的中央会出现一个三角形,但构成这个三角形轮廓     

有几个三角形

几何图形是“点”的集合,因此点是最基本的几何元素,且与点有关的数学问题自然也不少.问题在△ABC内有2005个点,连同原三角形的3个顶点,共有2008个点.以这2008个点为三角形的顶点,共有多少个不重叠的三角形(与△ABC重叠的除外)?解法一把问题中的数字改小些,改为1个点,2个点,3个点,4个点,从中寻求规律,当你做完此项工作后,就可以得到下列的表1:(其中n为△ABC内部点的个数,xn为三角形的个数)表1n01234…xn13579…把表1改造一下,可以得下列表2:表2n01234…2005xn11+1×21+2×21+3×21+4×2…1+2005×2而1+2005×2=4011,这说明共有4011个三…