分段函数问题简述

※求值问题※例1:已知函数f(x)=x2(x>0),1(x=0)0(x<0)".,求f｛f[f(-3)]｝的值.分析:明确自变量在函数的哪一个段上,是解此类题的关键.解:∵-3<0,∴f(-3)=0,∴f[f(-3)]=1,∴f｛f[f(-3)]｝=f(1)=12=1.※求解析式问题※例2:已知f(x)=x,g(x)=-x+1,!(x)=-12x+2.设f(x),g(x),!(x)的最大值为F(x),求F(x)的解析式.分析:本题的关键是画出图象,求出交点,从而正确地分段,再在各段上写出符合要求的解析式,最后写出分段函数的解析式.解:如图,画出f(x),g(x),!(x)的图象,下面再求交点坐标.!由y=-x+1,y=-21x+2".得yx==3-2,".由y=x,y=-12x+2".得y=34%%%%$%%%…     

数形结合思想在解题中的应用举例

一、解函数题例1.方程lgx+x-3=0的解x0所在区间为以下选项中的哪一个?A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,∞)解析:如图1,先构造函数f(x)=lgx与g(x)=3-x并作出它们的图象,如图1可知可以确定x∈(1,3),但f(2)-g(2)=lg2-1<0,即x=2时,f(x)2.同理:f(3)-g(3)=lg3-0>0,即x=3时,知f(x)>g(x),∴x0<3.∴答案为C.例2.求函数y=x√+1-x√的值域.解析:作y1=x√,y2=1-x√的图象,如图2,由函数图1的定义域为[0,1]和图象知:函数在x=0,x=1时,有最小值1;在x=12时,取最大值2√.(对称性图象)∴函数的值域是[1,2√].二、解不等式例3.求不等式5-4x-x2√≥x解集.图2…     

夯实基础以不变应万变——2013年山东高考文科三角内容试题分析

第9题 函数y=xcosx+sinx的图象大致为(). 解析 结合四个选项,会发现有三个选项均为奇函数,所以先考虑验证函数奇偶性,由f(-x)=-xcos(-x)+sin(-x)=-xcosx-sinx=-f(x),得该函数为奇函数,排除B选项;剩余的三个选项x＜0时,符号有差异,所以验证符号:x∈(-π/2,0)时,cosx＞0,x＜0,sinx＜0,xcosx＜0,所以x＜0时,y＜0,排除C选项;剩余两个选项当x＞0时,符号不同,所以取特值x=π,由πcosπ=-π,sinπ=0,得x=π时,y=-π排除A选项,答案为D.     

求函数解析式八法

一、配凑法形如f[g(x)]=F(x),可以从F(x)中凑出g(x),然后再直接把g(x)换成x即可.例1 (2006年全国卷二)若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)= A.3-cos2x B.3-sin2x C.3 cos2x D.3 sin2x解(解法一)f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=3-cos2(π/2-x)= 3-cos(π-2x)=3 cos2x.选C.     

运用函数性质解题五例

例1．f(x)是定义在(-∞, ∞)上的偶函数,且f(x 1)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f(x)=-(x/2),则f(8.6)的值是多少?分析:此题若能发现f(x)具有周期性,求出f(x)的周期,则问题迎刃而解。     

函数奇偶性一例探讨

贵刊九一年第七期《高中数学系列复习与辅导》(三角函数)一文中,“例8:求函数y=sin(π/2x-π/2)的定义域、值域、周期、单调区间,讨论它的奇偶性,并用“五点法”作出它的图象(一个周期),”不失为一道好题。原文讨论函数奇偶性是这样解的: f(x) ∵f(-x)=sin(-πx/2-π/2)≠{ -f(x)。∴ f(x)是非奇非偶函数。笔者认为上述解法是错误的,其实f(X)是偶函数。现用两种解法阐述如下: 显然定义域是x∈R。方法一:     

利用三角函数的图象特征解题

在求解三角函数有关问题时,如果能利用三角函数的图象特征解题,将起到事半功倍的作用.下面举例说明.例1如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=π8对称,那么a=.解析:利用正弦余弦函数的图象当自变量取对称轴时函数值取得最大或最小值这一特征得:|sin2.π8+acos2.π8|=a2+1=|22+22a|,解得a=1.例2已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R)(A>0,ω>0,-π<φ≤π)的图象在y轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22),与x轴在原点左侧第一个交点为N(-1,0),求函数f(x)的解析式.图1解析:由y=sinx的图象可知,从图象与x轴的交点到达图象最高点(在同…     

函数解析式求解面面观

一、直接法例1已知f(x)=x2(x≥0)x(x<0),g(x)=x(x≥0)-x2(x<0),则x<0时,f[g(x)]为()(A)-x(B)-x2(C)x(D)x2解:当x<0时,g(x)=-x2<0,所以f[g(x)]=g(x)=-x2,选(B).求复合函数的解析式,先求内层函数,再求外层函数,另外,分段函数要注意变量的范围.二、换元法例2已知f(1-cosx)=sin2x,求f(x).解:令1-cosx=t则cosx=1-t,-1≤1-t≤1,所以0≤t≤2.所以f(t)=1-(1-t)2=-t2+2t(0≤t≤2)所以f(x)=-x2+2x(0≤x≤2)三、配方法例3f(x-1x)=x2+x12.求f(x).解:f(x-1x)=x2+x12=(x-1x)2+2,所以f(x)=x2+2.四、待定系数法例4已知f(x)=3x-1,f[h(x)]=g(x)=2x+3,h(x)为x…     

正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+B中的一种错误求法

<正>1从一道考试题说起《全品新题小练习(2014数学·理科)》(开明出版社)P13有这样一道题:(2013·哈尔滨三中期末)已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈R,|φ|<π/2),满足f(x)=-f(x+/π2),f(0)=1/2,f'(0)<0,则g(x)=2cos(ωx+φ)在区间[0,π/2]上的最大值与     

高考一道数学题的加强

1994年全国高考理科数学第(22)题为: 已知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2),若x_1,x_2∈(0,π/2),且x_1≠x_2,证明1/2〔f(x_1) f(x_2)〕>f(X_1 X_2/2)。 其实,该题可以加强为: 已知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2),     

研究2012年高考卷中的几道函数解答题

1福建卷文科压轴题的自然解法题1(2012·福建·文·22)已知函数f(x)=axsinx-3÷2(a∈R),且在0,π[]2上的最大值为π-3÷2.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明.     

分类讨论思想在求二次函数最值中的应用

<正>一、讨论二次项的系数例1已知x²-x≤0,a>0,求函数f(x)=-x2+2ax的最值。解:由x2-x≤0,a>0,求函数f(x)=-x2+2ax的最值。解:由x²-x≤0得0≤x≤1。f(x)的对称轴为x=a,f(x)=-(x-a)2-x≤0得0≤x≤1。f(x)的对称轴为x=a,f(x)=-(x-a)²+a2+a²。1(1)02,当x=1时,f(x)_(min)=2a-1。     

两类似是而非的对称问题

首先请看如下两道题:例1函数y=f(x)满足f(1 x)=f(1-x),则f(x)的图象关于直线()(A)y=0对称.(B)x=0对称.(C)y=1对称.(D)x=1对称.例2函数y=f(1 x)与y=f(1-x)的图象关于直线()(A)y=0对称.(B)x=0对称.(C)y=1对称.(D)x=1对称.这两道题貌似接近,实则相去甚远,它们代表了本质上完全不同     

导数在函数中显神通

一、求函数解析式【例1】设y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当x=1时,f(x)取得极小值-2,求f(x)的解析式.解:设f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0),由于其关于原点对称,为奇函数.故b=d=0.所以f(x)=ax3 cx,由f′(x)=3ax2 c,且x=1时,f(x)有极小值-2得f′(1)=3a c=0,f(1)=a c=-2,解之,得a=1,c=-3,所以f(x)=x3-3x.二、求函数单调区间与判断函数单调性【例2】求f(x)=x3 3x的单调区间.分析:首先确定f(x)的定义域,再在定义域上根据导函数f′(x)的符号来确定f(x)的单调区间.解:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0, ∞)f′(x)=3x2-3x2=3(x2 1)(x 1)(x-1)x2由于当x<-…     

正弦函数的高频考点解析

<正>正弦函数是高考的高频考点,其考查方式多以选择或填空题的方式出现,常常从单调性、奇偶性、图像平移等角度进行考查。考点一:以单调性为背景例1函数f(x)=2sinωx(+φ)(ω>0,-π<φ<0)在区间[π/6,π/2]上单调递增,且函数值从-2增大到0。若x_1,x_2∈[-π/6,π/2],且f(x_1)=f(x_2),则f(x_1+x_2)=_。     

一个值得质疑的答案

试题:已知向量a=(2cosx/2,tan(x/2 π/4)),tan(x/2-π/4)),令f(x)=a·b．是否存在实数x∈[0,π],使f(x) f(x)=0(其中f(x)是f(x)的导函数)?若存在,则求出x的值;若不存在,则证明之．这是2005年江西省高考理科数学第18题．各参考书及网站上的答案如下:     

一个值得质疑答案

试题:已知向量a=(2cosx/2,tan(x/2+π/4)),tan(x/2-π/4)),令f(x)=a·b．是否存在实数x∈[0,π],使f(x)+f(x)=0(其中f(x)是f(x)的导函数)?若存在,则求出x的值;若不存在,则证明之．这是2005年江西省高考理科数学第18题．各参考书及网站上的答案如下:     

两个函数图象问题的辨析

题目下列四个命题:①若函数f(x)满足f(x-1)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于y轴对称;②若函数f(x)满足f(x-1)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称;     

函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性是函数的重要性质,它既有"式"的形式:f(-x)与f(x)的关系;又有"形"的形式:图象的对称性.本文将从三类函数入手分析如何判断函数奇偶性.一、一般函数奇偶性的判断一般函数奇偶性的判断适合用定义法,用定义判定函数奇偶性要从三"看"入手,即:一"看"定义域是否关于原点对称;二"看"函数解析式在定义域内的等价变形;三"看"f(-x)与f(x)的关系,其中f(-x)=-f(x)(?)f(x)+f(-x)=0(?)f(-x)/f(x)=-1,即f(x)满     

两类函数图象对称轴的辨析

下面是两个常见的有关函数图象对称的问题: 1．定义在R上的函数y=f(x)满足f(a -x)=f(a-x),那么y=f(x)的图象关于直线 _____对称; 2．定义在R上的函数y=f(a x)与y= f(a-x)的图象关于直线_____对称．这两个问题,外形相似,极易混淆．实际上,第1题是一个函数的自对称问题,答案是关于直线x=a对称;第2题是两个函数的互对称问题,答案是关于直线x=0对称．