再谈用代数代换法证竞赛中的不等式问题

笔者在[1]中介绍了用代数代换法证竞赛中的不等式问题,本文再作些补充,供参考.1.分母整体代换法     

三角代换法解代数问题

有些代数问题 ,当我们用代数方法解决时 ,会觉得束手无策 .如果通过三角代换把它们转化为三角问题 ,不仅可使题中各量之间的关系变得直接明了 ,结构特征显现 ,而且代数中原来繁琐、复杂的运算变成了简单、灵活多变的三角运算 .本文将探讨两类适合用三角代换法解决的代数问题 .一、式子结构与三角公式的形式相同例 1　 (第 1 5届全俄中学生竞赛题 )数列ａｎ 满足ａ0 =13 ,ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 (ｎ=1 ,2 ,… ) ,求证 ａｎ 是单调数列 .分析　由已知ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 ,容易看出递推公式与余弦函数的半角公式结构完全一致 ,故考虑用三角代换 .…     

用作差代换法解竞赛中的不等式问题

笔者在文[1]、[2]、[3]中介绍了用代数代换法和三角代换法解竞赛中的不等式问题,本文就代数代换法中的作差代换作一点详细介绍,供竞赛辅导时参考．1．题设中出现a_2-a_1=a_3-a_2=…=a_n -a_(n-1)时可作代换,设d=a_i-a_(i-1)．     

用三角代换解代数问题

对某些代数问题，若能抓住题目中的关系或特征，恰当运用三角代换常可使问题轻松获解．[第一段]     

三角代换,巧证代数不等式

正姜坤崇老师文[1]中结合具体实例指出,用代换x=bαcα,y=cαaα.z=aαbα可以有效地证明一类条件为x+y+z=1的代数不等式.笔者读后深受启发,反思后发现该代换其实与三角代换x=tanB/2tan C/2,y=tanC/2 tan A/2,z=     

代换法证明数学竞赛中的分式不等式

数学竞赛中分式不等式的证明是个难点,但有些若用代换法进行转换,则容易找到证明的切入点,并作出证明,本文给出几种常用的代换方法,供参考．     

三角代换法可解的代数问题

对一些代数问题，若能抓住题目中的关系或特征，恰当运用三角代换法，不仅使问题中各量之间的关系变得简洁明了，结构特征显现，而且可使问题中原来繁琐、复杂的代数运算变成了简单、灵活多变的三角运算，然后利用三角变换使问题轻松获解．本文将探讨适合用三角代换法解决的代数问题．[第一段]     

巧用三角代换证两个不等式

以下两个不等式的原证均是利用代数方法证明的．现利用三角代换的方法给出新证，这种证法，不仅通俗易懂，而且对变形的技巧要求不高，现说明如下．     

运用分母代换法证明不等式举例

对于分母是多项式的分式不等式 ,采用将分母进行整体代换后 ,便于应用基本不等式或常见的“( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=11ａｉ)≥ｎ2 (ａｉ >0 )”结论来证明 .下面分类举例 .1　分子为常数型例 1　若ｘ、ｙ、ｚ∈ (0 ,1) ,求证 :11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.证明　设 1-ｘ + ｙ=ａ ,1- ｙ+ｚ=ｂ ,1-ｚ+ｘ=ｃ,则ａ >0 ,ｂ>0 ,ｃ>0 ,且ａ +ｂ+ｃ =3.∵ (ａ+ｂ +ｃ) (1ａ + 1ｂ + 1ｃ) ≥ 9,∴ 1ａ + 1ｂ + 1ｃ ≥ 3.故 11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.例 2　 (第 19届莫斯科奥林匹克竞赛题 )设任意的实数ｘ、ｙ满足 ｜ｘ｜ <1,｜…     

用三角代换解不等式赛题

分析对于一些复杂的不等式证明题,直接处理起来比较麻烦,如果题中的结构具有一些特殊的性质,如对称性、轮换对称性等,那么往往可以通过三角代换来证明．     

代换法证多元分式型不等式

通过五个实例介绍用代换法证多元分式型不等式的方法,阐述了该方法能够取得的良好教学效果。     

代换法在不等式证明中的运用

代换法在数学解题中有着广泛的应用 ,用它证明不等式 ,不蹈常规 ,见解独到且富有新意 .本文谈谈五种代换方法在不等式证明中的运用 .1　增量代换在题设条件a≥b下 ,令a =b +t(t≥ 0 ) ,这种代换叫做增量代换 .例 1　已知x >y>0 ,求证 x -yy >0入手 ,用增量代换法去证明 ,十分快捷 .证明 :由x >y >0 ,可令x =y +t(t>0 ) .∵ y +t相似文献   

变量代换法在不等式中的应用

对于一些结构较为复杂、变元较多的数学问题,引入一些新的变量进行代换,以简化其结构,从而达到解决问题的目的,这种方法叫做变量代换法．     

用代数代换法证竞赛中的不等式问题

竞赛中的不等式问题,由于形式多样、结构复杂,往往证明方法独特,灵活多变,且多数问题的证明难度较大.本文通过几种代数代换--整体代换、作和代换、作积代换、作商代换和作三角形内切圆代换,使得一些不等式的证明简洁明了、易于理解.     

浅谈三角代换在代数证明中的应用

在三角函数中有很多简洁的式子,如sin^2θ＋cos^2θ=1.而在某些代数问题里,如果能够抓住题目里的关系或者特征,选择恰当的三角代换,明确三角代换中角的取值范围,利用三角关系中的相应的等式,可以使问题轻松简洁地得到解答．本文通过一些例子来说明三角代换在证明等式或不等式以及求函数值域中的一些简单的应用,     

用三角代换解竞赛题

数学竞赛中的某些代数问题用代数方法求解较为复杂，若能根据题目条件与结论的结构及内在特征，恰当地进行三角代换，往往能化繁为简，化难为易．     

代换法证明不等式

例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ>0 ,证明 :ｚ2 -ｘ2ｘ + ｙ + ｘ2 -ｙ2ｙ +ｚ + ｙ2 -ｚ2ｚ +ｘ ≥ 0 .证明　设ｘ+ ｙ =ａ ,ｙ +ｚ=ｂ ,ｚ +ｘ=ｃ ,则ｚ-ｘ =ｂ-ａ ,ｘ -ｙ =ｃ-ｂ ,ｙ-ｚ=ａ -ｃ,ａ ,ｂ ,ｃ>0 .于是原式等价于ｂｃａ + ｃａｂ + ａｂｃ ≥ａ +ｂ+ｃ .由ｂｃａ + ｃａｂ ≥ 2ｃ等得证 .例 2　在 ＡＢＣ中 ,ａ +ｂ +ｃ=2ｓ ,ａ ,ｂ,ｃ为三边 ,则ａｂｃ≥ 8(ｓ-ａ) (ｓ -ｂ) (ｓ-ｃ) .证明　设ｓ -ａ =α ,ｓ-ｂ =β ,ｓ-ｃ =γ ,则α ,β ,γ >0 ,α+ β =ｃ,β +γ=ａ ,α +γ=ｂ.于是原式等价于(α + β) (β+γ) (γ +α)≥ 8αβ…     

利用三角代换证明不等式

三角代换是一种重要的数学方法,特别当代数不等式的证明很棘手时,若能考虑进行三角代换,将代数不等式转化为三角不等式,进而利用三角函数的性质和众多的三角公式推证,往往起到化难为易、事半功倍之效．但怎样进行恰到好处的三角代换呢？必须对题目进行反复观察,广泛联想,确定恰当的代换途径．本文就如何根据代数式的特征选择三角代换方案,作一些探讨和总结．