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下面是1988年“缙云杯”初中数学邀请赛的一道试题.本文用两种简捷方法来解.△ABC 中,三边 a、b、c 满足 b+c=8,bc=a~2-12a+52.试问△ABC 是什么三角形(按边分类),并证明你的结论.解法一由已知易知 b、c 是方程 x~2-8x+(a~2-12a+52)=0的两个根. 相似文献
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武增明 《中学数学教学参考》2006,(15)
a+b+c=0(a,b,c∈R),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若 a+b+c=0,则 b~2≥4ac 或a~2≥4bc 或c~2≥4ab.证明:因为 a+b+c=0,所以 b=-(a+c),b~2=(a+c)~2=a~2+c~2+2ac≥2ac+2ac=4ac,即 b~2≥4ac.同理可得,a~2≥4bc,c~2≥4ab.结论2 若 a+b+c=0,则 a~3+b~3+c~3=3abc.证明:因为 a+b+c=0,所以 a+b=-c,(a+b)~3=-c~3,即 a~3+3a~2b+3ab~2+b~3+c~3=0,也即 a~3+3ab·(a+b)+b~3+c~3=0,又 a+b=-c,所以 a~3+b~3+c~3 相似文献
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在三角形中有一个重要的命题:在△ABC中,如果a、b、c分别是△ABC的三边的长,∠CAB=2∠ABC,那么a^2-b^2=bc(简称:三角形两倍角命题).因此在三角形中对满足一个角是另一角两倍类型的题目,利用a^2-b^2=bc来解题常可迎刃而解.本向同学们介绍这类问题的具体应用. 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(15)
人教版高中《数学》第二册(上)(必修)(以下简称"课本")第31页第6题(以下简称"原题"):设 a,b,c是△ABC 的三条边,求证:a~2 b~2 c~2<2(ab ac bc).(*)《教师教学用书》给出"原题"的证法:证法1:a~2 b~2 c~2-2(ab ac bc)=a(a-b-c) b(b-a-c) c(c-a-b).∵三角形两边之和大于第三边,∴a相似文献
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正(数学(高二上册))达标训练二填空题第一题是这样的:已知a,b,c是△ABC的三条边,比较大小(a+b+c)24(ab+bc+ca).这道题的解答可以用特殊值法.取a=b=c=1,得(a+b+c)2=9,4(ab+bc+ca)=12,所以(a+b+c)24(ab+bc+ca).将这道题稍微变形,就是全日制普通高级中学教科书(实验修订本·必修)数学第二册(上)第31页B组题的第6题:设a,b,c为△ABC的三边,求证:a2+b2+c22(ab+bc+ca).这道题的解法紧紧围绕三角形的边的特征,依据不同的思维,不同的入口结合不等式证明的不同方法,可以得到不同的证法.并且依据已经证明的结论,还可以进行引申. 相似文献
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△ABC 中,若 a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 所对的边,△为 ABC 的面积,可得 ctgA=cosA/sinA=b~2 c~2-a~2/2bcsinA=b~2 c~2-a~2/4△,tg A/2=1-cosA/sinA=2bc-b~2-c~2 a~2/2bcsinA 相似文献
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顾长亮 《中学数学研究(江西师大)》2013,(1):28-29
一、余弦定理的向量证明在任意△ABC中,a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边,则a~2=b~2+c~2-2bccosA,b~2=a~2+c~2-2accosB,c~2=a~2+b~2-2abcosC(2011年陕西省理科(文科)第18题"叙述并证明余弦定理").(直接来原于课 相似文献
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1 Petrovic不等式与已有结论1916年,M.Petrovic给出了如下一个三角形不等式[i]设△ABC的三边长分别为a,b,c,则1/3≤(a~2 b~2 c~2)/((a b c)~2)<1/2.①当且仅当a=b=c时 相似文献
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1 三角形中的半角正切公式△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,面积为S,则tan(A/2)=((a~2-((b-c)~2))/(4S));tan(B/2)=((b~2-((a-c)~2))/(4S)); tan(C/2)=((c~2-((a-b)~2))/(4S)).证明由余定理知 相似文献
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正弦定理和余弦定理是架起三角形边角关系的两座桥梁,是解三角形的两个有力武器,锐不可当.重点难点1.正弦定理:a/(sinA)=b/(sinB)=c/(sinC)=2R(R表示△ABC外接圆的半径).2余弦定理:a~2=b~2+c~2-2bccosA;b~2=c~2+a~2-2cacosB:c~2=a~2+b~2-2abcosC.3.三角形面积公式:S=1/2ah_a(h_a 相似文献
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对一个优美的半对称不等式的补充 总被引:2,自引:0,他引:2
文 [1 ]给出了一个优美的半对称不等式 :命题 在非钝角△ABC中 ,设BC =a ,AC =b ,AB =c,ma 为BC边上的中线长 ,wa为∠A的平分线长 ,则有mawa≤b2 +c22bc .①受文 [1 ]的启发 ,笔者发现以下一个优美的半对称不等式 :命题 在任意△ABC中 ,设BC =a ,AC=b ,AB =c,ma 为BC边上的中线长 ,wa 为∠A的平分线长 ,则mawa≥(b +c) 24bc .②证明 :设p为△ABC的半周长 ,则式②等价于(b +c) 4 w2a ≤1 6b2 c2 m2a.③由角平分线公式wa =2bcp(p -a)b +c 和中线长公式ma=12 2 (b2 +c2 ) -a2 可知③ (b +c) 2 [(b +c) 2 -a2 ] ≤4bc[2 (b… 相似文献
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孙业国 《语数外学习(初中版)》2007,(12Z):41-41
例1已知a、b、c是12xABC的三边长,且满足a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac.求证:△ABC为等边三角形.[第一段] 相似文献
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在三角形中刻画边角关系最重要的定理是正弦定理和余弦定理.但在近几年高考数学试题中经常出现三角形中角的正切问题.为此我们向读者介绍下面的一个正切公式:定理设非直角△ABC的三个内角A、B、C所对的边为a、b、c,S为其面积,则有:tanA=b2+4c2S-a2;tanB=a2+4cS2-b2;tanC=a2+4bS2-c2.证明由余弦定理cosA=b2+2cb2c-a2及面积公式S=12bcsinA得:tanA=csionsAA=b22+bccsi2n-Aa2=b2+4c2S-a2.同理可证其它两式.这个公式刻画了三角形(非直角三角形)的三个角正切值与其面积、三边的关系.在解有关三角形正切问题中有着很广泛的应用.现举几例予以说明.例1(2005年天津卷理17题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c,设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和bc=21+3,求∠A和tanB.解由余弦定理得:cosA=b2+2cb2c-a2=bc2bc=21.故∠A=3π.由正切公式得:tanB=a2+4cS2-b2=4×21bcsin3πa2+c2-b2=2c23-bcbc=2c3-bb=2.bc3-1=3... 相似文献
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近年来各地的中考和数学竞赛经常出现判定三角形形状的试题,三角形形状的判定是一个综合性较强的问题,大都是应用代数或三角函数的知识把题设条件转化成边与边的关系,再根据几何知识进行判定,且方法灵活具有一定的技巧性,现略举几例解析如下:1配方法例1已知:a,b,c为△ABC的三边,且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0,试判定△ABC的形状.解析将已知等式变形配方,得(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,根据平方的非负性,则a-b=0,b-c=0,c-a=0同时成立.得到a=b=c所以△ABC为等边三角形.2韦达定理法例2已知α是三角形的一个内角,且sinα和cosα是方程2x2-2x+p=0的… 相似文献