一元二次方程实根分布新探

设一元二次方程αx^2＋bx＋c=0（α≠0）（1），其实根为x1，x2．对应的二次函数为f（x）=αx^2＋bx＋c（α≠0），则f（0）=c．     

一道中考题的数形结合分析

2005年天津市中考有一道代数综合题： 例 已知二次函数y=αx^2＋bx＋c． （1）若α=2，c=-3，且二次函数的图象经过点（-1，-2），求b的值； （2）若α=2，b＋c=-2，b〉c，且二次函数的图象经过点（p，-2），求证：b≥0； （3）若α＋b＋c=0，α〉b〉c，且二次函数的图象经过点（q，-α），试问当自变量x=q＋4时，二次函数y=αx^2＋bx＋c所对应的函数值y是否大于0．并证明你的结论．     

探寻一道最值题的切入点

1．题目 对于c〉0,当非零实数α,b满足4α^2-2αb＋4b^2—c=0,且使｜2α＋b｜最大时,3/α-4/b＋5/c的最小值为__．（2014年辽宁卷）     

一个有用的结论及其应用

结论 若acos α＋bsin α＋c=0,则α^2＋b^2≥c^2,当且仅当等号成立时,直线ax＋by＋c=0与单位圆相切于点M（cos α,sin α）。     

利用一元二次方程根的定义解题

若x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两根，则有ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0．反之，若ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0，且x1≠x2，则x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的两根。     

巧用根的定义

如果x0是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的根,那么ax0^2＋bx0＋c=0;反过来,如果ax0^2＋bx0＋c=0,那么x0是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的一个根．这就是一元二次方程的定义．由此可见,根据定义可以正用,也可以逆用,还可以与韦达定理联用．     

系数和为0的方程

如果一元二次方程ax2＋bx＋c（a≠0）的系数和a＋b＋c=0,则不难发现：x=1满足方程ax2＋bx＋c=0,即x=1是该方程的一个根．反之,如果x=1是一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的一个根,     

一个优美三角结论的妙用

大家知道，在△ABC中，若三边α、b、c满足α^2＋b^2=c^2，则sinA=α/c,A=b/c．那么我们能否取舍一些条件，把直角三角形的边角关系的结论推广到更一般的情形呢？即α、b、c、A可以取任意实数（c≠0）．笔者在这方面进行探究，得到了以下具体结论：     

根的定义用处大

由方程根的定义可知,如果t是一元二次方程似ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的根,则at^2＋bt＋c=0;反之,如果at^2＋bt＋c=0,则t是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的一个根．灵活运用根的定义可以解答不少数学问题．     

浅谈非对称式的求值方法

一、构造两根非对称式 设α,β是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两个实数根,由韦达定理知     

小小数轴作用大

当一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）有一个根是1时,根据方程根的定义得a＋b＋c=0,反之,如果a＋b＋c=0,一元二次方程abx^2＋bx＋c=0（a≠0）的根又分别是什么呢？下面我们一起来探究。     

二次函数与一元二次方程关系的应用

二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的关系是：二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的根;反之,一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的根是二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标.它们之间的这种关系在求解相关的问题时,如果能够灵活地运用,则不仅可以使解题过程大为简化,而且还可以获得巧解.     

用判别式求一类分式函数值域的一个误区

函数y=a2x^2＋b2x＋c2/a1x^2＋b1x＋c1的值域在当a1x^＋＋61x＋c1=0与a2x^2＋b2x＋c2=0无公共解时,可用判别式求得,否则不能直接由判别式求值域．     

亚纯函数分担有理函数的唯一性

采用权弱分担值的思想讨论两个亚纯函数fnf′,gng′权弱分担有理函数的唯一性,得到：设p（z）,q（z）为两个互质的n1,n2次多项式,f,g为两个非常数超越亚纯函数,如果fnf′与gng′分担＂（pq（（zz））,m）＂且（1）当2≤m≤∞时,满足n≥max{11,2n1＋4n2＋3};（2）当m=1时,满足n≥max{13,2n1＋4n2＋3};（3）当m=0时,满足n≥max{23,2n1＋4n2＋3},则f=c1Q（z）exp（α（z））,g=c2Q-1（z）exp（-α（z））,其中：c1,c2为2个常数且Q（z）是有理函数;α（z）为满足（c1c2）n＋1（Q′（z）/Q（z）＋α′（z））2≡（p（z）/q（z））2的多项式,或者f=tg,t为常数且满足tn＋1=1.     

一元二次方程一个性质的证明与运用

性质：对于实系数一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0），如果a＋b＋c=0，则x1=1，x2=c/a。     

用一个结论巧解两道竞赛题

结论：若a＋b＋c=0,则b^2-4ac≥10． 证明：当a=0时,结论显然成立;当a≠0时,构造关于x的一元二次方程ax^2＋bx＋c=0,因为a＋b＋c=0,所以这个方程必有实数根1,从而判别式b^2-4ac≥0．     

a＋b＋c=0的一元二次方程

在一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果字母系数的和a＋b＋c=0，那么x1=1一定是方程的根，且另一根为x2=c/a；反之如果有一根为x1=1，则a＋b＋c=0．     

一元二次方程公共根定理及其应用

定理 二次方程a1x^2＋b1x＋c1=0和a2x^2＋b2x＋c2=0,有且仅有一公共根x0充要条件是     

第3课时 二次函数与一元二次方程

知识梳理 1．二次函数与一元二次方程之间的关系． （1）抛物线y=ax^2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的根． （2）一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的根可以看做抛物线y=ax^2与直线y=-bx-c交点的横坐标．     

判别式应用ABC

判别式应用极为广泛，现以例概说如下： 1判断方程根的情况 例1 设α，b，c为三角形的三边长，试判定关于茁的一元二次方程α^2x^2＋（α^2＋b^2-c^2）x＋b^2=0的根的情况．[第一段]