圆的有关性质及其应用

一、知识要点1．圆的基本概念：国的定义，圆心和半径；确定圆的条件；弧、弦和弦心距．2．圆的基本性质：圆的对称性；垂径定理及其推论．3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．4．圆周角定理及其推论．5．应用上述图形的概念和性质进行简单计算或推理论证．二、解题指导例1如图1，AH是△ABC的用平分线，以AD为直径的圆分别交AB、AC于点E和F．求证：AE=AF，．（安徽，1994年）分析（1）由圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系可知，要证两弦相等．只要证它们的弦心距相等．为JL作oH入AE于H，OG上A厂于G．因AD是角中分线，故Oil—…     

求圆的半径或直径

在平面几何中求圆的半径或直径是最基本的题型,解题方法是由圆的有关知识,获得几何图形的位置关系和数量关系,通过勾股定理、圆幂定理、锐角三角函数、相似形的比例式、平行线的比例式等求得。 1.应用垂径定理 解这类题是先由垂径定理得到过圆心的直线垂直于弦或平分弦. 例1 在⊙O中,弦AB的长为8cm,AB弦的弦心距的长为3cm.则⊙O的半径为( ).     

几何证题的基本方法(下)

分析题目,通常根据图形的主要特征,找寻那些已知定理的图形具有类似特征,然后从这些定理来寻求证题的途径.为此,在教学中,我们可以把每单元的定理和推论按图形特征归类总结,以利于应用它来解决问题.如图9,在同国或等圆内的弦、弧、圆心角和弦心距的关系,归纳起来分两类:第一,弦、弧、圆心角和弦心距中的任意一种的大小关系,可以得到其它三种的大小关系,但弦心距的大小关系与其它三者相反.如,大弦对大弧(指劣弧),大弦所对圆心角大,大弦的弦心距小.反之也成立.第二如OD垂直AB,则OD平分     

圆中常见辅助线作法例析

一、作弦心距 在圆中,当解决与弦有关的问题时,常作弦心距这条辅助线,构造直角三角形进行计算,或利用垂径定理进行证明(线段相等或弧相等). 例l 如图l所示,⊙O的半径弦点为弦上一动点,则点到圆心的最短距离是 ______cm. 分析:点P在弦AB上运动,圆心在弦AB所在直线外,根据"直线外一点到直线上所有连线中,垂线段最短",结合勾股定理即可解决.     

也谈圆中常见辅助线的添置

圆的证明问题是初中平面几何中的难点之一,解决圆的问题关键在于正确地作出有关的辅助线,那么应如何作圆的辅助线呢?本文就圆中常见的辅助线及其作用作些归纳,供同学们参考. 1 已知弦,常引的辅助线是:垂直于弦的直径(或弦心距);过弦端点的半径.如图,其作用是:①应用垂径定理;②利用半弦长、弦心距和半径组成直角三角形. 2 已知直径,常引的辅助线是:作直径所对的圆周角.如图,其作用是得到直角∠ACB.     

圆中常见辅助线

1．作弦心距 例1如图1,⊙O的半径OA=5cm,弦AB=8cm,点P为弦AB上一动点,则点P到圆心O的最短距离是——cm．     

与圆有关的直角三角形

直角三角形是同学们最熟悉的直线图形,圆中的不少问题都要转化到直角三角形中去求解.下面举例说明几种转化的方法. 一、在圆中,半径、弦长的一半和弦心距构成直角三角形.     

圆中常见辅助线的作法

几何证明一般都离不开作辅助线 ,能否迅速、准确地作出所需的辅助线 ,往往成为证题成败的关键 .本文就圆中常见辅助线的作法归纳如下 ,供参考 .1　作弦心距证明圆中与弦有关的问题 ,常需作弦心距 (即垂直于弦的直径或半径 ) ,其目的在于利用垂径定理来沟通弧、弦、弦心距之间的关系 ,或构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形 .例 1　求证 :经过相交两圆的一个交点的那些直线 ,被两圆所截得的线段中 ,平行于连心线的那一　　　　　图 1条线段最长 .分析　如图 1,ＰＱ∥ＯＯ′ ,要证ＰＱ最长 ,只须证明ＰＱ大于过Ａ点的任意一条不平行于ＯＯ…     

圆的基本性质

圆是平面几何的重要内容之一 ,圆的基本性质具有非常广泛的应用 ,因此 ,它也是数学竞赛命题的热点 .一、基础知识圆的基本性质有 :1 圆是轴对称图形 ,也是中心对称图形 .对称轴是任何一条直径所在的直线 ,对称中心是它的圆心 ,并且具有绕其圆心旋转的不变性 .2 直径所对的圆周角是直角 .3 垂直于弦的直径平分这条弦 ,并且平分弦所对的两条弧 .4 在同圆或等圆中 ,两个圆心角和它所对的两条弧、两条弦以及两个弦心距这四组量中 ,如果其中一组量相等 ,则其它三组量也都分别相等 .5 如果弦长为 2ａ ,圆的半径为Ｒ ,那么弦心距ｄ为Ｒ2 -ａ2 .…     

辅助线妙解圆问题

1．与圆有关的常规辅助线 （1）有弦,作弦心距． 例1如图1,以Rt△ABC的直角顶点A为圆心,直角边AB为半径的⊙A分别交BC、AC于点D、E,若BD=10cm,DC=6cm,求⊙A的半径r．     

圆中常见辅助线的作法

一、作弦心距 如果已知中含有圆心及弦,根据题目需要,有时可过圆心作弦的垂线,利用“弦心距平分弦”这一性质解题. 例1 如图1,⊙O的直径长为10,弦AB的长为8,M是弦AB上的动     

深入题目本质，避免题海战术系列谈之一——垂径定理及其推论的应用小妙招

本文通过垂径定理及其推论的2个例题、7个练习题(选自人教版教材的习题与练习题)阐述一个通用的解题规律：在图中构造一个那样的直角三角形(斜边是圆的半径,两条直角边分别是弦长的一半和弦心距),再利用垂径定理及勾股定理解决问题.之后,本文进一步揭示了问题的本质：只要题目中给出圆的半径、弦长、弦心距、拱高四个量中的任意两个量,就可以求出其余两个量.这就是“知二求二”.最后,本文给出了全部六个解题思路.上述解题规律实际上在后面的正多边形和圆的题目中也应用较多.解决正多边形的外接圆与内切圆问题时需构造的直角三角形与本文所阐述的“一个那样的直角三角形”同出一辙,学生解题时能进行类比思考,从而快速解题.     

例举线段相等的证明方法

正证明线段相等的常用方法有:(一)一般方法:1.全等三角形的性质;2.线段的垂直平分线或角平分线的性质;3.等腰三角形的性质或"三线合一"的性质;4.特殊四边形的性质;5.成比例线段;6.圆中垂径定理,或切线长定理,或在同圆(等圆)中,等弧对等弦、弦心距等则弦等、弦等则弦心距等;7.中间量传递;8.计算证明.(二)特殊方法:方程法、面积法、三角函数法、补形法、反证法、同一法.大多数题有多种解法,需要对各种解法进行优化,找出最     

天津四十二中初三几何结课试题

一、填空题(每空3分,共45分) 1.若(x-y)∶y=6∶5,则y∶x=__。 2.在半径为5cm的圆中,如果一条弦长是8cm,那么这条弦的弦心距是__cm。 3.圆内两条相交弦,一弦被分成12cm和18cm两段,另一弦被分成3∶8两部分,则该弦长为__。 4.圆外切梯形的中位线长为12cm,则该梯形的周     

解答圆的综合问题的几种方法

和三角形、四边形相比,圆这部分知识显得综合性比较强,与所学知识联系较大,所以,学生往往不会作辅助线或找不出最佳的证明方法.经过多年的教学实践,笔者总结出在解决圆的有关问题时常用到如下几种作辅助线的方法:1.有弦,可作弦心距.2.有切线,可连过切点的半径.3.有直径,可作直径上的圆周角或作同弧或等弧所对的圆周角.4.两圆相交时可连结公共弦.     

有关圆中几个典型例题的思考

北师大版九年级下册中,学习了圆的性质的两个推论:1.在同圆或等圆中如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组相等,那么它们所对的其余     

初三第一学期期末几何质量检测题

一、填空题 1.在半径为5厘米的圆中,有一条长为8厘米的弦,这条弦的弦心距是_厘米。 2.点P为⊙O内一点,OP=2厘米.如果⊙O的半径是3厘米,那么,过点P的最短弦长是_厘米。     

初三几何期末复习检测题

一、填空题(每窄3分。共3()分) 1.已知字一专’iJ{lJ詈=…. |)^f)… 2.AD足△ABc的角乎分线,若AB:以(、=3:5,B(?一8.则BD一 . 3.已知线段“==2cm,6—5cm,(一一6cm,那么,“,6,c’的第四比例项∥:=: cm. 4.陌个全等一角形的相似比为 . 5.有两个同一长方形地块的地l珂,比例尺分圳为亏赤6和l『志j·!J!fJ这两个地I冬.I的干u似比足 ,面积比是 . 6.在半径为locm的oD中,有长12cm的弦A8.则侧心。到A8的距离是Cln. 7.AB所对的网心角为80。,AB所含的圆周角足 度. 8.圆的半径是6cm,。一条弦的弦心距是3cm,这条弦所对的优弧是 度. 9.网内接四…     

圆的『交点弦长公式』应用聚焦

当直线和圆相交时,得到一个弦(设为｜AB|),根据图形圆的几何性质(半弦长、半径r和弦心距d构成直角三角形)可得、|AB|、=2√r2-d2.在解答有关弦长问题时,若注意使用圆中这一特有的"弦长公式",会突出几何的直观性,减少运算量,有事半功倍的效果,例析如下.     

例举线段相等的证明方法

证明线段相等的常用方法有：（一）一般方法：1．全等三角形的性质;2．线段的垂直平分线或角平分线的性质;3．等腰三角形的性质或“三线合一”的性质;4．特殊四边形的性质;5．成比例线段;6．圆中垂径定理,或切线长定理,或在同圆（等圆）中,等弧对等弦、弦心距等则弦等、弦等则弦心距等;7．中间量传递;8．计算证明．