例谈不动点法求数列通项公式

若x0 满足方程 f(x0 ) =x0 ,则称x0 是函数f(x)的一个不动点 .利用递推数列 f(n)的不动点 ,可将某些由递推关系an =f(an- 1 )所确定的数列转化为较易求通项的数列 (如等差数列或等比数列 ) ,这种方法称为不动点法 .下面举例说明两种常见的递推数列如何用不动点法求其通项公式 .结论 1　若f(x) =ax +b(a≠ 0 ,a≠1) ,p是f(x)的不动点 ,an 满足递推关系an= f(an- 1 ) (n >1) ,则an-p=a(an - 1 -p) ,即 an-p 是公比为a的等比数列 .证明　∵p是f(x)的不动点 ,∴ap+b =p ,∴b -p=-ap .由an =a·an- 1 +b ,得an-p=a·an- 1 +b -p=a·an- 1 -ap=a(a…     

一阶递推数列通项公式的推导及应用

设数列{an}满足一阶递推关系:an+1=pan+q.当P≠1且P≠0,q≠0时,数列{an)非等差、等比数列.其通项公式有两种求解思路. 思路1-转化为等比数列求其通项公式在an+1=pan+q中,两边同减去q/1-p得an+1-q/1-p=p(an-q/1-p).     

巧用构造法求数列的通项公式

<正>学习数列时会经常遇见形如an+1=pan+f(n)的递推形式求通项公式的问题,解决此类问题构造出等比数列,则会迎刃而解。类型一:已知f(n)=q形式,即an+1=pan+q(p,q为常数,pq(q-1)≠0),求数列an{}的通项公式。分析:构造an+1+t=p(an+t),与已知     

递推数列通项公式的一种常用求法——待定系数法

在求递推数列通项公式时 ,我们常用累加法、累乘法、迭加法、以及 Sn 公式法 ,但对较复杂的递推数列 ,用待定系数法求通项公式是一种很有效的方法 .本文对以下 5种类型进行阐述 ,供读者参考 .1　形如 an+1=pan+ q(p,q为常数 )可设待定系数 k,配成 (an+1+ k) =p(an + k)利用对应系数相等求出 k,转化为等比数列求出通项公式 an.例 1　数列 {an}中 ,a1=2 ,an+1=13 an-4,求通项公式 an.解 :设 (an+1+ k) =13 (an+ k)an+1=13 an -23 k令 -23 k =-4,所以 k =-6所以 (an+1+ 6 ) =13 (an + 6 )所以数列 {an+ 6 }是以首项 a1+ 6 =8,公比为 13 的等比…     

不动点与数列通项

对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)= x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点．数列与函数密切相关．对于an 1=(pan q)/(ran s)型递推数列,利用不动点可以巧妙求其通项公式．先推导an 1=pan q(p≠1)型递推数列 (r、s=0的情形)的通项公式．     

2006年高考理科数学(山东卷)22题别解

试题已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3…(Ⅰ)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;(Ⅱ)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项;(Ⅲ)记bn=a1n+an1+2,求数列{bn}的前n项和Sn,并证明Sn+3Tn2-1=1.解(Ⅰ)由a1=2,且点(an,an+1)在f(x)=x2+2x的图象上,所以an+1=a2n+2an>0(n=1,2,3,…)所以llgg((11++aan+n)1)=lg(1lg+(12+ana+n)a2n)=2,所以数列{lg(1+an)}是以2为公比的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列{lg(1+an)}的公比为2,第1项为lg3,从而lg(1+an)=2n-1lg3=lg32n-1,即1+an=32n-1(1)因此数列{an}的通项为an=32n-1-1.由(1)得…     

累加法在求数列通项公式中的应用

当数列{an}的递推公式为an 1=an f(n)时,通常使用"累加法"求其通项公式.即将an=an-1 f(n-1),an-1=an-2 f(n-2),……,a2=a1 f(1)各式相加得:an=a1 n-1∑k=1f(k)(n≥2).下面举例说明累加法在求数列通项公式中的应用.     

由递推公式求通项公式的方法

根据递推关系式写出数列的通项公式既是考查学生对数列这部分知识是否掌握的试金石,也是考查学生的观察能力、推理能力、判断能力的重要手段.因此,对学生递推能力的考查一直是高考关注的重点.本文将对高中阶段出现的几种已知递推关系求数列通项公式的方法进行探讨.※递推公式形如an+1=an+f(n)的数列由上式可得:an=an-1+f(n-1)=an-2+f(n-2)+f(n-1)=…=a1+f(1)+f(2)+f(3)…+f(n-1)例:数列｛an｝中,a1=1且a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k∈N+,求数列｛an｝的通项公式.解:∵a2k+1=a2k-1+(-1)k+3k,a2k+1-a2k-1=(-1)k+3k,∴a3-a1=(-1)1+31,a5…     

常见递推数列通项公式的求解策略

一、递推式为an+1=pan+q(p,q为常数)型 [例1] 已知数列{an}中,a1=1,对于n＞1(n∈N*)有an=3an-1+2,求an 策略一:充分利用递推式,通过对n取n-1,n-2,...,3,2进行叠代寻求答案.     

一道数列通项公式题的多种解法

老师给我们布置了这样一道题:已知函数f(x)=-2x+2,x∈[0.5,1],设f(x)的反函数为y=g(x),a1=1,a2=g(a1),…an=g(an-1),求数列{an}的通项公式.此题中,由于g(x)=1-12x,因此,本题实质就是:已知a1=1,an=1-12an-1,求an.我对求数列通项公式很感兴趣,经过钻研,找到了许多很好的解法,现将各解法汇集如下,供我们共同学习和参考.解法一(归纳法):因为a1=1,a2=12,a3=34,a4=58,a5=1116,a6=2132,a7=4364,a8=85128,a9=171256,…,经观察,an的分母为2n-1;而奇数项的分子为1、3、11、43、171、…、它们的3倍恰比2的幂多1,即可表为2n+13(n为奇数);偶数项的分子为1…     

求递推数列通项公式的若干方法

1不动点法把方程f(x)=x的根叫做函数f(x)的不动点,方程f(x)=x叫特征方程.(1)对一般的递推数列{an},若f(x)=ax bcx d,an 1=f(an)1当函数f(x)有两个不同的不动点α,β时,令bn=aann--βα,则bn 1=aa--ccβαbn,问题转化为等比数列.2当函数f(x)有一个不动点α,可令bn=1an-α,则bn 1-bn=a-ccα,问题转化为等差数列.(2)设函数f(x)=2xx2 AB有两个不同的不动点x1,x2,且an 1=f(an),则aann 11--xx12=(aann--xx21)2证明:aann 11--xx12=an2 A2an B-x1an2 A2an B-x2=an2-2x1an A-Bx1an2-2x2an A-Bx2因为x1,x2是方程2xx2 AB=x的两根,所以2xx211 …     

不动点法求两类递推数列通项的研究

正我们经常看到这样一类问题:数列{an}满足递推关系an+1=f(an),其中f(x)为多项式函数或分式函数,求数列{an}的通项公式.而其中最常见的函数是一次函数和线性分式函数,最常见的方法是先用不动点法将递推公式化成an+1-α=r(an-α)m或an-1-α/an-β=(an-α/an-β)m的形式,再用转化法或迭代法求其通项.然而,多数资料却对"为什么可以用不动点法求‘α’或‘α和β’?",甚至对"不动点法是否是求解这类问题的通法?"只字不提,只是说可以这样做.又     

利用函数的不动点求数列的通项

定义方程f（x）=x的根称为函数f（x）的不动点．利用递推数列f（x）的不动点,可将某些递推关系an=f（an-1）所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列,这种方法称为不动点法．     

如何求数列的通项公式

方法一:利用待定系数法求通项公式例1数列{an}满足:a1=-5,an+1=2an+3n+1,已知存在常数p,q,使数列{an+pn+q}为等比数列,求常数p,q及数列{an}的通项公式.难度系数0.65分析求解本题我们可以先设出数列满足的关系,然后利用待定系数法求出数列的通项公式.     

巧用"取"法,简捷解题

一、取倒数 例1 已知函数f(x)=x/2x 1.数列{an}的通项an满足条件:a1=1,an=f(an-1)(n∈N*且n＞1),求an.     

利用不动点求数列通项

对于函数f（z），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点．数列与函数密切相关．对于an＋1=pan＋q/ran＋s型递推数列，利用不动点可以巧妙求其通项公式．     

灵活变换，巧求通项

一、逐减法形如k1a1 k2a2 k3a3 … kn-1an-1 knan=f(n)(其中k1,k2,…,kn为非零常数)型,可再构造等式:k1a1 k2a2 k3a3 … kn-1an-1=f(n-1)(n≥2).然后两式相减,求通项an.【例1】(2007年山东高考)设数列{an}满足:a1 3a2 32a3 … 3n-1an=3n,n∈N*.求数列{an}的通项.解析:由已知a1 3a2 32a3 … 3n-1an=3n①得n≥2时,a1 3a2 32a3 … 3n-2an-1=n3-1②用①-②得,3n-1an=31,an=31n,又由①得,a1=13,满足上式,所以an=31n(n∈N*).二、Sn法形如f(sn,an)=0型,可利用an=S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)统一成f(an)=0或f(Sn)=0的形式求解.【例2】(2007年重庆高考)…     

一类双数列递推式之通项公式的求解

由两个数列{an}与{bn}所组成的递推式求其通项公式通常较为困难,在文[1]中作者给出了一道题的解如下:若数列{an}与{bn}满足a0=1,b0=0,且an+1=7an+6bn-3bn+1=9an+7bn-4(n∈N),试证an(n∈N)是完全平方数.导析:由初始条件和已知递推式,易求出a1=4,b1=4,且当n≥1时,(2an+1-1)+3bn+1=(14an+12bn-7)+3(8an+7bn-4)=(7+43)[(2an-1)+3bn]累次迭代,便得(2an-1)+3bn=(7+43)n-1[(2a1-1)+3b1]=(7+43)n请注意:这里是否有等比数列的模型呢?同样,我们还可建立上式的对偶式:(2an-1)-3bn=(7-43)n于是,将所得二式相加,得an=14(7+43)n+14(7-43)n+12因为7±43=(2…     

构造等比数列求一阶递推式an+1=pan+q(p,q为非零常数)的通项公式及应用

令参数λ,使得{an+1+λ}成公比为p的等比数列,由an+1=pan+q得:an+1+λ=pan+q+λ=p(an+(q+λ)/p).由{an+λ}成等比数列可得:λ=(q+λ)/p,即λ=q/(p-1);即数列{an+q/(p-1)}成首项为a1+q/(p-1)公比为p的等比数列。     

聚集数列与相关知识整合

数列是高中数学的重要内容之一,它往往可以与多种知识进行整合,也体现了高考数学命题的原则:在知识网络的交汇处命题,本文拟例说明,旨在熟悉题型特征,掌握解题方法.1与函数的整合例1已知函数f(x)=1 log2x,设数列{an}满足an=f-1(n)(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn=()A2n-1-1;B2n-1;C4n-1-1;D4n-1易知f-1(x)=2x-1,所以an=f-1(n)=2n-1,所以{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以Sn=11--22n=2n-1,故选B.例2已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0且f(1 x)=f(1-x),直线g(x)=4(x-1)被f(x)的图象截得的弦长为417,数列{an}满足a1=2,(an 1-an)g…