一个常用结论的证明

中学数学课本《解析几何》总复习第8题“求抛物线y=x2上到直线2x－y=4距离最小的点的坐标，并求出这个距离。”对此题的解法，很多书上都直接采用了结论：“当直线不与抛物线相交时，抛物线上到已知直线距离最短的点是与已知直线平行的抛物线切线的切点。”对此，不少学生提出疑问。本文加以证明并推广到其它二次曲线。Ⅰ.首先对抛物线进行证明。设抛物线方程为y2=2px(p>0)，直线l:y=kx＋b，直线与抛物线不相交。求证：抛物线上到已知直线l距离最短的点是与l平行的抛物线的切点。证明：设M(x0,y0)是抛物线上任一点的坐标，它到直线l的距离…     

一道二次函数应用题的编制历程

<正>一、试题展示已知直线l:y=kx+b与抛物线y=x²相交于A(-1,m),B(2,n).(1)求直线l的解析式.(2)将原抛物线向下平移t(t> 0)个单位,得到的新抛物线与直线l相交于C,D两点(C在D左侧).(1)求证:AC=BD;(2)点Q在x轴上,设新抛物线顶点为P,当四边形PCDQ为平行四边形时,求它的面积.二、命题过程1.命题立意考查的主要知识点:点的坐标,一次函数的解析式、二次函数     

用抛物线的对称性求解析式

抛物线关于直线对称是顶点的横坐标）．利用这一对称性求抛物线的解析式轻巧、简捷，新颖别致．如下面几例．例1已知抛物线经过三点．写出此抛物线的解析式．（1995年辽宁省中考试题）阑”．”Q（1，2）、M（－3．2）是抛物线上的对称点，（想一想，为什么？）抛物线的对称轴为。一会［1十还一引」一2“—－。即x—－1·设抛物线的解析式为y一a（J‘＋1）z＋＆．由抛物线过点P（0，－1）、Q（1．2）得（一l一a十天．卜一1．L2一4adek．Lk——一2．所求抛物线的解析式为2”（z·＋1）’2．即yy一。’＋2。－1·例2已知抛物线x一a。、“＋b…     

与一次函数解析式有关的题型及其解法

一次函数是初中数学的重要内容之一,而求一次函数解析式问题涉及的知识较多,难度较大,同学们在学习时经常遇到困难.下面结合例题介绍求一次函数解析式问题的类型及其解题方法,供同学们参考.一、利用函数性质例1将直线y=-3x平移得到直线y=kx+b,所得的直线与直线y=x+5相交,交点在y轴上,求直线y=kx+b的解析式.分析:根据一次函数的性质,可知平移后所得的直线与原直线平行,与y轴交点的坐标为(0,b).解:因为将直线y=-3x平移得到直线     

用抛物线的对称性求解析式

抛物线y=ax^2 bx c关于直线x=-b/2a对称，其中-b/2a是顶点的横坐标，利用这一对称性合理变换已知条件求抛物线的解析式，简捷、独到，有事半功倍之效，举例如下：     

二次函数单元检测试题（二）

一、选择肠1.抛物线y=(x一2)斗3的对称轴是A.直线x二一3 B.直线x二3 C.直线劣二一2 D.直线x二2 2.在同一坐标系中，抛物线口向上y---4x’，y=奋X’，二一音XZ的共同特点是称，y陈的增大而减小B.关D.关A.C. 3.把先向上平移2个单位，再向右平移3个单位于y轴对称，y患的增大而增大     

一道中考题的破题思路

题目如图1,抛物线y=x2+bx+c经过点(1,-5)和(-2,4).(1)求这条抛物线的解析式.(2)设此抛物线与直线y=x相交于点A和点B(点B在点A的右侧),平行于y轴的直线x=m(0相似文献   

二次函数测试题（二）

一、填空题1.把抛物线y=x2向下平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式是!!!!.2.平移抛物线y=x2 2x-8,使它经过原点,写出平移后抛物线的一个解析式!!!!.3.若二次函数y=x2-4x c的图象与x轴没有交点,其中c为整数,则c=!!!!.(只要求写出一个)4.在直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物     

一道中考题的四种解法

求二次函数的解析式是初三代数中的一个重要内容，也是近年来中考中的一个定型题．为了帮助初三同学掌握好这一内容，本文现以一九九四年新疆维吾尔自治区的一道中专题为例,通过一题四解,将求二次函数解析式的几种常用方法介绍如下：．题目己知二次函数y=ax2+bx＋c的图象经过直线y=3x＋3与x轴、y轴的交点，对称轴为x=－1．求二次函数的解析式．解一（一般式法）根据题意，在y=－3x＋3中，分别令y=0，x=0，可得到抛物线经过（1，0）和（0，3）两点放二次函数的解析式为y=-x2－2x＋3解二（顶点式法）设二次国数的解析式为y=a（x＋m）2＋h，即y…     

平移后的函数图象的解析式

一、平移后直线的解析式对于直线y＝kx与y＝kx＋b（k≠0）的关系，课本中的结论是：一次函数y＝kx＋b的图象是经过点（0，b）且平行于直线y＝kx的一条直线．理解这句话的意义，可得如下两点：（1）把一条直线平移，新旧两条直线解析式中的系数天相等；（2）若将某直线向L（或向下）平移b（b＞0）个单位，原直线与y轴的交点也相应平移b个单位，求出平移后直线与y轴交．或坐标，就可求出平移后直线的解析式．例1把直线y＋5x＋1向下平移3个单位，求平移后的直线解析式．分析直线y＝5x＋1与x轴的交点为（0，1），将此点向下平移3个单位得点（0…     

巧用口诀求平移后函数图象的解析式

二次函数y=ax2＋bx＋c的图象可由y=ax2的图象平移得到．对于如何确定平移后的函数图象的解析式，不少同学感到困难．下面介绍一个口诀，利用它可快速准确地求出平移后的函数图象的解析式．口诀：左右平移在括号，记上反符号；上下平移在末梢，符号恰巧好．y=ax2的图象通过平移后得到的解析式为y=a（x＋－）＋－．“左右平移在括号”即写在括号内，“记上反符号”是指向右移记“－”号（X轴向右的方向为正），向左移记“＋”号，“上下平移在末梢”即写在括号后面，向上移记“＋”号，向下移记“-”号．下面举例说明．例1把函数y=2X2向左平…     

巧用抛物线的对称性求解析式

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)具有对称性,它的对称轴是直线x=-b2a,顶点在对称轴上.在求抛物线的解析式时,充分利用抛物线的对称性,可简化运算.现举例说明如下.例1已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,-1)、B(1,2)、C(-3,2)三点,求该抛物线的解析式.解:∵B(1,2)、C(-3,2)是抛物线关于对称轴的对称点,∴抛物线的对称轴是x=121+-3=-1.设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+k.将点A(0,-1)和B(1,2)代入,得-1=a+k,2=4a+k解得a=1,k=-2.∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)2-2,即y=x2+2x-1.例2已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(3,-2),与x轴的两个交点B、C间的距离为4,求该抛…     

求一次函数解析式问题的类型及其解法

一次函数是初中数学的重要内容之一,而求一次函数解析式问题涉及的知识较多,难度较大,学生在学习时经常遇到困难,下面结合例题介绍求一次函数解析式问题的类型及其解题方法,供同学们参考.一、利用函数性质例1将直线y=-3x平移得直线y=kx+b,所得直线与直线y=x+5相交,交点在y轴上,求直线y=kx+b的解析式,     

求抛物线平移或旋转后解析式的技巧

二次函数y=ax~2 bx c(a≠0)的图象是一条抛物线,将其沿坐标轴平移或以顶点为中心旋转180°后,求其解析式,同学们感到很棘手,原因是不得要领。笔者在实践中摸索出了两种常用技巧。 1.求把抛物线y=ax~2 bx c(a≠0)沿坐标轴平移后的解析式。首先把抛物线的解析式y=ax~2 bx c化成顶点式y=a(x h)~2 k。如果抛物线向左(或向右)平移|m|个单位,则要将h加上(或减去)|m|个单位。可简记为“左加右减”。如果是把抛物线向上(或向下)平移|n|个单位,则是将k加上(或减去)|n|个单位,可简记为“上加下减”。a的值不变。     

(八)函数及其图象测试卷(B卷)

一、境空题（每空3分，共45分）：1．若点P关于x轴的对称点是（－4，－3），则点P关于y轴的对称点是，关于原点的对称点是；2若正三角形两个顶点的坐标是A（0，1）、B（0，5），则第三个顶点C的坐标是；3．若函数是一次函数，且y随x的增大而增大,则m《．在函数＊一二一下十／Y＝一中，自变量X的取值范围是；“”””“xZ””””““””“『”“’“””’5．若直线y一kx＋（Zk－10）在y轴上的截距是一4，则人一，此直线的解析式是6若抛物线经过A（2，－5）、B（－3，0）、C（l，0），则此抛物线的解析式是，对称轴是一，顶点是——。…     

中考题中抛物线顶点问题的浅析

二次函数图象的顶点是二次函数的重点内容．它涉及的知识面广,是中考试卷中的热门题．现以1997年中考题为例介绍如下．一、顶点与抛物线解析式例1已知二次函数y＝（m2－2）x2－4mx＋n的图象的对称轴是x＝2,且图象的最高点在反比例函数的图象上,求此二次函数/的解析式．（1997年贵州省中考题）解析对称轴与的图象相交,把X＝2代入得抛物线的顶点（2,1）．再由对称轴求得m1＝－1,m2＝2舍去,因抛物线有最高点,a＜0）,’．解析式为y＝－（x－Z）’＋l,即y＝－x’＋4x－3．二、顶点与抛物线的平移例2一条抛物线是由y＝－xZ的图象经过…     

热点三 代数几何综合题

一、探究解题新思路题型一方程与图形的综合题典例1如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2 OB2=17,且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx 2(m-3)=0的两个根.CyAO B x(1)求C点的坐标;(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过A、B、E三点的抛物线的解析式,并画出此抛物线的草图;(3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等?若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,说明理由.研析:(1)运用一元二次方程根与系数的关系先求OA、OB,再求…     

一道中考压轴题的解法探讨

<正>一、试题呈现如图1,经过点A(0,-4)的抛物线y=1/2x2+bx+c与x轴相交于B(-2,0),C两点,O为坐标原点.(1)求抛物线的解析式;(2)将抛物线y=1/2x2+bx+c向上平移72个单位长度,再向左平移m(m>0)个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点P在ABC内,求m的取值范围;     

利用数形结合思想解直线与抛物线综合题

<正>一次函数y=kx+b的图像是一条直线,其中b是直线与y轴交点的纵坐标,如果直线y=kx+b与抛物线y=ax2+bx+c综合起来再求b的相关值,题目就会增加很大难度.若充分利用数形结合思想来分析则可以巧妙解决此类问题.1直线与其它图像只有一个交点例1已知关于x的一元二次方程x2+(4-m)x+1-m=0.此方程有一个根是-3,在平面直角坐标系x Oy中,将抛物线y=x2+(4-m)x+1-m向右平移3个单位,得到一个新的抛物线,当直线     

圆锥曲线弦中点轨迹的探讨

<正>1引入例1:直线l过抛物线y²=4x的顶点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例2=4x的顶点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例²:直线l过抛物线y2:直线l过抛物线y²=16x的焦点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例3:直线l过(0,4)点,与抛物线x2=16x的焦点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例3:直线l过(0,4)点,与抛物线x²=8y相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。分析上述三个例题的轨迹方程,得到如下结论:过抛物线内对称轴上一定点(包括顶点)的直线截抛物线所得弦中点的轨迹是一条以该定点为顶点,通径为原抛物线的一半的抛物线,且所得抛物线开口方向和对称轴与原抛物线相同。