一道数列综合题的解法分析

题已知{a_n}是等差数列,其公差为 d;{b_n}是等比数列,其公比为 q>1.若 a_2=b_2=2,a_4=b_4.(1)比较 a_1与 b_1,a_3与 b_3的大小;(2)猜想并证明 a_n 与 b_n 大小关系(n≥5).这是成都市高2000级第一次诊断考试数     

1999年全国高中数学联合竞赛

一、选择题(满分36分,每小题6分) 1.给定公比为q(q≠1)的等比数列{a_n},设b_1=a_1 a_2 a_3,b_2=a_4 a_5 a_6,…,b_n=a_(3n-2) a_(3n-1) a_(3n),…,则数列{b_n}( ). (A)是等差数列 (B)是公比为q的等比数列 (C)是公比为q~3的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列 2.平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点.那么,满足不等式     

2001年高中联赛第13题评析

2001年全国高中数学联赛一试第13题为:设{a_n}为等差数列,{b_n}为等比数列,且b_1=a_1~2,b_2=a_2~2,b_3=a_3~2,(a_1相似文献   

由等差等比数列构成的数列求和问题

数列求和是中学数学教学的重要内容。在现行的中学教材中,只安排了等差、等比数列的求和内容。但高考题中出现的数列大多数都是由等差、等比数列构造而成的非简单的等差、等比数列。本文拟对几种常见类型的数列求和公式作探讨。 命题1 设数列{a_n}是公差为d（d≠0）等差数列,数列{b_n }是公比为 q（q≠1）的等比数列,则数列{a_nb_n}的前n项和 S_n=(a_1b_1-a_nb_nq)/(1-q) (b_1q(1-q~(n-1))d)/(1-q)~2 证记 S_n=a_1b_2 a_2b_2 a_3b_3 … a_nb_n 将①式两边同乘以q得:     

对两个错答的纠正

贵刊1988年1—2期合刊“高中代数综合训练与检测”中有两道练习题的答案是错误的,现纠正如下: 练习一8.有一等差数列{a_n}和等比数列{b_n} 若a_1=b_1>0,a_(2n 1)=b_(2n 1),试比较a_(n 1)和b_(n 1)的大小。原答案:当q≠1时,a_(n 1)>b_(n 1);当q=1时,a_(n 1)=b_(n 1)是错误的,今举一特例说明: {a_n}:3,3,3,3,3.d=0。 {b_n}:3,-3,3,-3,3。q=-1。它们分别是符合题意的等差数列和等比数列,但当n=2时有a_(n 1)=3=b_(n 1),并非a_(n 1)>b_(n 1)。下面给出正确的解答: 设等差数列{a_n}的首项为a_1,公差为d,     

合成数列的又一通项公式

文[1]给出了合成数列{x_n}a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,…的通项公式x_n=1/2[f(n 1/2) g(n/2)] (-1)~(n 1) 1/2[f(n 1/2)-g(n/2)]. 本文用三角函数给出合成数列{x_n}的又一通项公式,并举例说明这个公式的应用。定理如果数列{a_n}和{b_n}的通项分别为a_n=f(n),b_n=g(n),那么,数列{a_n}与{b_n}的合成数列{x_n}的通项公式为     

谈谈关系式“a_n=S_n-S_(n-1)”

近年的某些数学资料中,有这样一道题: “若{S_n}是公比为q(q 0,q 1)的等比数列,(S_n=a_1+a_2+…+a_n,a_1 0)求证:{a_n}也是等比数列。这里,n应理解为任意自然数。这道题错了。因为由题设,     

如何求数列的通项

数列{a_n}中,a_1=1,a_(n+1)=1/(16)(1+4a_n+(1+24a_n)~(1/2)),求a_n.解:构建新数列{b_n},使b_n=(1+24a_n)~(1/2)>0,则b_1=5,b_n~2=1+24a_n(?)a_n=(b_n~2-1)/(24).由a_(n+1=1/16(1+4a_n+(1+24a_n)~(1/2)),得(b_(n+1)~2-1)/(24)=     

从2008年广东文科数学试题中数列压轴题的解法看递推关系求通项的常见类型

今年广东文科数学的最后一题是设数列{a_n}满足a_1=1,a_2=2,a_n=1/3·(a_(n-1) 2a_(n-2))(n=3,4,…).数列{b_n}满足b_1=1,b_n(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有-1≤b_m b_(m 1) … b_(m k)≤1.     

一道课本习题的拓展及应用

高中数学人教版第一册(上)第137页有这样一道题:两个等差数列{a_n},{b_n},且(a_1 a_2 … a_n)/(b_1 b_2 … b_n)=(7n 2)/(n 3),求(a_5)/(b_5)的值.分析:设{a_n}的公差为d_1,前n项和为S_n,{b_n}的公差为d_2,前n项和为T_n,则(S_n)/(T_n)=(7n 2)/(n 3).     

2006年高考江苏卷21题别解

2006年高考江苏卷最后一题的充分性证明较难,标准答案中公布的两种解法中,构思巧妙,一般很难想到,本文现给出一种思路自然的常规解法.题目:设数列}a_n}、{b_n}、{c_n}满足:b_n=a_n-a_(n 2),c_n=a_n 2a_(n 1) 3a_(n 2)(n=1,2,3,…),证明{a_n}为等差数列的充分必要条件是{c_n}为等差数列且 b_n≤b_(n 1)(n=1,2,3,…).证明:必要性(略)     

递推数列a_(n+1)=qa_n+b_1p_1~n十b_2p_2~n+b_3的通项公式

我们考虑这样的数列:已知数列{a_n}的a_1,并且递推公式为a_(n+1)=qa_n+b_1P_1~n+b_2p_2~n+b_3,其中q,P_1,P_2,b_1,b_2,b_3为常数,且q≠0,P_1,P_2≠1,P_1≠P_2,这个数列的通项公式如何求法,我们分以下几种情况来讨论这种问题.一、q≠1的情况(一)当q≠pi(i=1,2)时,设a_n=u_n+a_1p_1~n+a_2p_2~n+a_3,其中a_1、a_2、a_3为待定系数.将此式代入上面的递推公式中,得     

1998年高考压轴题的“源”“解”“变”

(文)(25) 已知数列{b_n}是等差数列,b_1=1,b_1 b_2 … b_(10)=100.(1)求数列{b_n}的通项b_n(Ⅱ)设数列{a_n}的通项a_n=1g(1 (1/b_n),记S_n是数列{a_n}的前n项和.试比较S_n与(1/2)lgb_(n 1)的大小,并证明你的结论。 (理)(25) 已知数列{b_n}是等差数列,b_1=1,b_1 b_2 … b_(10)=145.(Ⅰ)求数列{b_n}的通项b_n;(Ⅱ)设数列{a_n}的通项a_n=log_n(1 (1/b_n),(其中a>0,a≠1),记S_N是数列{a_n}的前n项和,试比较S_n与1/2log_nb_(n 1)的大小,并证明你的结论, 探源 此二题源于1985年高考上海试题:对于大于1的自然数n,证明     

等比性质的灵活应用

等比性质:“若a_1/b_1=a_2/b_2=a_3/b_3=…=a_n/b_n(b_+b_2+b_3+…+_n≠0),则有(a_1+a_2+a_3+…+a_n)/(b_1+b_2+b_3+…+b_n)=a_1/b_1”.它在数学解题中有着广泛的应用,若能灵活运用并注意它的条件:b_1+b_2+b_3+…+b_n≠0,可以避免繁复的计算或复杂的推理.     

归纳法的发现作用与中学数学教学

1982年高考数学试卷(理科)第九题是: 已知数列a_1,a_2,…,a_n,…和数列b_1,b_2,…,b_n,…,其中a_1=p,b_1=q,a_n=pa_(n-1),b_n=qa_(n-1) rb_(n-1)(n≥2),(p,q,r是已知常数,且q≠0,p>r>0)。 (1)用p,q,r,n表示b_n,并用数学归纳法加以证明; (2)求limb_n/(a~2 b~2)~(1/2) 。该题(1)解题过程有以下几个步骤: 1.尝试:∵a_1=p,a_n=pa_(n-1),∴a_n=p~n,b_1=q,b_2=qa_1 rb_1=q(p r),b_3=qa_2 rb_2=q(p~2 pr r~2)…… 2.观察:b_1、b_2、b_3的表达式都是q和p、r齐次式的乘积。 3.猜想:b_n=q(p~(n-1) p~(n-1)1 …… r~(n-1))。 4.论证:(用数学归纳法)从略。这是一个完整的逻辑推理过程,前一半是用简     

赏析如出一辙的两道高考数列题

2007年高考山东理科数学第19题(以下简称试题1):设数列{a_n}满足a_1+3a_2+3~2a_3+…+3~(n-1)a_n=n/3,n∈N~*(Ⅰ)求数列{a_n}的通项;(Ⅱ)设b_n=n/a_n,求数列{b_n}的前n项和S_n.时隔仅二年,2009年高考湖北卷文科数学     

应用柯西不等式的几个推广

<正>柯西不等式:设a_1,a_2,…,a_n;b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则有n∑k=1a_k²·n∑k=1b_k2·n∑k=1b_k²≥(n∑k=1a_kb_k)2≥(n∑k=1a_kb_k)²。其中等号成立当且仅当a_1:a_2:…:a_n=b_1:b_2:…:b_n。推论:设a_1,a_2,…,a_n是正实数,则(a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n2。其中等号成立当且仅当a_1:a_2:…:a_n=b_1:b_2:…:b_n。推论:设a_1,a_2,…,a_n是正实数,则(a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n²,其中等号成立当且仅当a_1=a_2=…=a_n。     

数列求和常用的三种方法

数列求和是中学数学的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象之一.它对于提高数学思维能力十分有益,下面介绍数列求和的几种常用方法。一、错位相减法设数列{a_n}是等比数列,数列{b_n}是等差数列,则求解数列{a_nb_n}或{a_n/b_n}的前n项和S_n均可用错位相减法.例1设{a_n}是等差数列,{b_n}是各项都为正数的等比数列,且a_1=b_1=1,a_3b_5=21,a_5＋b_3=13,（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式;     

恰当分类解题例说

分类的通俗说法是按照一定的标准把研究的对象分成几个部分或几种情况。 恰当分类进行解题,可使解题思路清晰,化繁为简,化整为零,使问题易解,现举二例如下: 例1 已知等比数列{a_n}的首项a_1>0,公比q>-1,且q≠0,设数列{b_n}的通项b_n=a_(n 1) a_(n 2)(n∈N),数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别记为A_n、B_n,试比较A_n、B_n的大小。     

对数列问题中一类不定方程通解的探究

<正>一、问题呈现2014年江苏省南通市高三模拟测试给出如下一个数列问题.例1各项均为正数的数列{a_n}中,设Sn=a_1+a_2+…+a_n,Tn=1/(a_1)+1/(a_2)+…+1a_n,且(2-S_n)(1+T_n)=2,n∈N^*.(1)设b_n=2-S_n,证明数列{b_n}是等比数列;